2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第八講解三角形應(yīng)用舉例課件（8份）

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第八講解三角形應(yīng)用舉例

課標(biāo)要求考情分析

能夠運(yùn)用正弦定理、

余弦定理等知識(shí)和

方法解決一些與測

量和幾何計(jì)算有關(guān)

的實(shí)際問題1.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模，

掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題

的基本方法.

2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培

養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)

之一

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

仰角與

俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角

中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫

做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方

的叫做俯角

測量中的有關(guān)術(shù)語

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示

方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ0，cosθ0，

ω>0)的圖象的步驟

【常用結(jié)論】

(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，

上加下減”.

(2)由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左

考點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換

1.(2022年浙江)為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)

答案：D

答案：B

答案：C

【題后反思】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的

作法

(1)五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是

的x，通過列表得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)，連線后得出圖象.

(2)圖象變換法：由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝

Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后

平移”.

提醒：三角函數(shù)圖象左右平移時(shí)應(yīng)注意的問題

①弄清楚平移方向，平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的

圖象.

②注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先

利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù).

③由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，需平

移個(gè)單位長度，而不是|φ|個(gè)單位長度.

考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)圖象求解析式

[例1](1)(2023年全國甲卷文科)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)

圖3-6-1

圖3-6-2

A.g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.g(x)的最小正周期是2π

答案：ABD

【題后反思】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析

式的步驟

(3)求φ，把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在遞增

區(qū)間上還是在遞減區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入求解.

【變式訓(xùn)練】

分圖象如圖3-6-3所示，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為______________.

圖3-6-3

圖3-6-4

考點(diǎn)三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

考向1函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的應(yīng)用

圖3-6-5

A.

π

12

B.

π

6

C.

π

4

D.

π

3

答案：B

考向2函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題

圖3-6-6

答案：A

【題后反思】巧用圖象解決三角函數(shù)相關(guān)的方程或不等式

問題

解決與三角函數(shù)相關(guān)的方程或不等式問題，最基本的方法就

是作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)圖象的特征確定方程的解

或不等式的解集.故準(zhǔn)確作出對(duì)應(yīng)函數(shù)在指定區(qū)間上的圖象是解決

問題的關(guān)鍵.

【考法全練】

圖3-6-7

A.(0，3]

C.[－1，3]

B.[－1，2)

D.(－1，3)

答案：A

圖D19

答案：A

t/時(shí)03691215182124

y/米1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

⊙三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)

[例4]已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單

位：時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時(shí)的海浪高度數(shù)據(jù)：

經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt

＋b(A＞0，ω＞0)的圖象.根據(jù)以上數(shù)據(jù).

(1)求函數(shù)f(t)的解析式；

(2)求一日(持續(xù)24小時(shí))內(nèi)，該海濱浴場的海浪高度超過1.25

米的時(shí)間.

【高分訓(xùn)練】

圖3-6-8

答案：AD(共53張PPT)

第七講正弦定理和余弦定理

課標(biāo)要求考情分析

1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.

2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題1.從近五年的考查情況來看，該節(jié)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，有時(shí)也與三角恒等變換等進(jìn)行綜合命題.

2.既有選擇題、填空題，也有解答題

名稱正弦定理余弦定理

定理

其中R是三角形外接圓的半徑a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝a2＋c2－2accosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

1.正弦定理與余弦定理

名稱正弦定理余弦定理

變形a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝

2RsinC

(續(xù)表)

角的分類A為銳角A為鈍角或直角

圖形

關(guān)系式a＝bsinAbsinAb

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

2.三角形解的判斷

3.三角形中常用的面積公式

【名師點(diǎn)睛】

(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；

(2)三角形中的射影定理

在ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝

bcosA＋acosB.

(3)在ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

A>Ba>bsinA>sinBcosA0，所以sinC0，所以cosB<0，

即B為鈍角，所以△ABC為鈍角三角形.

答案：A

邊)，則△ABC的形狀為(

)

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

即a2＋c2－b2＝2a2，

所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角

邊是否相等.

又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，

所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，

即sinBcosC＝0，又sinB≠0，

所以cosC＝0，又角C為三角形的內(nèi)角，

否相等.

答案：A

【題后反思】判斷三角形形狀的常用技巧

若已知條件中既有邊又有角，則

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判

斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三

角形的形狀.此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論.

【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)三與三角形面積、周長有關(guān)的問題

考向1與三角形面積有關(guān)的問題

[例2](2022年太原市模擬)已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角

A，B，C所對(duì)的邊，3csinA＝4bsinC，再從下面條件①與②中任

選一個(gè)作為已知條件，完成以下問題.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)證明：△ABC為等腰三角形；

，點(diǎn)D在線段AB上，且BD＝

(2)若△ABC的面積為2

2DA，求CD的長.

【題后反思】(1)求三角形面積的方法

①若已知三角形的一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)及該

積.

②若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其

正弦值，代入(1)中公式求面積.總之，結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e公

式是解題的關(guān)鍵.

(2)已知三角形面積求邊、角的方法

①若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列

方程求解.

②若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式

列方程求解.

考向2與三角形周長有關(guān)的問題

則(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時(shí)等號(hào)成立)，

∴△ABC周長＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即△ABC周長的最

大值為12.

答案：12

【考法全練】

1.(考向1)(2023年密云區(qū)月考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)

邊分別為a，b，c.已知b2＋c2＝a2＋bc，求：

(1)A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.

(1)證明：在△ABC中，因?yàn)閟inCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，

所以sinC(sinAcosB－cosAsinB)＝

sinB(sinCcosA－cosCsinA)，

所以sinAsinBcosC＋sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，

即sinA(sinBcosC＋cosBsinC)＝2cosAsinBsinC，

所以sinAsin(B＋C)＝2cosAsinBsinC，

即sin2A＝2cosAsinBsinC.

由正弦定理得a2＝2bc·cosA，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以2a2＝b2＋c2.

⊙解平面圖形問題

(2)求CD的長.

圖3-7-1

(1)求sin∠BCE的值；

【反思感悟】平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角

度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利

用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題時(shí)，

常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用

所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研

究最值，常使用函數(shù)思想.

【高分訓(xùn)練】

(2023年安陽市期中)如圖3-7-2所示，在平面四邊形ABCD中，

(1)求tan∠BDC的值；

(2)求BD.

圖3-7-2(共30張PPT)

第三講兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)公式

課標(biāo)要求考情分析

1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過

程，知道兩角差余弦公式的意義.

2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出

兩角和與差的正弦、余弦、正切

公式，二倍角的正弦、余弦、正

切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系1.從考查內(nèi)容上看，考查三角函

數(shù)化簡與求值，或與三角函數(shù)圖

象、性質(zhì)相結(jié)合，考查應(yīng)用意識(shí).

2.從考查題型上看，各種題型均

有，中低檔難度

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β)).

(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β)).

(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β)).

(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β)).

1－tanα

.

2.二倍角公式

(1)基本公式

①sin2α＝2sinαcosα.

②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

③tan2α＝

2tanα

2

考點(diǎn)一公式的直接應(yīng)用

答案：D

①求cos2α的值；

②求tan(α－β)的值.

【題后反思】應(yīng)用公式化簡求值的策略

(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律.例如兩角差

的余弦公式可簡化為“同名相乘，符號(hào)相反”.

(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用.

(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練】

則(

)

A.tan(α－β)＝1

C.tan(α－β)＝－1

B.tan(α＋β)＝1

D.tan(α＋β)＝－1

解析：由題意可得，sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ

＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ

＝0，所以sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，故tan(α－β)＝－1.故選C.

答案：C

2.已知sin10°＋mcos10°＝2cos140°，則m＝_________.

考點(diǎn)二公式的逆用和變形

考向1公式的逆用

答案：B

(2)(2023年宿遷市校級(jí)月考)計(jì)算下列各式的值：

考向2公式的變形

答案：－cosθ

【題后反思】兩角和、差及二倍角公式的逆用和變形的技巧

(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆

用公式.

(2)公式的一些常用變形

①sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；

②cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；

【考法全練】

答案：D

⊙三角變換與數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)新問題

新高考數(shù)學(xué)考查的學(xué)科素養(yǎng)提煉為理性思維，數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)

學(xué)探究和數(shù)學(xué)文化，其中數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考查的四大內(nèi)涵之一，

以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的必考內(nèi)容.

[例4]公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊

形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，

＝(

)

A.8

B.4

C.2

D.1

答案：C

【反思感悟】

理解數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，結(jié)合題目條件進(jìn)行三角變換求值是關(guān)鍵.

【高分訓(xùn)練】

(2023年瀘州市模擬)《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖

是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成

一個(gè)大的正方形，若圖3-3-1中直角三角形兩銳角分別

為α，β，且小正方形與大正方形面積之比為9∶25，

則cos(α－β)的值為(

)

圖3-3-1

解析：設(shè)大的正方形的邊長為1，由于小正方形與大正方形面

答案：D(共40張PPT)

第四講簡單的三角恒等變換

課標(biāo)要求考情分析

能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正

切公式，二倍角的正弦、余弦、正切

公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)

出積化和差、和差化積、半角公式，

這三組公式不要求記憶)1.本講考查三角函數(shù)化簡與

求值，或與三角函數(shù)圖象、

性質(zhì)相結(jié)合，考查應(yīng)用意識(shí).

2.各種題型均有，中低檔難度

1.輔助角公式的應(yīng)用

(2)用輔助角公式變形三角函數(shù)式時(shí)：

①遇兩角和或差的三角函數(shù)，要先展開再重組；

②遇高次時(shí)，要先降冪；

③熟記以下常用結(jié)論：

2.半角公式

考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡

∵α為第二象限角，

【題后反思】

(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則

(2)三角函數(shù)式化簡的方法

①弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.

②在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基

本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次.

考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值

考向1給角求值

答案：C

(2)cos20°·cos40°·cos100°＝__________.

解析：cos20°·cos40°·cos100°

＝－cos20°·cos40°·cos80°

考向2給值求值

答案：D

考向3給值求角

【題后反思】三角函數(shù)式求值的三種題型

(1)給角求值：該類問題中給出的角一般都不是特殊角，需要

通過三角恒等變換將其變?yōu)樘厥饨?，或者能夠正?fù)相消，或者能

夠約分相消，最后得到具體的值.

(2)給值求值：一般是給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些

角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，使相關(guān)角相同或具

有某種關(guān)系.

(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”，即通過求角的

某一個(gè)三角函數(shù)值來求角.在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：

①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù).

【考法全練】

A.－4

C.－2

B.4

D.2

答案：B

2.(考向2)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)

＝________.

解析：由sinα＋cosβ＝1得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，①

由cosα＋sinβ＝0得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，②

①＋②得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，即2sin(α＋β)＝

⊙三角恒等變換的綜合應(yīng)用

(1)進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，

尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.

進(jìn)一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性.

【反思感悟】三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路

(1)將f(x)化為asinx＋bcosx的形式.

(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.

【高分訓(xùn)練】(共49張PPT)

第五講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

課標(biāo)要求考情分析

1.能畫出y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值.

2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)

在[0，2π]上，正切函數(shù)在上

的性質(zhì)1.要熟記本講的基礎(chǔ)知識(shí)，并會(huì)將ωx＋φ看作一個(gè)整體進(jìn)行解題.

2.解題時(shí)要注意圖象的應(yīng)用，如利用圖象求函數(shù)的最值、值域

等.

3.題型既有選擇題、填空題，又有解答題

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx

圖象

定義域RR

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)

函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx

值域[－1，1][－1，1]R

周期性2π2ππ

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

遞增

區(qū)間[2kπ－π，2kπ]

(續(xù)表)

函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx

遞減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π]無

對(duì)稱中心(kπ，0)

對(duì)稱軸方程x＝kπ無

(續(xù)表)

【常用結(jié)論】

(1)三角函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

①正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間

期.

②正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.

(2)函數(shù)具有奇偶性的充要條件

①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)φ＝kπ(k∈Z)；

④函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)φ＝kπ(k∈Z).

考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域

答案：D

____________.

解析：要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，

在同一坐標(biāo)系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖

D18所示.

圖D18

【題后反思】三角函數(shù)定義域的求法

(1)求三角函數(shù)的定義域?；癁榻馊遣坏仁?組).

(2)解三角不等式(組)時(shí)常借助三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線.

考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性

考向1三角函數(shù)奇偶性、周期性

)

[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(

A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4

答案：B

答案：A

【題后反思】

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則

②f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).

(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期

T＝

2π

|ω|

，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝

π

.

|ω|

考向2三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性

答案：C

【題后反思】

【考法全練】

考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性

考向1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

通性通法：三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

(1)將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，

若ω＜0，借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù).

(2)根據(jù)y＝sinx和y＝cosx的單調(diào)區(qū)間及A的正負(fù)，列不等

式求解.

答案：B

子集

法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的

子集，列不等式(組)求解

反子

集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正弦、

余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解

周期

性法

由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過

周期列不等式(組)求解

考向2已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

通性通法：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法

答案：D

【考法全練】

答案：D

⊙三角函數(shù)的值域與最值

求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型

(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋

φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，

化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；

(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先

設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；

法，也可以利用正弦函數(shù)的有界性建立關(guān)于y的不等式反解求值

域(最值).

【高分訓(xùn)練】

答案：1(共34張PPT)

第三章

三角函數(shù)、解三角形

第一講

弧度制及任意角的三角函數(shù)

課標(biāo)要求考情分析

了解任意角和弧度制的

概念，能進(jìn)行弧度與角度

的互化.體會(huì)引入弧度制

的必要性1.考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用及三角函數(shù)

的化簡與求值，常與向量、三角恒等變

換相結(jié)合.考查中滲透分類討論思想和

數(shù)形結(jié)合思想.

2.題型以選擇題為主，低檔難度

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋

轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，

可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的

角，弧度記作rad.

(2)公式：

3.任意角的三角函數(shù)

【名師點(diǎn)睛】

(1)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正

切，四余弦.

(3)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式

子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.

(4)象限角的集合

考點(diǎn)一角的概念及其集合表示

1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{鈍角}，C＝{小于180°

的角}，則A，B，C關(guān)系正確的是()

A.B＝A∩C

C.B∪C＝C

B.A∪C＝C

D.A＝B＝C

解析：由題意可知，鈍角是第二象限角，也是小于180°的角，

所以B

A∩C，故A錯(cuò)誤；又A中元素完全可以有大于180°的角，

C，所以B∪C＝C，即C正確；由以上分

所以B錯(cuò)誤；因?yàn)锽

析可知D錯(cuò)誤.故選C.

答案：C

A.M＝N

C.NM

B.MN

D.M∩N＝

答案：B

A.第一象限角

C.第三象限角

B.第二象限角

D.第四象限角

答案：C

4.與－2010°終邊相同的最小正角是________.

解析：與－2010°終邊相同的角可表示為α＝－2010°＋

k·360°，k∈Z，又當(dāng)k＝6時(shí)，α＝150°，故與－2010°終邊

相同的最小正角為150°.

答案：150°

【題后反思】(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條

件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然

后通過對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角.

(2)判斷象限角的兩種方法

①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角

的定義直接判斷已知角是第幾象限角；

②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)

的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限

判斷已知角是第幾象限角.

考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用

[例1](2023年定西市期中)已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，

弧長為l.

(1)若α＝60°，R＝10