第二課時(shí) 定值問題

第八章平面解析幾何第二課時(shí)定值問題內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一長(zhǎng)度或距離為定值

此即為曲線C的方程．

證明經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為k(k≠0)的直線的方程為y＝kx＋1，與曲線C方程聯(lián)立，消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)＞0恒成立，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

探求圓錐曲線中的定線段的長(zhǎng)的問題，一般用直接求解法，即先利用弦長(zhǎng)公式把要探求的線段表示出來，然后利用題中的條件(如直線與曲線相切等)得到弦長(zhǎng)表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入弦長(zhǎng)表達(dá)式中，化簡(jiǎn)可得弦長(zhǎng)為定值．感悟提升

訓(xùn)練1

已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，其焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為AB的中點(diǎn)．(1)若p＝2，M的坐標(biāo)為(1，1)，求直線l的方程．解由題意知直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為x－1＝t(y－1)即x＝ty＋1－t，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

證明∵拋物線C：y2＝2px(p＞0)，由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，題型二斜率或代數(shù)式為定值

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ>0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，在證明一條直線斜率或兩條直線斜率和，差或者積與商為定值的問題中，我們需要先將斜率表示出來，然后利用相關(guān)量之間的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可．感悟提升

解因?yàn)椤鰽BF2的周長(zhǎng)為8，所以4a＝8，解得a＝2，

解由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，顯然Δ＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

設(shè)M(0，k)，又F1(－1，0)，題型三幾何圖形的面積為定值證明∵k1，k2存在，∴x1x2≠0，

(2)試探求△OPQ的面積S是不是定值，并說明理由．解是．理由：當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時(shí)，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，易知直線PQ的斜率不為0，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(k≠0)．

得2b2－4k2＝1，滿足Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)＞0，探求圓錐曲線中幾何圖形的面積的定值問題，一般用直接求解法，即可先利用三角形面積公式(如果是其他凸多邊形，可分割成若干個(gè)三角形分別求解)把要探求的幾何圖形的面積表示出來，然后利用題中的條件得到幾何圖形的面積表達(dá)式中的相關(guān)量之間的關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入幾何圖形的面積表達(dá)式中，化簡(jiǎn)即可．感悟提升

證明當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：x＝t(－3<t<3且t≠0)，

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l：y＝kx＋m(m≠0)，得(9k2＋1)x2＋18kmx＋9m2－9＝0.Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)＝36(9k2－m2＋1)>0，

化簡(jiǎn)得9k2＋1＝2m2，滿足Δ>0.圓錐曲線中的“伴侶點(diǎn)”問題拓展視野例

已知點(diǎn)M(m，0)，N(－m，0)(m≠0)是拋物線y2＝2px(p＞0)的一對(duì)“伴侶點(diǎn)”，過點(diǎn)M作與x軸不平行的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，證明：直線AN和BN與x軸成等角．證明因直線AB過點(diǎn)M(m，0)，故可設(shè)直線AB的方程為x＝m＋ny，將其代入拋物線方程得，y2－2pny－2pm＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pn，y1y2＝－2pm，又點(diǎn)A，B在直線AB上，所以x1＝m＋ny1，x2＝m＋ny2，

又y1x2＋y2x1＋m(y1＋y2)＝y(tǒng)1(m＋ny2)＋y2(m＋ny1)＋m(y1＋y2)＝2ny1y2＋2m(y1＋y2)＝2n·(－2pm)＋2m·2pn＝0，所以kAN＋kBN＝0，即直線AN和BN關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線AN和BN與x軸成等角．

解由已知得F(1，0)，l的方程為x＝1.又M(2，0)，

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB.證明當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以∠OMA＝∠OMB.綜上，∠OMA＝∠OMB.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升1.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A(－1，0).(1)求C的方程；【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】∴拋物線C的方程為y2＝4x.證明設(shè)直線l的方程為x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則Δ＝16(m2＋2)＞0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，(2)設(shè)P是橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，與x軸垂直的直線l分別交直線AP，BP于點(diǎn)M，N，求證：直線AN與直線BM的斜率之積是定值.證明由(1)知A(－2，0)，B(2，0).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(s，t)，點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為m(m≠±2)，又點(diǎn)P在橢圓上，即直線AN與直線BM的斜率之積為定值.解由題意可知b＝2，因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線方程為y＝2x，證明由題意可得A(－1，0)，B(1，0)，設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，【B級(jí)

能力提升】解∵圓E為△ABC的內(nèi)切圓，∴|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|PA|＋|QB|＝2|CP|＋|AR|＋|BR|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，∴點(diǎn)C的軌跡為以A和B為焦點(diǎn)的橢圓，解由y≠0可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程是y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由平面圖形