高等數(shù)學(xué)-D8-2點(diǎn)積叉積省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

*三、向量混合積第二節(jié)一、兩向量數(shù)量積二、兩向量向量積數(shù)量積向量積*混合積第八章1/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件一、兩向量數(shù)量積沿與力夾角為直線移動,1.定義設(shè)向量夾角為,稱記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F所做功為2/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有

3/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律實(shí)際上,當(dāng)時(shí),顯然成立;4/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例1.

證實(shí)三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)5/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件4.數(shù)量積坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),因?yàn)閮上蛄繆A角公式,得6/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例2.

已知三點(diǎn)

AMB.解:則求故7/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域流體質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為流體流過一個(gè)面積為A平面域,與該平面域單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過體積:夾角為且為單位向量8/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件二、兩向量向量積引例.設(shè)O為杠桿L支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:力F作用在杠桿P點(diǎn)上,則力F作用在杠桿上力9/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,

稱引例中力矩思索:右圖三角形面積S＝10/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證實(shí)略)證實(shí):11/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件4.向量積坐標(biāo)表示式設(shè)則12/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件向量積行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見上冊P355～P358)13/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例4.已知三點(diǎn)角形

ABC面積.解:如圖所表示,求三14/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件一點(diǎn)M線速度例5.設(shè)剛體以等角速度

繞l軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上表示式.解:在軸l上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸距離且符合右手法則夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑15/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件*三、向量混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其16/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件2.混合積坐標(biāo)表示設(shè)17/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)18/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例6.已知一四面體頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:已知四面體體積等于以向量為棱平行六面體體積故19/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件例7.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點(diǎn)共面,求點(diǎn)M坐標(biāo)x、y、z所滿足方程.解:

A、B、C、M四點(diǎn)共面展開行列式即得點(diǎn)M坐標(biāo)所滿足方程AM、AB、AC三向量共面即20/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:21/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件混合積:2.向量關(guān)系:22/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件思索與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

正弦與余弦.答案:2.用向量方法證實(shí)正弦定理:23/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件證:由三角形面積公式所以因24/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件P223,4,6,7,9(1);(2),10,12第三節(jié)作業(yè)25/279/16/2023同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課件備用題1.已知向量夾角且