數(shù)學(xué)人教A版必修3預(yù)習(xí)導(dǎo)航2.2用樣本估計(jì)總體（第2課時(shí)）

預(yù)習(xí)導(dǎo)航1．掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的定義和特征．2．會(huì)求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差，并能用來解決有關(guān)問題．1．眾數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．名師點(diǎn)拔眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使其無法客觀地反映總體特征．【做一做1】數(shù)據(jù)組8，－1,0,4，eq\f(1,7)，4,3的眾數(shù)是__________．答案：42．中位數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排成一列，處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)特征：一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．名師點(diǎn)拔中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)．【做一做2】數(shù)據(jù)組－5,7,9,6，－1,0的中位數(shù)是__________．解析：將該組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－5，－1，0,6,7,9，則中位數(shù)是eq\f(0＋6,2)＝3.答案：33．平均數(shù)(1)定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).(2)特征：平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平．任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì)．所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低．【做一做3】10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，則其平均數(shù)是__________．解析：平均數(shù)是eq\f(1,10)(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7.答案：4．標(biāo)準(zhǔn)差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用以下公式來計(jì)算s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]).可以用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．(2)特征：標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大小．標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較?。咀鲆蛔?】一組數(shù)據(jù)的單位是m，平均數(shù)是eq\x\to(x)，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則()A．eq\x\to(x)與s的單位都是kmB．eq\x\to(x)與s的單位都是cmC．eq\x\to(x)與s的單位都是mD．eq\x\to(x)與s的單位不同解析：eq\x\to(x)與s的單位都與數(shù)據(jù)組中的數(shù)據(jù)單位相同，是m.答案：C5．方差(1)定義：標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．(2)特征：與標(biāo)準(zhǔn)差的作用相同，描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小．(3)取值范圍：[0，＋∞)．知識拓展數(shù)據(jù)平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差x1，x2，x3，…，xneq\x\to(x)s2sx1＋b，x2＋b，…，xn＋b(b為常數(shù))eq\x\to(x)＋bs2sax1，ax2，…，axn(a為常數(shù))aeq\x\to(x)a2s2|a|sax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數(shù))aeq\x\to(x)＋ba2s2|a|s【做一做5】下列刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A．平均數(shù)B．方差C．中位數(shù)D．眾數(shù)解析：方差刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的大小．答案：B6．用樣本估計(jì)總體現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道的，因此，通常用樣本的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計(jì)．這與上一節(jié)用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．歸納總結(jié)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差．樣本容量越大，估計(jì)就越精確．【做一做6－1】下列判斷正確的是()A．樣本平均數(shù)一定小于總體平均數(shù)B．樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)一定等于總體平均數(shù)D．樣本容量越大，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)答案：D【做一做6－2】電池廠從某日生產(chǎn)的電池中抽取10個(gè)進(jìn)行壽命測試，得數(shù)據(jù)如下(單位：小時(shí))：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，則該日生產(chǎn)電池的平均壽命估計(jì)為()A．27