江西省南昌市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

2022級(jí)高一期末調(diào)研檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2.已知量，，若，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】若，則，解得.故選：C.3.若表示三個(gè)不同的平面，l表示直線，則下列條件能推出的是（）A.， B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模型找出反例結(jié)合面面平行的判定判斷即可.【詳解】由圖可知，面,面,面與面不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；面，面,面與面不平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，選項(xiàng)C正確；面面，面面，面與面不平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意求出，再根據(jù)二倍角得正切公式即可得解.【詳解】由，得，則.故選：B.5.設(shè)時(shí)刻，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的角為，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)生活常識(shí)得到鐘表的一大格的夾角，再判斷題干中時(shí)針和分針相差個(gè)大格，從而得到，再利用余弦的和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針每12小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以每小時(shí)轉(zhuǎn)，即鐘表的一大格的夾角是.而時(shí)刻，時(shí)針和分針相差個(gè)大格，所以時(shí)刻，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的角的度數(shù)是，則.故選：C.6.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器AO內(nèi)裝水若干如圖a所示，此時(shí)水面與AO形交于點(diǎn)B，將其倒置后如圖b所示，水面與AO還是相交于點(diǎn)B，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得圓錐的體積等于水的體積的倍，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，圖中，水面圓的半徑為，設(shè)，易得，可得，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】由題意可得圓錐的體積等于水的體積的倍，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，圖中，水面圓的半徑為，設(shè)，則，則，所以，解得，即.故選：A.7.某景區(qū)準(zhǔn)備在兩座山峰的山頂之間建設(shè)索道，要預(yù)先測(cè)量這兩個(gè)山頂之間的距離.設(shè)兩座山峰的山頂分別為，它們對(duì)應(yīng)的山腳位置分別為，在山腳附近的一塊平地上找到一點(diǎn)，（所在的平面與山體垂直），使得是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)從處測(cè)得到兩點(diǎn)的仰角分和，若到的距離為1千米，則兩個(gè)峰頂?shù)闹本€距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米【答案】A【解析】【分析】先求出，在線段上取點(diǎn)，使得，證明四邊形為矩形，再利用勾股定理即可得解.【詳解】在等腰直角中，，在中，，則，在中，，則，如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，又，所以四邊形為矩形，則，所以，即兩個(gè)峰頂?shù)闹本€距離為千米.故選：A.8.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)了黃金分割比的為，這一數(shù)值恰好等于，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法中正確有（）A.z的虛部為 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念、模的計(jì)算公式、輻角的定義與乘方的計(jì)算方法，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以z的虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)數(shù)多個(gè)，故錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作x軸的平行線與圓O相交于不同的B，C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)，設(shè)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知若，則，則，故A，B正確；若，則，故C錯(cuò)誤；若，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.是的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出即可，根據(jù)平移變換和周期變換求出的解析式，即可判斷C，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D.【詳解】由圖可知函數(shù)得周期，所以，故A正確；則，又，所以，所以，則，又，所以，故B錯(cuò)誤；則，將的圖象向左平移個(gè)單位，得，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得，，則，故C正確；因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)對(duì)稱中心，故D正確.故選：ACD.12.由兩個(gè)全等的正四棱臺(tái)組合而得到的幾何體1如圖1，沿著和分別作上底面的垂面，垂面經(jīng)過(guò)棱的中點(diǎn)，則兩個(gè)垂面之間的幾何體2如圖2所示，若，則（）A. B.C.平面 D.幾何體2的表面積為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，先證得四形邊是邊長(zhǎng)為菱形，再利用中位線定理求得，從而得解；對(duì)于B，利用面面平行的性質(zhì)定理證得，從而得證；對(duì)于C，利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；對(duì)于D，將幾何體2拆分成4個(gè)正方形與8個(gè)菱形即可得得解.【詳解】將幾何體1與幾何體2合并在一起，連接，記，易得，對(duì)于A，因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，，是的中點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，，所以，則，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，同理：，所以四形邊是邊長(zhǎng)為菱形，在邊長(zhǎng)為的正方形中，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，面面，又面面，面面，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，在四邊形中，由比例易得，由對(duì)稱性可知，而，所以，則，即，而由選項(xiàng)B同理可證，所以，因?yàn)樵谡叫沃校?，而，所以，因?yàn)槊?，所以面，?duì)于D，由選項(xiàng)A易知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，上下底面也是邊長(zhǎng)為的正方形，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，其高為，所以幾何體2是由4個(gè)邊長(zhǎng)為2正方形和8個(gè)上述菱形組合而成，所以其表面積為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是推得四形邊是邊長(zhǎng)為菱形，從而解決選項(xiàng)A，再利用面面平行的性質(zhì)定理推得，，從而解決選項(xiàng)BC，將幾何體2各個(gè)面分解成基本圖形即可解決D.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量是__________.【答案】【解析】【分析】利用投影數(shù)量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，則在方向上的投影數(shù)量是.故答案為：.14.請(qǐng)寫(xiě)出復(fù)數(shù)的一個(gè)平方根___________（只需寫(xiě)出其中一個(gè)）.【答案】（或，答案不唯一）.【解析】【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及相等性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，設(shè)復(fù)數(shù)的平方根為，則，所以，解得或，所以復(fù)數(shù)的平方根為或，故答案為：（或，答案不唯一）.15.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線，所成的角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】連接，證明，則或其補(bǔ)角即為異面直線，所成角的平面角，再解即可.【詳解】如圖，連接，因且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則或其補(bǔ)角即為異面直線，所成角的平面角，在中，，由余弦定理得，即異面直線，所成的角的余弦值為.

故答案為：.16.中，，延長(zhǎng)至，使得，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，再求出，分別在和利用正弦定理求出，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，由，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，則，由，得，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，將都用表示，再分別在和利用正弦定理求出，是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題:共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，.（1）求；（2）若，且，求，y的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)相等列式求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，可得，解得，所?18.化簡(jiǎn)求值.（1）（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意利用兩角和的正切公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：.【小問(wèn)2詳解】因，整理得，所以.19.如圖，三棱錐中，平面為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，從而可證得平面，再線面垂直的性質(zhì)得，從而可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）由，得三棱錐的高為，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以三棱錐的高為，，故.20.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點(diǎn)，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點(diǎn).（1）若，求λ；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意以為基底向量，根據(jù)平面向量基本定理運(yùn)算求解；（2）由（1）可得，根據(jù)幾何性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】以為基底向量，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椤危瑒t存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得因?yàn)椤?，則，可得，由題意可得：，則，所以.21.古語(yǔ)云:“積善之家，必有余興”.扇是扇風(fēng)的，有“風(fēng)生水起”走好運(yùn)之意，“扇”與“善”字諧音，佩戴扇形玉佩，有行善積德之意.一支考古隊(duì)在對(duì)某古墓進(jìn)行科考的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)一枚扇形玉佩，但因?yàn)榈刭|(zhì)原因，此扇形玉佩已經(jīng)碎成若干塊，其中一塊玉佩碎片如圖1所示，通過(guò)測(cè)量得到數(shù)據(jù)，，AB=2.（圖1中破碎邊緣呈鋸齒形狀）（1）求這個(gè)扇形玉佩的半徑；（2）現(xiàn)又找到一塊比較規(guī)則的三角形碎片，如圖2所示，其三邊長(zhǎng)分別為，，1，且該三角形碎片有兩邊是原扇形邊界的一部分，請(qǐng)復(fù)原該扇形玉佩的具體參數(shù)（圓心角.弧長(zhǎng)、面積）.【答案】（1）這個(gè)扇形玉佩的半徑為（2）扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，面積為【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求，可得，進(jìn)而可求半徑；（2）先利用余弦定理求扇形的圓心角，進(jìn)而結(jié)合扇形的相關(guān)公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)扇形的圓心為，連接，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋傻?，在中，因?yàn)?，則，即，可得，所以這個(gè)扇形玉佩的半徑為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)扇形的圓心角為，因?yàn)椋傻茫陨刃蔚膱A心角為，弧長(zhǎng)為，面積為.22.小波到一個(gè)廣告公司去應(yīng)聘包裝設(shè)計(jì)師職位，考官給大家出了一道題目:某禮品廠生產(chǎn)一種棱長(zhǎng)為a的正四面體形狀的禮品（如圖）.請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，形狀隨意，可提出不同方案供考官選擇（不考慮包裝盒材料的質(zhì)量、厚度、重量及接縫處損耗）（1）小波給出了長(zhǎng)方體和圓柱兩個(gè)設(shè)計(jì)方案（如圖），請(qǐng)分別計(jì)算這兩個(gè)包裝盒的表面積；（2）考慮到禮品各面易碎，禮品較大，包裝盒體積不能太大，但禮品各面與包裝盒表面之間需要有填充物，請(qǐng)你幫小波設(shè)計(jì)一個(gè)方案.（需要面圖表示，并配以簡(jiǎn)單說(shuō)明理由）【答案】（1），（2）答案見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)