數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊(cè)2.2基本不等式課件（共35張ppt）

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第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式

我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它們?cè)诮鉀Q不等式問(wèn)題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學(xué)抽象)

2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)

3．會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

4．會(huì)用基本不等式進(jìn)行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)

5．會(huì)用基本不等式求最值問(wèn)題和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

前面我們利用面積法和完全平方公式得出了一類重要不等式：

，有：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

特別地，如果，我們用分別代替上式中的

，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

通常稱為基本不等式.其中，叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

問(wèn)題1：基本不等式及其推導(dǎo)

【證法一】當(dāng)時(shí)，，

，

，所以

由重要不等式可得：

問(wèn)題1：基本不等式及其推導(dǎo)

問(wèn)題1：基本不等式及其推導(dǎo)

【證法二】當(dāng)然我們也可以利用分析法：

把這個(gè)過(guò)程倒過(guò)來(lái)，就是證明的過(guò)程.

只要證；

只要證；

只要證.

要證，去分母并調(diào)換方向，

而此式顯然成立.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

.

所以

所以

所以

綜合法

（1）基本不等式成立的條件是.

①若，如，此時(shí)是不成立的；

②若中有一個(gè)小于0，如如，則無(wú)意義

③若等于0，雖然該不等式也成立，但一般不研究這種情況

（2）基本不等式的常見(jiàn)變形式：

①②

基本不等式鏈

問(wèn)題1：基本不等式及其推導(dǎo)

【答】可證，因此CD=，由于CD小于或等于圓的半徑，所以用不等式表示為：

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=，BC=.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

A

B

D

C

E

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，

即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

問(wèn)題2：基本不等式的幾何意義

【例1】

【解】因?yàn)椋?/p>

已知，求的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

的最小值是2

一正：各項(xiàng)必須為正

二定：各項(xiàng)之和或各

項(xiàng)之積為定值

三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)

時(shí)的條件十分具備

問(wèn)題3：利用基本不等式求最值

思考

問(wèn)題3：利用基本不等式求最值

【例2】已知都是正數(shù)，求證：

（1）如果等于定值P，那么當(dāng)時(shí)，有最小值

【證明】所以

（1）等于定值P時(shí)，，所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)有最小值

（2）如果等于定值S，那么當(dāng)時(shí)，有最大值

（2）時(shí)，，兩邊平方，所以

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)有最大值

問(wèn)題4：最值定理及其應(yīng)用

①當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

問(wèn)題4：最值定理及其應(yīng)用

練習(xí)1：已知，求證：.

【證明】

，即.

練習(xí)2：已知都是正數(shù)，且，求證：

（1）（2）

（1）∵，

∴，

由于，等號(hào)取不到，

所以

（2）∵，，，

∴，

∴

∴

∴

∴，

【證明】

本題可拓展到求，等同類式子的最小值.

練習(xí)3：取何值時(shí)，取得最小值？最小值是多少？

【解】由題意∵，所以，

∴,

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為

【例題】(1)用籬笆圍成一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用的籬笆最少，最短長(zhǎng)度是多少？

【解】由題意設(shè)籬笆的長(zhǎng)和寬分別為米，且

所以米

當(dāng)且僅當(dāng)米，即圍成正方形時(shí)，有最短長(zhǎng)度40米

問(wèn)題5：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

【例題】(2)用一段長(zhǎng)為36米的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

【解】由題意設(shè)籬笆的長(zhǎng)和寬分別為米，且

所以為平方米，根據(jù)基本不等式，

，即

當(dāng)且僅當(dāng)，即圍成正方形時(shí)，有最大面積81平方米.

問(wèn)題5：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

【例題】（3）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深為3米.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池才能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？

【解】設(shè)水池底面的長(zhǎng)和寬分別為米，且，總造價(jià)元，

根據(jù)題意，有

因?yàn)槿莘e為，所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)米時(shí)，取得最低總造價(jià)

元

，

問(wèn)題5：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

練習(xí)4：已知直角三角形的面積為50，當(dāng)兩條直角邊的長(zhǎng)度各為多少時(shí)，

兩條直角邊的和最??？最小值是多少？.

【解】由題意設(shè)兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為，且

則面積為，即，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩條直角邊的和有最小值20

練習(xí)（第48頁(yè)）

1．用20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？

因?yàn)橹荛L(zhǎng)等于20，所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)取等號(hào)。

答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)與寬均為5cm時(shí)，面積最大。最大值為25cm2.

2．用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m．當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

3．做一個(gè)體積為32m3，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒，當(dāng)?shù)酌娴倪呴L(zhǎng)取什么值時(shí)，用紙最少？

解：設(shè)底面的長(zhǎng)與寬分別為am,bm.a>0,b>0,因?yàn)轶w積等于32m3,高2m,所以底面積為16m2,即：

所以用紙面積是

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號(hào)。

答：當(dāng)?shù)酌娴拈L(zhǎng)與寬均為4m時(shí)，用紙最少。

4．已知一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為36cm？矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱．當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？

當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬分別為9時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大。

習(xí)題2.2

（第48頁(yè)）

2．（1）把36寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小？

答：當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)均為6時(shí)，它們的和最小。

2．（2）把18寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？

答：當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)均為96時(shí)，它們的積最大。

3．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為3m，且不計(jì)屋脊面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計(jì)房屋使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

當(dāng)3600y=4800x,即x=6,y=8時(shí)，z有最小值，最低造價(jià)為63400元。

6．一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)y1（單位：元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)用y2（單位：元）與x成正比；若在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù)，則y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元．這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最?。?/p>

所以倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在距離車站5km處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，最小費(fèi)用為8萬(wàn)元．

7．一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一位顧客到店里購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤(pán)中，取出一些黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤(pán)中，再取出一些黃金放在天平左盤(pán)中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？