高二數(shù)學(xué)三垂線定理省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

課題：正射影和三垂線定理（一）探究性研討課：A

aOP1/16ABA`B`lAA`ααABA`B`BαACA`B`C`A`A

課前準(zhǔn)備：

1、復(fù)習(xí)提問：線線線面線線

2、觀察下列圖、小組討論完成對射影等概念了解總結(jié)問題1：給出射影定義。思索：怎樣找出斜線射影2/16A

aOP

探究問題1：已知PA、PO分別是平面垂線、斜線，AO是PO在平面上射影。a

，若a⊥AO。則得到a與那些直線垂直。三垂線定理探究探究問題2：怎樣證實你結(jié)論探究問題3：用文字語言敘述上述結(jié)論3/16證實過程分析：a⊥POPA⊥

a

AO⊥aa⊥平面PAOPO

平面PAOPA⊥aA

aOP三垂線定理：在平面內(nèi)一條直線，假如和這個平面一條斜線射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。結(jié)論匯總1：板書證實過程4/16A

aOP結(jié)論匯總2：三垂線定理基本圖形特點分析1:一面2:四線3:三垂直線面垂直線射垂直線斜垂直探究問題4：三垂線定理圖形有哪些特點？（組成元素、三垂解釋）5/16PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證實：∵P是平面ABC外一點

PA⊥平面ABC

∴AC是斜線PC在平面ABC上射影∵BC

平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC結(jié)論應(yīng)用：6/16例2(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD中點，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證實:∵ABCD為正方形

O為BD中點∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上射影

PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AO是PO在ABCD上射影

PC⊥BD7/161、三垂線定了解題關(guān)鍵：定面、找線！怎么找？利用三垂線定理證實普通步驟：二找（找平面垂線、斜線及其射影）三證（證平面內(nèi)一直線與斜線垂直）PCBA一定（定平面）例題匯總POABCD課后小結(jié)8/16PMCAB例3已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC中點，求證：BC⊥AMBC⊥AM證實:∵PB=PCM是BC中點

PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上射影

再次演練：分析：按步驟、找三垂9/16課堂小結(jié)：

1、記住小組討論結(jié)果：三垂線定理、及證實（線線垂直—線面垂直—線線垂直）.2、三垂線定理特征（特點）：一面四線三垂直.3、三垂線定了解題三個步驟：一定平面、二找直線、三證垂直.下節(jié)課內(nèi)容4、使用三垂線定理還應(yīng)注意問題：三垂線定理是平面一條斜線與平面內(nèi)直線垂直判定定理，這兩條直線能夠是：相交直線、異面直線PAOaα10/16三、鞏固性練習(xí)：1、（1）以下命題中正確是()①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影必相交．②與一條直線成等角兩條直線必平行．③與一條直線都垂直兩直線必平行．④同時平行于一個平面兩直線必平行．（A）①、②；（B）①、③；（C）②、④；（D）以上都不對3、在一個四面體中，假如它有一個面是直角三角形，那么它另外三個面（）（A）至多只能有一個直角三角形（B）至多只能有兩個直角三角形（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形2、若一條直線與平面一條斜線在此平面上射影垂直，則這條直線與斜線位置關(guān)系是（）（A）垂直（B）異面（C）相交（D）不能確定11/16線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)一條直線和平面一條斜線在平面內(nèi)射影垂直平面內(nèi)一條直線和平面一條斜線垂直三垂線定理逆定理？12/16

在平面內(nèi)一條直線，假如和這個平面一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

垂線和斜線，AO是PO在平面

射影,a

,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理逆定理13/16例3假如一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那么這一點在平面上射影在這個角平分線上。已知：∠BAC在平面

內(nèi)，點P

，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥

，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAOP

CBAOFE14/16空間四邊形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求證：AC⊥BD。證實：如圖，若AB是平面BCD斜線，過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂線逆定理），同理可得BC⊥OD，則O為?BCD垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC射影，∴BD⊥AC（三垂線定理）。若AB⊥平面BCD，垂線即是AB，由條件BC⊥AD，則BC⊥BD（三垂線逆定理），而BC是AC射影，∴BD⊥AC（三垂線定理）OADBC15/16貴陽榮華宏業(yè)裝飾企業(yè)：/貴陽榮華宏業(yè)裝飾企業(yè)ory86msq一個多月“弟兄”三人，終于又恢復(fù)成兄妹三人了，大家心里都很高興！大白騾一路疾走，很快就在縣城正北大約二里遠(yuǎn)處，順利地在李家莊西南南北大路邊上找到了李老鄉(xiāng)父母長眠之地。這個用青磚砌就圓頂墳?zāi)构幌喈?dāng)氣派，而且李老鄉(xiāng)走之前在墳后兩側(cè)栽松樹也都長到一人多高了。兄妹三人再區(qū)分方向仔細(xì)琢磨一下，墳?zāi)骨澳莻€青石板供桌果然是面向東南方向擺放。最終，三人又在黑色花崗巖墓碑左下側(cè)找到了李老鄉(xiāng)名字。耿正放心地說：“絕對不會錯，這里就是李叔叔父母安息地兒了！”耿直也說：“全都對上了，絕對沒有錯兒！”耿英說：“這實際上也并不費勁兒啊，俺們不就是順路事兒嘛！這就能了了李叔叔心愿了?！闭f著話，耿正和弟弟將青石板供桌設(shè)法清掃一番，耿英將李老鄉(xiāng)在臨行前夜親自送去祭奠用具全部拿出來擺放在供桌上?？纯垂┳郎喜]有香爐，耿英拿著三大把香說：“插哪里啊？”耿正看看供桌前地面，說：“這前面土也太硬實，這……”耿直說：“嗨，用這些糖果點心圍起來不就行了！”于是，他們先把三大把香全部點著了穩(wěn)穩(wěn)地圍在糖果點心中間，然后并排跪在供桌前焚燒紙錢。耿正輕輕地說：“李爺爺，李奶奶，俺們和李叔叔在杭州一起經(jīng)營了四年‘興盛絲綢行’做得很好！如今，俺們要回老家去開創(chuàng)另一番事業(yè)了，李叔叔一家人還在杭州呢，他們都很好！李叔叔很能干，他正率領(lǐng)全家人繼續(xù)開‘興盛絲綢行’呢。您二老孫子孫女都長大了，都很聰明，很快就會成為能干生意人了。俺們臨走之前，李叔叔特地讓俺們轉(zhuǎn)告二老，請二老放心在此安息哇，他們一家人正在杭州做光宗耀祖大事業(yè)呢！”耿英和耿直也說：“請二老放心在此安息哇！”紙錢全部焚燒完后，兄妹三人一起給安息在地下兩位老人磕了三個頭。大家站起來，魚貫圍著墳?zāi)棺吡艘蝗?，又站在墳頭前。耿正再次深情地看著墓碑上李老鄉(xiāng)名字，輕輕地說：“我們是不是應(yīng)該告訴李叔叔一些什么啊？”耿英聽了，“撲哧”一聲笑出聲來，說：“俺說哥啊，這隔著黃河和長江呢，你倒是怎么告訴哇！”耿正有意不回答，而是轉(zhuǎn)頭看著弟弟，很認(rèn)真地說：“小直子，你說呢？”耿直瞪著眼兒看看哥哥和姐姐，再