數(shù)學(xué)模型-概論省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

李明遠(yuǎn)內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院Email:limycn@163.com第1頁(yè)引論第2頁(yè)原型model指為了某個(gè)特定目標(biāo)將原型某一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而結(jié)構(gòu)原型替換物。Prototype指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域通常使用系統(tǒng)（system）、過(guò)程(process)等詞匯。模型與第3頁(yè)模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型、物理模型…思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型…第4頁(yè)數(shù)學(xué)模型

“數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目標(biāo)而作抽象、簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！备?jiǎn)練地，也能夠認(rèn)為“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界描述。”——本德（E.A.Bender）第5頁(yè)普通地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型能夠描述為：

對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界地一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目標(biāo)，依據(jù)特有內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要簡(jiǎn)化假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型第6頁(yè)

甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行枰?0h，從乙到甲逆水航行需要50h，問(wèn)船速、水速各是多少？解方程組用x，y分別代表船速和水速，得方程第7頁(yè)描述性數(shù)學(xué)模型解釋性數(shù)學(xué)模型按照人們對(duì)原型認(rèn)識(shí)過(guò)程分為類分第8頁(yè)人口模型交通模型電氣系統(tǒng)模型通信系統(tǒng)模型機(jī)電系統(tǒng)模型環(huán)境模型傳染病模型水資源模型再生資源利用模型污染模型…生態(tài)模型按照模型應(yīng)用領(lǐng)域分為

類分第9頁(yè)幾何模型代數(shù)模型圖論模型規(guī)劃論模型微分方程模型最優(yōu)控制模型信息模型隨機(jī)模型決議與對(duì)策模型模擬模型…按照建立模型數(shù)學(xué)方法分為

類分第10頁(yè)靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型……確定性模型和隨機(jī)模型離散模型和連續(xù)性模型線性模型和非線性模型按照模型特征分為

類分第11頁(yè)白箱模型灰箱模型黑箱模型按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)了解程度分為

類分第12頁(yè)作用預(yù)報(bào)與決議：

生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增加預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型；使經(jīng)濟(jì)效益最大價(jià)格策略、使費(fèi)用最少設(shè)備維修方案，都是決議模型例子?？刂婆c優(yōu)化

電力、化工生產(chǎn)過(guò)程最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手課題。

分析與設(shè)計(jì)

比如描述藥品濃度在人體內(nèi)改變規(guī)律以分析藥品療效；建立跨音速流和激波數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新飛機(jī)翼型。規(guī)劃與管理

生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物資管理等，都能夠用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型處理。第13頁(yè)局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷逼真性和可行性

建模時(shí)往往需要在模型逼真性和可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間作出折衷和選擇。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第14頁(yè)折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近漸近性稍微復(fù)雜一些實(shí)際問(wèn)題建模通常不可能一次成功，要經(jīng)過(guò)建模過(guò)程重復(fù)迭代，包含由簡(jiǎn)到繁，也包含刪繁就簡(jiǎn)，以取得越來(lái)越滿意模型。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第15頁(yè)漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健健壯性

一個(gè)好模型應(yīng)該含有下述意義健壯性：當(dāng)模型假設(shè)改變時(shí)，能夠?qū)С瞿Ｐ徒Y(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)改變；當(dāng)觀察數(shù)據(jù)有微小改變時(shí)，模型參數(shù)也只有對(duì)應(yīng)微小改變。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第16頁(yè)強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移可轉(zhuǎn)移性

一個(gè)模型時(shí)現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、理想化產(chǎn)物，它不為對(duì)象所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，能夠轉(zhuǎn)移到另外領(lǐng)域。在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就經(jīng)常借用物理領(lǐng)域中模型。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第17頁(yè)可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理非預(yù)制非預(yù)制性

模型非預(yù)制性使得建模本身經(jīng)常是事先沒(méi)有答案問(wèn)題（Open-end-problem）。在建立新模型過(guò)程中甚至?xí)榘殡S新數(shù)學(xué)方法或者概念產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第18頁(yè)非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝條理?xiàng)l理性

從建模角度考慮問(wèn)題能夠促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象分析更全方面、更深入、更含有條理性。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第19頁(yè)條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限技藝技藝性

從建模方法無(wú)法歸納出若干條普遍適用建模準(zhǔn)則和技巧。經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺(jué)、靈感等在建模過(guò)程中起作用往往比一些詳細(xì)數(shù)學(xué)知識(shí)更大。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第20頁(yè)技藝條理非預(yù)制可轉(zhuǎn)移強(qiáng)健漸近折衷局限不足

1.當(dāng)結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，就回到現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽略、簡(jiǎn)化原因必須考慮，所以結(jié)論通用性和準(zhǔn)確性只是相正確和近似。2.因?yàn)槿藗冋J(rèn)識(shí)能力和科學(xué)技術(shù)發(fā)展水平限制，還有不少實(shí)際問(wèn)題極難得到有實(shí)用價(jià)值數(shù)學(xué)模型。3.還有些領(lǐng)域中問(wèn)題今天還未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律階段，如中醫(yī)診療過(guò)程。數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)第21頁(yè)開(kāi)設(shè)目標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)教育而言，既應(yīng)該讓學(xué)生掌握準(zhǔn)確快捷計(jì)算方法和嚴(yán)密邏輯推理，也需要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)工具分析處理實(shí)際問(wèn)題意識(shí)和能力。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重于前者，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程則是加強(qiáng)后者一個(gè)嘗試。

第22頁(yè)商人過(guò)河

建模示例之

三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納兩人，由他們自己劃船。隨從們密約，在河任何一岸，一旦隨從人數(shù)比商人多，就殺人越貨。不過(guò)怎樣乘船渡河大權(quán)掌握在商人們手中。商人們?cè)趺礃硬拍馨踩珊幽?第23頁(yè)分析：

安全渡河問(wèn)題能夠視為一個(gè)多步?jīng)Q議過(guò)程。每一步，即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對(duì)船上人員（商人、隨從各幾人）作出決議，在確保安全前提下（兩岸隨從數(shù)都不比商人數(shù)多），在有限步內(nèi)使全部人員過(guò)河。用狀態(tài)（變量）表示某一岸人員情況，決議（變量）表示船上人員情況，能夠找出狀態(tài)隨決議改變規(guī)律。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)允許改變范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步?jīng)Q議，到達(dá)渡河目標(biāo)。第24頁(yè)模型組成

記第次渡河前此岸商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為狀態(tài)。安全渡河條件下?tīng)顟B(tài)集合成為允許狀態(tài)集合，記做.

第25頁(yè)模型組成

記第次渡河渡船上商人數(shù)，隨從數(shù)為.將二維向量定義為決議。允許狀態(tài)集合，記做.由小船容量可知

因?yàn)闉槠鏀?shù)時(shí)船從此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時(shí)船由彼岸駛回此岸，所以狀態(tài)隨決議改變規(guī)律是，稱之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律。第26頁(yè)這么制訂安全渡河方案歸結(jié)為以下多步?jīng)Q議模型：

求決議，使?fàn)顟B(tài) 按照轉(zhuǎn)移律，由初始狀態(tài)經(jīng)有限步抵達(dá)狀態(tài)。模型組成

第27頁(yè)O123xy321模型求解

在商人和隨從人數(shù)不大簡(jiǎn)單情況，用圖解法比較簡(jiǎn)便。第28頁(yè)

這里講述是一個(gè)規(guī)格化方法，所建立多步?jīng)Q議模型能夠用計(jì)算機(jī)求解，從而含有推廣意義。譬如，當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大時(shí)，靠邏輯思索就困難了，而用這種模型則仍可方便求解。適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決議，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q議模型，是有效地處理很廣泛一類問(wèn)題方法。評(píng)注第29頁(yè)差分方程建模百分比性、幾何相同性模型擬合試驗(yàn)建模模擬方法建模量綱分析和相同性離散模型優(yōu)化圖