初中數(shù)學(xué)專題：旋轉(zhuǎn)問題

標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案文檔文檔專題二旋轉(zhuǎn)，學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：出題位置：選擇、填空最后一道題和倒數(shù)第二道題，壓軸題最后兩道“旋轉(zhuǎn)”在蘇教版中是一個(gè)獨(dú)立章節(jié)，在中考和平時(shí)的考試張經(jīng)常出現(xiàn)，結(jié)合三角形，四邊形等基本圖形考察學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。同時(shí)，旋轉(zhuǎn)對(duì)解決動(dòng)點(diǎn)問題有極大的幫助。一、基本圖形一：將nAOB旋轉(zhuǎn)至nA‘OB’，圖①、②分別可以得到結(jié)論？① ②旋轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)有一組對(duì)角相等（考題規(guī)律，如果已知條件為較小的角度相等，則題目一定需要較大的角相等；如果條件給出較大的角相等，則一定需要較小的角相等）二、基本圖形二：將aAOB旋轉(zhuǎn)至△&OB'，連接AA'與BB’，分別在圖①、②中證明aQAA'與aOBB’相似。旋轉(zhuǎn)后連接得到的兩個(gè)三角形相似。因?yàn)樾D(zhuǎn)的兩個(gè)三角形全等，連接后出現(xiàn)等腰三角形，頂角相等；則底角亦相等；或根據(jù)夾角成比例證明相似。三、解題步驟（1）第一步：找旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，角相等；（2）第二步：證全等、相似；（3）第三步：利用全等、相似得到邊、角條件。例1.在銳角MBC中，AB=4,BC=5,nACB=45°,將MBC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到MRC].（1）當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)，如圖1,求NCC1A1的度數(shù)；（2）如圖2「ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接AA1，CC1，若MBA1的面積為4，求ACBC1的面積；（3）點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在MBC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值.

例2.已知^ABC是等邊三角形.(1M和ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°<-><180°),得到MDE,BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O.①如圖a，當(dāng)二20。斗「ABD與MCE是否全等？(填“是”或“否”)，NBOE=度；②當(dāng)^ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求nBOE的度數(shù)； 后(2)如圖c,在AB和AC上分別截取點(diǎn)B'和C’,使AB二AB',AC二人。,連接B'C',將川8'仁繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0。<<180。)，得到^ADE.BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O，請利用圖c探索nBOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由.圖日 竄的 闋例3.（一）如圖，在^ABC和^ADE中,AB=AC,AD=AE,zBAC=zDAE=90°.①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí),如圖⑴，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你猜想的結(jié)論；②將圖⑴中的MDE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0°<a<90°），如圖（2）線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請說明理由.（二）當(dāng)MBC和MDE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立?不必說明理由.甲：AB:AC=AD:AE=1,zBAC=zDAE/90°;乙：AB:AC=AD:AE/1,zBAC=zDAE=90°;丙：AB:AC=AD:AE/1,zBAC=zDAE/90°.例4.[2016揚(yáng)州】已知正方形ABCD的邊長為4，一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，連接EF。設(shè)CE=a，CF=b。(1)如圖1,當(dāng)nEAF被對(duì)角線AC平分時(shí)，求a、b的值；(2)當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；(3)如圖3,探索NEAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由。例5.【2016淮安】問題背景：如圖①，在四邊形ADBC中,zACB二nADB=90°,AD=BD,探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AAED處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處(如圖②),易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且ACDE是等腰直角三角形，所以CE=CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.圖④圖⑤圖①圖②圖③圖④圖⑤簡單應(yīng)用：(1)在圖①中，若AC=加，BC=2/，則CD=.(2)如圖③，AB是OO的直徑，點(diǎn)C、D在OO上，弧AD二弧BD,若AB=13,BC=12，求CD的長。拓展延伸： 13(3)如圖④,zACB=zADB=90。，AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n)，求cd的長(用含m,n的代數(shù)式表示)(4)如圖⑤，nACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是.例6.[2016宿遷】已知MBC是等腰直角三角形，AC=BC=2,D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)除外)，將^CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a得到△CEF,其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).(1)如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD,連接GF.求證：GFllAC;(2)如圖2,當(dāng)90*aVl80°時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M.①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM，求nCMD的度數(shù)；②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)a從90°變化到180°時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.

1.將兩塊全等的三角板如圖①擺放,其中/A1cBi=nACB=90°,nA1=nA=30°.(1將圖①中的M1B1c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②點(diǎn)「1是A1c與AB的交點(diǎn)點(diǎn)、是人生與BC的交點(diǎn)求證CP1=CQ；(2)在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？(3)如圖③，在B1C上取一點(diǎn)E,連接BE、P1E,設(shè)BC=1,當(dāng)BE±P1B時(shí)，求W1BE面積的最大值.課后鞏固習(xí)題課后鞏固習(xí)題.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3,4)，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°至OA,,則點(diǎn)A’的坐標(biāo)是..如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A‘B'C'由aABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(第2題圖)(第3題圖).如圖，在RfABC中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,S,B’C可以由SBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A,與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B'與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)AB',且A,B',A’在同一條直線上，則AA,的長為..把二次函數(shù)y=(x-1)2+2的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖象的表達(dá)式為..如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，RfABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-2,2),B(0,5),C(0,2)．(1)將SBC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,得到S1B1c，請畫出31B1c的圖形.(2)平移MBC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2坐標(biāo)為(-2,-6),請畫出平移后對(duì)應(yīng)的S2B2c2的圖形.(3)若將AA1B1c繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到aA2B2c2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

L■■:；!!---*；；---L■■LL/L!：AC：|_■11L0L=一.■■一,一= ■■!i!；■；!■L__■IX（第5題圖）6.如圖，將MBC繞點(diǎn)C（0,1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A,B'C,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b），則點(diǎn)A,的坐標(biāo)為（）A.（－a，－b） B.（－a，－b－1）C.（－a，－b＋1）D.（－a，－b＋2）（第6題圖） （第7題圖）（第8題圖）7.如圖，△COD是MOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)C恰好落在AB上，且nAOD的度數(shù)為90°,則nB的度數(shù)是（）A.50°B.60°C.70°D.75°

8.如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的頂點(diǎn)E固定在正方形ABCD的對(duì)稱中心位置，正方形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為S，旋轉(zhuǎn)的角度為B,5與9的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是()9.如圖，把一個(gè)斜邊長為()9.如圖，把一個(gè)斜邊長為2且含有30°角的直角三角尺ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到3/15則在旋轉(zhuǎn)（第9題圖）（第（第9題圖）（第10題圖）7C3n+申過程中這個(gè)三角尺掃過的圖形的面積是（D）A.nD.出+正A.n12 410.在RfABC中，已知nC=90°,nB=50°,點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD.把SBC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0<m<180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始RfABC的邊上，那么m=.11.如圖，等腰RfABC中，nACB=90°,AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將MBC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點(diǎn)），此時(shí)AP11M；將位置①的三角形繞點(diǎn)）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)AP2=1+立；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)AP3=2+-,,1'2；...，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點(diǎn)P2016為止.則AP2016二.

(第11題圖)12.在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2、口的正方形AEFG按圖①位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.(1)小明發(fā)現(xiàn)dg±be，請你幫他說明理由.⑵如圖②，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，請幫他求出此時(shí)BE的長.(3)如圖③，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE將相交，交點(diǎn)為H，寫出^GHE與aBHD面積之和的最大值，并簡要說明理由.(第12題圖)13.在一次科技活動(dòng)中，小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描實(shí)驗(yàn).如圖，表盤是△ABC,其中AB=AC,nBAC=120°,在點(diǎn)A處有一束紅外光線AP,從AB開始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，光線從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)1s，此時(shí)光線AP交BC邊于點(diǎn)M,BM的長為(20季-20)cm.(1)求AB的長.(2)從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，若旋轉(zhuǎn)6s，此時(shí)光線AP與BC邊的交點(diǎn)在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014s,交點(diǎn)又在什么位置？請說明理由．(第13題圖)14.如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中NC=90°,NB=nE=30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定MBC，使9EC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；②設(shè)^B