高等數(shù)學(微積分)-§8.7二重積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

§8.7二重積分一、二重積分概念與性質(zhì)二、二重積分計算三、積分區(qū)域無界廣義二重積分*第1頁1曲頂柱體引例1：曲頂柱體體積柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體第2頁2“分割,求和,取極限”思想應用求曲頂柱體體積采取“分割、求和、取極限”方法，以下動畫演示．播放第3頁3求曲頂柱體體積詳細步驟用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體體積，先分割曲頂柱體底，并取經(jīng)典小區(qū)域，曲頂柱體體積第4頁4平面薄片質(zhì)量引例2：平面薄片質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取經(jīng)典小塊，將其近似看作均勻薄片，全部小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量第5頁5二重積分概念定義：設f(x,y)是有界閉區(qū)域D上有界函數(shù),將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域

1,

2,…,n,其中i表示第i個小區(qū)域,也表示它面積;在每個i上任取一點(

i,

i),作乘積f(

i,

i)i(i=1,2,…,n),并作和;假如當各小閉區(qū)域直徑中最大值趨于零時,這和極限存在,則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上二重積分，記作叫做被積函數(shù),叫做被積表示式,叫做面積元素,與叫做積分變量，叫做積分區(qū)域，叫做積分和。第6頁6關于二重積分定義說明(1)在二重積分定義中，對閉區(qū)域劃分是任意.(2)當在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式極限必存在，即二重積分必存在.(3)在直角坐標系中,若用平行于坐標軸直線網(wǎng)劃分,則二重積分幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體體積．當被積函數(shù)小于零時,二重積分是柱體體積負值．普通,D上二重積分等于部分區(qū)域上柱體體積代數(shù)和。D第7頁7二重積分性質(zhì)(1~5)性質(zhì)1（k為常數(shù)）性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4若

為D面積,則性質(zhì)5若在D上則有尤其地:第8頁8二重積分性質(zhì)(6~7)性質(zhì)6(估值不等式)設M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值,為D面積,則性質(zhì)7(二重積分中值定理)設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則在D上最少存在一點(

,

),使得第9頁9例題與講解例：不做計算,預計其中D是橢圓閉區(qū)域解第10頁10直角坐標下計算二重積分應用計算“平行截面面積為已知立體求體積”方法，能夠在直角坐標下計算二重積分。X-型積分區(qū)域D：［X－型］其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).第11頁11axbX-型積分區(qū)域上計算二重積分將二重積分值看作以D為底,以z=f(x,y)為曲面“曲頂柱體”體積。應用計算“平行截面面積為已知立體求體積”方法,垂直x軸作平行截面。得第12頁12Y-型積分區(qū)域上計算二重積分Y-型積分區(qū)域D：［Y－型］垂直y軸作平行截面第13頁13其它類型積分區(qū)域X型區(qū)域特點:穿過區(qū)域且平行于y軸直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.Y型區(qū)域特點:穿過區(qū)域且平行于x軸直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，則必須分割.在分割后三個區(qū)域上分別使用積分公式第14頁14例題與講解例：改變積分次序解：積分區(qū)域如圖第15頁15例題與講解例：改變積分次序解：積分區(qū)域如圖第16頁16例題與講解例：改變積分次序解：原式第17頁17例題與講解例：求積分其中D是由拋物線

y=x2和x=y2圍成閉區(qū)域。

解：第18頁18例題與講解例：求積分其中D是以(0,0)、(1,1)、(0,1)為頂點三角形區(qū)域。解：第19頁19例題與講解例：計算積分解：第20頁20例題與講解例：求由以下曲面所圍成立體體積解曲面圍成立體如圖：一個三角形.第21頁21利用極坐標計算二重積分第22頁22極坐標下化二次積分(１)若積分區(qū)域特征以下列圖第23頁23例題與講解例：寫出積分在極坐標下二次積分形式,其中積分區(qū)域解第24頁24極坐標下化二次積分(2)若積分區(qū)域特征以下列圖第25頁25極坐標下化二次積分(3)若積分區(qū)域特征以下列圖極坐標系下區(qū)域面積第26頁26例題與講解例：計算其中D是由中心在原點,半徑為a圓周所圍成閉區(qū)域。

解第27頁27例題與講解(泊松積分)例：求廣義積分解由上例結(jié)論以及對稱性知第28頁28例題與講解例：計算其中D為由圓及直線所圍成平面閉區(qū)域。解第29頁29例題與講解例：計算其中積分區(qū)域為解第30頁30小結(jié)二重積分在直角坐標下計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）［Y－型］［X－型］二重積分在極坐標下計算公式第31頁31練習(1)第32頁32練習(2)第33頁33練習(3)第34頁34練習解答第35頁35練習解答第36頁36練習解答第37頁37練習解答第38頁38練習解答第39頁39練習解答第40頁40練習解答第41頁41練習解答如圖所表示第42頁42練習解答如圖所表示第43頁43練習解答第44頁44練習解答第45頁45練習解答第46頁46練習解答第47頁47練習解答第48頁48求“曲頂柱體”體積演示(1)求曲頂柱體體積采取“分割、求和、取極限”方法，以下動畫演示．第49頁49求“曲頂柱體”體積演示(2)求曲頂柱體體積采取“分割、求和、取極限”方法，以下動畫演示．第50頁50求“曲頂柱體”體積演示(3)求曲頂柱體體積采取“分割、求和、取極限”方法，以下動畫演示．第51頁51求“曲頂柱體”體積演示(4)求曲頂柱體體積采取“分割、求和、取極