復變函數(shù)的概念省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

一、復變函數(shù)概念第八模塊復變函數(shù)第二節(jié)復變函數(shù)極限與連續(xù)性

二、復變函數(shù)極限二、復變函數(shù)連續(xù)性1/101.復變函數(shù)定義設D為給定平面點集，若對于D中每一個復數(shù)z=x+yi，按照某一確定法則f，總有確定一個或幾個復數(shù)w=u+vi與之對應，則稱f是定義在D上復變函數(shù)（復變數(shù)w是復變數(shù)z函數(shù)），簡稱復變函數(shù)，記作w=f(z)。一、復變函數(shù)概念其中z稱為自變量，w稱為因變量，點集D稱為函數(shù)定義域。2/10設z=x+iy,w=u+vi與之，則w=f(z)可寫作一、復變函數(shù)概念這么，一個復變函數(shù)w=f(z)就相當于一對二元實值函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)。

w=u+vi=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)其中u(x,y)與v(x,y)為實值函數(shù)。比較上式實部和虛部可得到：u=u(x,y),v=v(x,y)。從而w=f(z)性質(zhì)就取決于u=u(x,y),v=v(x,y)性質(zhì)。2.復變函數(shù)與實值函數(shù)關系3/10一、復變函數(shù)概念假如復數(shù)z和w分別用Z平面和W平面上點表示，則函數(shù)w=f(z)幾何意義是：2.復變函數(shù)幾何意義將Z平面上定義域D變到W平面上函數(shù)值域G一個變換或映射，它將D內(nèi)一點z變?yōu)镚內(nèi)一點。4/10一、復變函數(shù)概念

例1將定義在全平面上復變函數(shù)w=z2+1化為一對二元實變函數(shù)。

例2將定義在全平面除去原點一對二元實變函數(shù)。化為一個復變函數(shù)。5/101.復變函數(shù)極限定義二、復變函數(shù)極限或記作

某去心鄰域內(nèi)有定義，若對任

設在點意給定正數(shù)ε（不論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù)δ，都有則稱復常數(shù)A為函數(shù)在當時極限。當復數(shù)滿足時，對應函數(shù)值6/10二、復變函數(shù)極限2.復變函數(shù)極限與實值函數(shù)極限關系設，則且7/10三、復變函數(shù)連續(xù)性1.復變函數(shù)連續(xù)定義

某鄰域內(nèi)有定義

設在點，若則稱處連續(xù)。

在若在區(qū)域D內(nèi)每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。8/10三、復變函數(shù)連續(xù)性2.連續(xù)復變函數(shù)性質(zhì)在z0處連續(xù)兩個函數(shù)和、差、積、商（分母不為0）仍在處z0連續(xù)。性質(zhì)2函數(shù)在性質(zhì)3當函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)時，處連續(xù)在處連續(xù)。性質(zhì)1也在上連續(xù)，且能夠取得最大值和最小值。9/