課例拋物線的定點(diǎn)弦問題簡案

#課題：拋物線的定點(diǎn)弦問題上海大學(xué)附屬中學(xué) 李昉2008年11月26日一、 教材分析：拋物線，作為四種二次曲線一一圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的最后一種，教材在這一小節(jié)中簡單介紹了拋物線的幾何性質(zhì)及一種奇特的光學(xué)性質(zhì)， 學(xué)生通過對這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可進(jìn)一步掌握拋物線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，同時也為學(xué)生進(jìn)一步探究拋物線的其它性質(zhì)留下了廣闊的空間。拋物線的性質(zhì)，除了書上介紹的之外，還有如拋物線的焦點(diǎn)弦問題、拋物線的定點(diǎn)弦問題等等，都可以作為我們教學(xué)中探究的課題。拋物線性質(zhì)的探究，對于培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力、培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的精神等，都具有重要的作用。二、 教學(xué)目標(biāo)熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算、直線與拋物線相交問題中的常規(guī)解題思路、分類討論思想與方法等學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的方法；形成縱向思考問題、逆向思考問題的意識，優(yōu)化思維品質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的精神，提高學(xué)生合作交流的能力三、 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法四、 教學(xué)方法及手段：以“疑”為樞紐，創(chuàng)設(shè)問題情景，師生互動，生生互動，引導(dǎo)學(xué)生共同探究解決問題五、教學(xué)過程：?問題引入：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)直線I與拋物線y22x相交于代B兩點(diǎn)，(1)若I:yx3,求OAOB，(2)若I:y2(x3),求OAOB(學(xué)生分兩組解答問題，老師強(qiáng)調(diào)：聯(lián)立方程組消元時方法的選擇以及常規(guī)的解題思路)?問題探究：1?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：上述兩組問題中，所給的直線方程不同，而所得結(jié)果卻是一樣的，考察兩條直線的方程，有何共同之處？不同之處？若直線過點(diǎn)(3,0)，當(dāng)它的斜率改為3,k或直線斜率不存在，其結(jié)果還是一樣嗎？2?引導(dǎo)學(xué)生提出問題：問題一：從這兩組問題的解答中，你能概括出怎樣的一個命題？它是真命題還是假命題？命題：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22x相交于A,B兩點(diǎn)，若直線I過點(diǎn)T(3,0),則OAOB3，是真命題(學(xué)生回答，老師補(bǔ)充歸納)3?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推廣問題二：至此，我們已經(jīng)在原來問題的基礎(chǔ)上，對直線的斜率進(jìn)行了推廣，一般來說，對一個問題進(jìn)行推廣可以從“特殊到一般、數(shù)字到字母、具體到抽象”等方面考慮，那么，圍繞這個命題，我們還可以進(jìn)一步作怎樣的探究？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22x相交于A,B兩點(diǎn)，若直線I過點(diǎn)T(t,0)，則OA0B?(師生一起通過同上解法，得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22x相交于A,B兩點(diǎn)，若直線I過點(diǎn)T(t,0),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜率1————-取k2 —范圍時,0AOBt22t,即數(shù)量積只與點(diǎn)的橫坐標(biāo)2t有關(guān)而與直線的斜率無關(guān)?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推廣問題三：至此，我們對直線的斜率、直線過的定點(diǎn)都作了推廣，那么，圍繞這個問題，還能再作進(jìn)一步的推廣嗎？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22px(p0)相交于A,B點(diǎn)，若直線I過點(diǎn)T(t,0)，則OA0B?(師生一起通過同上解法，得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22px(p0)相交于A,B兩點(diǎn)，若直線I過點(diǎn)T(t,0)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜率取k2 衛(wèi)范圍時，OAOBt22pt,即數(shù)量積2t只與點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線焦參數(shù)有關(guān)，而與直線的斜率無關(guān)?引導(dǎo)學(xué)生逆向思考：問題四：剛才我們圍繞著問題一中的命題作了縱向考慮，即將特殊情況進(jìn)行了推廣，獲得了一般的結(jié)論。同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中，有時會遇到這樣一類問題，即正面解決比較困難，那么我們可以從其反面來考慮。因此圍繞這個命題，我們的研究還可以作逆向的思考，你可以探究一個怎樣的問題？學(xué)生：設(shè)直線I與拋物線y22x相交于A,B兩點(diǎn)，若OAOB3,則直線I過定點(diǎn)T（3,0）嗎？（老師引導(dǎo)：設(shè)直線過定點(diǎn)（t,0），由上述研究過程可以得出如下結(jié)論：）結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中直線I與拋物線y22x相交于A,B兩點(diǎn)，若OAOB3,則當(dāng)直線I與拋物線的交點(diǎn)A,B位于x軸兩側(cè)時，所有直線I過定點(diǎn)（3,0），當(dāng)直線I與拋物線的交點(diǎn)A,B位于x軸同側(cè)21且直線I的斜率滿足：k 時，直線I過定點(diǎn)（1,0）t?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究：問題五：既然上述結(jié)論不一定成立，那么我們可以作進(jìn)一步的探究在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I與拋物線y22px（p0）相交亠uuuuu , ,于A,B兩點(diǎn)，右OAOBm（m為正的常數(shù)），則直線I與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？是定點(diǎn)嗎？（師生一起通過同上解法，得到如下結(jié)論：）結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線I過點(diǎn)（t,0），與拋物線y22pxuuuuu（p0）相交于代B兩點(diǎn)，若OAOBm（m為正的常數(shù)）,當(dāng)直線I與拋物線交點(diǎn)A,B位于x軸兩側(cè)時，所有直線過定點(diǎn)（p、、.p2m,0），當(dāng)直線I與拋物線的交點(diǎn)A,B位于x軸同側(cè)，且直線I斜率滿足：k2專時，直線I過定點(diǎn)（pp2m,0）三）．小結(jié)：這堂課，我們研究了直線與拋物線相交時的定點(diǎn)弦問題。對于一個問題的探究，我們的方法可以從特殊到一般，即作縱向考慮，也可以作逆向的思考。探究一個問題，要學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而解決問題，這里掌握方法最重要四）．作業(yè)：思考：關(guān)于拋物線的焦點(diǎn)弦問題，我們還可以作哪些方面的探究？五）設(shè)計說明：本節(jié)課是一節(jié)探究課，設(shè)計這樣一個問題，主要是為了使學(xué)生感悟并學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，綜合應(yīng)用知識探究、解決問題的思路和方法。本節(jié)課設(shè)計的這個問題，有三個可以研究的變量，即直線的斜率、直線經(jīng)過的定點(diǎn)以及拋物線中參變量。教學(xué)設(shè)計分兩部分進(jìn)行，首先我們通過上述問題一至問題三，從特殊到一般，不斷引導(dǎo)學(xué)生對問題中的三個變量作縱向的探究；其次進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對問題作逆向的思考，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維