第二節(jié)齊次線性方程組

第二節(jié)齊次線性方程組第1頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）稱為齊次線性方程組.記

第2頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則線性方程組（1）可寫(xiě)成矩陣方程

（2）

若

代入（1），使得

等式成立，則稱為線性方程組（1）的解或解向量，它也是矩陣方程（2）的解.

…，

第3頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組（1）可寫(xiě)成向量形式

（3）

對(duì)方程組（1），以下幾種說(shuō)法是等價(jià)的：

齊次線性方程組有非零解的條件

（2）向量組線性相關(guān)；

（1）方程組（1）有非零解。（3）系數(shù)矩陣A=（）的秩小于n，即R(A)<n

于是得到下面的判定定理若R(A)=n，則方程組（1）只有零解.第4頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推論含有n個(gè)方程n個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式一、齊次方程組解的性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)定理3.11若為的解，則也是的解.證明第5頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理3.12若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解．證明證畢.用表示方程組（1）的全體解向量所組成的集合，則上述兩個(gè)性質(zhì)表明是一個(gè)向量空間，稱為齊次線性方程組（1）的解空間.的基稱為齊次線性方程組（1）的基礎(chǔ)解系.定理3.13若齊次線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩，則它的基礎(chǔ)解系含有個(gè)向量，即解空間是維的.

第6頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是方程組（1）的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（1）的任一解可表示為

（6）

其中為任意實(shí)數(shù).（6）式稱為方程組（1）的通解.從（6）式可以看出，若齊次線性方程組（1）有非零解，則它就有無(wú)窮多個(gè)解.齊次方程組的解法

通過(guò)上面的討論可知，如果求出了齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，就可以寫(xiě)出通解.因此，我們總結(jié)求基礎(chǔ)解系的步驟如下：設(shè)齊次線性方程組的未知量個(gè)數(shù)為n，系數(shù)矩陣的秩為r.第7頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一步：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，使其變成行最簡(jiǎn)形矩陣第8頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二步：將第列前個(gè)分量反號(hào)，于是得與原方程組同解的方程組第9頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三步：將其余個(gè)分量依次組成階單位矩陣，于是得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

第10頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣，有第11頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第13頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換第14頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即方程組有無(wú)窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.第15頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為第17頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3求解方程組

解

對(duì)作初等行變換

～

第18頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月～

～即得同解方程組

于是有

為任意的.

第19頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故方程組的通解為