考點6 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)

考點6指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)一、選擇題1.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T8)設(shè)alog34=2,則4-a= ()A.116 B.19 C.18 【命題意圖】該題考查的是有關(guān)指數(shù)、對數(shù)式的運算問題,涉及的知識點有對數(shù)的運算法則,指數(shù)的運算法則,屬于基礎(chǔ)題目.【解題指南】首先根據(jù)題中所給的式子,結(jié)合對數(shù)的運算法則,得到log34a=2,即4a=9,進而求得4-a=19,得到結(jié)果【解析】選B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=192.(2020·全國卷Ⅰ高考理科·T12)若2a+log2a=4b+2log4b,則 ()A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,涉及構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,是一道中檔題.【解題指南】設(shè)f(x)=2x+log2x,利用作差法結(jié)合f(x)的單調(diào)性即可得到答案.【解析】選B.設(shè)f(x)=2x+log2x,則f(x)為增函數(shù),因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=log212=-1<0所以f(a)<f(2b),所以a<2b,排除A選項.f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2當(dāng)b=1時,f(a)-f(b2)=2>0,此時f(a)>f(b2),有a>b2,當(dāng)b=2時,f(a)-f(b2)=-1<0,此時f(a)<f(b2),有a<b2,所以排除C,D選項.【光速解題1】選B.因為2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,且a>0,b>0,令b=1,則2=21+log21<2a+log2a=4<22+log22=5,則1<a<2,可排除A,D選項.令b=2,則23+log23<2a+log2a=17<24+log24=18,則3<a<4,可排除C選項.【光速解題2】選B.令a=2,則1<b<2,所以2<2b<4,即a<2b.故選B.【反思總結(jié)】本題重點考查學(xué)生的運算能力和演變能力及對題目中給定的條件的等價處理能力,需要把復(fù)雜問題簡單化,利用排除法選取特殊值代入驗證即可得出結(jié)論,或是利用整體思想構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求解.3.(2020·全國卷Ⅱ文科·T12)若2x-2y<3-x-3-y,則 ()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【命題意圖】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),意在考查學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力.【解析】選A.由2x-2y<3-x-3-y得:2x-3-x<2y-3-y,令f(t)=2t-3-t,則f(x)<f(y),因為y=2x為R上的增函數(shù),y=3-x為R上的減函數(shù),所以f(t)為R上的增函數(shù),所以x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,則A正確,B錯誤;因為|x-y|與1的大小關(guān)系不確定,故C、D無法確定.【反思總結(jié)】解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式,利用函數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系.4..(2020·全國卷Ⅱ理科·T11)若2x-2y<3-x-3-y,則 ()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【命題意圖】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),意在考查學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力.【解析】選A.由2x-2y<3-x-3-y得:2x-3-x<2y-3-y,令f(t)=2t-3-t,則f(x)<f(y),因為y=2x為R上的增函數(shù),y=3-x為R上的減函數(shù),所以f(t)為R上的增函數(shù),所以x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,則A正確,B錯誤;因為|x-y|與1的大小關(guān)系不確定,故C、D無法確定.【反思總結(jié)】解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式,利用函數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系.5.(2020·全國卷Ⅲ文理科·T4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時,標(biāo)志著已初步遏制疫情,則t*約為A.60 B.63 C.66 D.69【命題意圖】本題考查對數(shù)的運算以及指數(shù)與對數(shù)的互化,考查學(xué)生的計算能力.【解析】選C.因為I(t)=K1+所以I(t*)=K1+e-0.則e0.23(t*-53)=19,所以0.23(t解得t*≈30.23+536.(2020·全國卷Ⅲ理科·T12)已知55<84,134<85,設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則 ()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【命題意圖】本題考查對數(shù)式的大小比較,涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.【解析】選A.易知a,b,c∈(0,1),ab=log53log85=log53·log58<(所以a<b.因為b=log85,c=log138,所以8b=5,13c=8,即85b=55,134c=84又因為55<84,134<85,所以134c=84>55=85b>134b,即b<c.綜上所述:a<b<c.7..(2020·全國卷Ⅲ文科·T10)設(shè)a=log32,b=log53,c=23,則 (A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【命題意圖】本題考查對數(shù)式大小的比較,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想.【解析】選A.因為a=13log323<13log39=23b=13log533>13log525=23=c,所以a<8.(2020·天津高考·T6)設(shè)a=30.7,b=13-0.8,c=log0.70.8,則a,b,cA.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b【命題意圖】本題考查考生對于對數(shù)的運算法則、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解與掌握,考查考生比較實數(shù)大小的方法的掌握.【解題指南】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可得出a,b,c的大小關(guān)系.【解析】選D.因為a=30.7>1,b=13-0.8=30.8>30c=log0.70.8<log0.70.7=1,所以c<1<a<b.【方法技巧】一般比較大小的題目,常用的方法有:先估算一下每個數(shù)值,看能否根