二維隨機(jī)變量的定義、分布函數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布第1頁(yè)體重X身高Y例2：檢驗(yàn)?zāi)炒髮W(xué)全體學(xué)生身體情況,例1飛機(jī)重心在空中位置是由三個(gè)隨機(jī)變量(三個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定.從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X

和Y

表示其體重和身高.多個(gè)隨機(jī)變量舉例第2頁(yè)3.1二維隨機(jī)變量及其分布比如E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年身高X與體重Y,以研究當(dāng)前該年紀(jì)段青少年身體發(fā)育情況。任務(wù)：需要研究不但僅是X及Y各自性質(zhì)，更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量相互依賴和制約關(guān)系。第3頁(yè)3.1.1二維隨機(jī)變量定義、分布函數(shù)定義3.1.1

設(shè)X、Y為定義在同一樣本空間Ω上隨機(jī)變量，則稱為Ω上一個(gè)二維隨機(jī)變量。向量（X，Y）第4頁(yè)二維隨機(jī)變量（X,Y）幾何意義二維隨機(jī)變量(X,Y)取值可看作平面上點(diǎn)（x，y）A第5頁(yè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)第6頁(yè)定義3.1.2稱為二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y.第7頁(yè)二維隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)F(x,y)含義幾何解釋：

F(x,y)表示隨機(jī)點(diǎn)(X

,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn),且位于該點(diǎn)左下方無(wú)窮矩形內(nèi)概率.第8頁(yè)x1x2y1y2

P（x1

X

x2，y1

Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)第9頁(yè)性質(zhì)（1）性質(zhì)（2）性質(zhì)（3）性質(zhì)（4）二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)F(x,y)分別關(guān)于X和Y

.

≤F(x,y)≤.

F(x,－

∞)=

；F(－

∞,y)=.

F(－

∞,－

∞)=

；F(+∞,+∞)=.F(x,y)分別關(guān)于X和Y.單調(diào)不減；010001右連續(xù)；第10頁(yè)3.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3.1.3

若二維隨機(jī)變量（X，Y）全部可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。第11頁(yè)（X，Y）聯(lián)合概率分布（分布律）表示式形式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1………………ym………………第12頁(yè)P(yáng)ij性質(zhì)第13頁(yè)例題講解第14頁(yè)例1一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到球上標(biāo)有數(shù)字，求(X,Y)聯(lián)合分布律。(X,Y)可能取值為(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).

P{X＝1，Y＝1}=

P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0第15頁(yè)1/31/31/30(X,Y)聯(lián)合分布律X/Y1212第16頁(yè)箱內(nèi)裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)從箱內(nèi)隨機(jī)抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)聯(lián)合分布律。其中：練一練第17頁(yè)1010X

Y(X,Y)聯(lián)合分布律第18頁(yè)例2.設(shè)隨機(jī)變量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整數(shù)值,求(

X,

Y

)分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900第19頁(yè)=

+

+

=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)第20頁(yè)例：(X,Y)聯(lián)合分布律以下：YX-101

2

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?

+

+

+k=1

k

=

第21頁(yè)YX-101

2

-1

120

XY0第22頁(yè)YX-101

2

-1

120

XY第23頁(yè)YX-101

2

-1

120

XY第24頁(yè)YX-101

2

-1

120

XY第25頁(yè)YX-101

2

-1

120

XY第26頁(yè)

Y=-1Y=0X=1

X=2

第27頁(yè)3.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量第28頁(yè)定義3.1.4(二元連續(xù)型隨機(jī)變量)

若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)分布函數(shù)可表示成以下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合概率密度函數(shù).第29頁(yè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度性質(zhì)

（1）非負(fù)性（2）正則性（3）可導(dǎo)性第30頁(yè)幾何解釋=曲頂柱體體積xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面區(qū)域G上概率第31頁(yè)例題講解第32頁(yè)例1：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度

求：⑴系數(shù)A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}第33頁(yè)求：⑵F(x,y)；第34頁(yè)xy解(3):

P{X<2,Y<1}

21

{x<2,y<1}f(x,y)≠0第35頁(yè)

32

2x+3y=6xy0解(4):f(x,y)≠0第36頁(yè)二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為則稱（X,Y)在D上服從均勻分布.其中G