子集全集補(bǔ)集

1.2子集、全集、補(bǔ)集【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：子集、真子集、集合相等定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B考點(diǎn)二：空集1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．考點(diǎn)三：全集與補(bǔ)集考點(diǎn)三：．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U.考點(diǎn)四：．補(bǔ)集自然語言對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言【題型歸納】題型一：子集、真子集的個(gè)數(shù)問題1．（2023·全國·高一課堂例題）已知集合M滿足，則所有滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由題意可知集合M的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合的非空子集的個(gè)數(shù)，即可得答案.【詳解】由題意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一個(gè)，于是集合M的個(gè)數(shù)等價(jià)于集合的非空子集的個(gè)數(shù)，即．故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】由題意列舉出集合中的元素，再用真子集個(gè)數(shù)公式（為集合中元素個(gè)數(shù)）計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所以，所以集合A的真子集個(gè)數(shù)是，故選：B．3．（2020秋·江西九江·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先化簡集合A，B，再根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)榧?，，且，所?故選：B.題型二：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)4．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)軸結(jié)合即可得到參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)?，所以利用?shù)軸表示，如圖，可知．故選：B.5．（2023秋·河南·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合或，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分、和三種情況討論，分別求出集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榛?，，?dāng)時(shí)，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若則，因?yàn)?，所以，解得，又，所以，若則，因?yàn)?，所以，解得，又，所以，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C6．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解出集合，分、兩種情況討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證；在時(shí)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.綜合可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，可得或，解得或.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：A.題型三：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)，可得兩集合元素全部相等，分別求和，再根據(jù)集合元素的互異性可確定，的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合互異性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，則，故選：A8．（2022秋·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a，，若，則的值為（

）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】C【分析】根據(jù)集合相等及要有意義，得到，，進(jìn)而得到，求出，舍去不合題意的值，再計(jì)算的值.【詳解】，因?yàn)橐幸饬x，所以，所以，求得：，故，所以，解得：，根據(jù)元素互異性，舍去，故，所以.故選：C9．（2021秋·河南信陽·高一校考階段練習(xí)）已知集合，，，，，，若A=B，則a+2b=（

）A．2 B．2 C．1或2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)集合相等求得，由此求得.【詳解】由于，所以或，沒有符合題意的解..故選：D題型四：與空集有的集合問題10．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.【詳解】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：是的一個(gè)元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C11．（2020秋·安徽蚌埠·高一蚌埠二中?？茧A段練習(xí)）若集合的子集只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值情況是（

）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】集合是空集的時(shí)候滿足題意，求無解時(shí)的取值范圍即可.【詳解】集合的子集只有一個(gè)，所以集合是空集，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，有，即，集合是空集，滿足條件，綜上所述，集合的子集只有一個(gè)時(shí)，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的性質(zhì)，空集的性質(zhì).12．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知全集，，A是U的子集．若,則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)A是U的子集．且，即可求出的取值范圍，比較基礎(chǔ)【詳解】由題意知，集合，所以，又因?yàn)锳是U的子集，故需，所以a的取值范圍是．故選：D題型五：根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求集合13．（2023春·廣東深圳·高一校考期中）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念直接計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B14．（2023春·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意可得，，則，故選：A15．（2023秋·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知全集，，則（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槿?，，所以?故選：B題型六：根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算求參數(shù)問題16．（2022秋·浙江舟山·高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，則的值為（

）A． B．和 C． D．【答案】C【分析】利用集合補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，集合，，由補(bǔ)集的定義可知的可能取值為3或4，當(dāng)即時(shí)，不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)滿足題意，綜上，故選：C17．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，集合，，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由補(bǔ)集運(yùn)算可求得，則是方程的兩根，由韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】，，，即是方程的兩根，.故選：B.18．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若下列關(guān)于的方程，，，（為常數(shù)）中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先假設(shè)三個(gè)方程都無實(shí)根，利用判別式為負(fù)值得到的取值范圍，再利用補(bǔ)集進(jìn)行求解．詳解：若三個(gè)方程都無實(shí)根，則，即，即；若三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則或．題型七：子集、真子集和補(bǔ)集的綜合性問題19．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【分析】討論和兩種情況，根據(jù)子集關(guān)系，列不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)滿足；②當(dāng)時(shí)，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：由題意，要使得，則滿足，此時(shí)不等式組無解，所以實(shí)數(shù)不存在，即不存在實(shí)數(shù)使得.21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，且．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先化簡集合，再利用集合交集的定義求解即可；（2）利用集合交集的定義結(jié)合集合元素的互異性求解即可.【詳解】（1）由解得，所以，因?yàn)?，所以是集合中元素，所以將代入得，解得?（2）因?yàn)椋桑?）得是集合中元素，當(dāng)即時(shí)，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，①，此時(shí)符合題意；②，此時(shí)不滿足集合元素的互異性，舍去；綜上或.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)系中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①；

②；

③④；

⑤；

⑥A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的包含關(guān)系判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知，①④都錯(cuò)，⑤對，由集合與集合的關(guān)系可知，②③都錯(cuò)，⑥對.故選：B.23．（2023·全國·高一課堂例題）若集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C．或 D．或或0【答案】D【分析】根據(jù)子集的定義可判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得，符合題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的值為或或.故選：D.24．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則M與P的關(guān)系為（

）A．M＝P B．MPC．P?M D．MP【答案】D【分析】變化，可知又可判斷時(shí)，，則【詳解】①對于任意∵，∴，∴，由子集定義知.②∵，此時(shí)，即，而在時(shí)無解，.綜合①②知，MP.故選：25．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，當(dāng)分別取下列集合時(shí)，求．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義結(jié)合數(shù)軸求解即可.【詳解】（1）把集合表示在數(shù)軸上如下圖所示．由圖知或．（2）把集合和表示在數(shù)軸上，如下圖所示．由圖易知或．（3）把集合和表示在數(shù)軸上，如下圖所示．由圖易知或．26．（2023·全國·高一課堂例題）指出下列各組集合之間的關(guān)系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關(guān)系；（2）利用集合所表示的含義即可判斷；（3）求出集合即可判斷.【詳解】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知．（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴．（3）．在集合B中，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴，∴．27．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出關(guān)于端點(diǎn)的不等式組，即可求解.【詳解】解得，故.的取值范圍是．【高分突破】一、單選題28．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，，，則的關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】將集合改寫成形式統(tǒng)一的格式，再判斷其表示數(shù)集的范圍即可得出其關(guān)系.【詳解】已知，，，顯然可表示整數(shù)，而只能表示偶數(shù)；所以.故選：A．29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的情況，結(jié)合子集關(guān)系，即可分類討論求解.【詳解】由于，故時(shí)，則且，若中只有一個(gè)元素，①中的方程為一元二次方程，則，此時(shí),不合題意，舍去；②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時(shí)不符合，舍去，當(dāng)時(shí)，則符合題意，綜上可知：或，故選：D.30．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組求解方程組的根，進(jìn)而可得集合,由子集的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，又且,所以，故選：B31．（2023春·四川成都·高一校聯(lián)考期末）下面有四個(gè)命題：①；②若，則；③若不屬于，則a屬于；④若，則其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)子集概念判斷①，由元素與集合關(guān)系判斷②③，化簡集合A,B判斷④.【詳解】①由子集概念知正確；②因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，，故錯(cuò)誤；④因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤.故選：B32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.【詳解】由題意得，解得，故，因?yàn)?，所?故選：A33．（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）若集合的所有子集個(gè)數(shù)是，則的取值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分析可知，集合有且只有一個(gè)元素，分、兩種情況討論，在第一種情況下直接驗(yàn)證即可，在第二種情況下，由求出的值，綜合即可得解.【詳解】因?yàn)榧系乃凶蛹瘋€(gè)數(shù)是，則集合有且只有一個(gè)元素，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則，解得.綜上所述，或.故選：D.34．（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合且，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】求出集合及子集可得答案.【詳解】由題意可得，故子集為，共有8個(gè).故選：B.35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩集合中的元素特征可知，集合分別表示的是的奇數(shù)倍和整數(shù)倍，根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算可知表示的應(yīng)是的偶數(shù)倍.【詳解】由題意可知，，可知集合表示的是的奇數(shù)倍，而由可知，集合表示的是的整數(shù)倍，即，所以.故選：B二、多選題36．（2023秋·高一單元測試）若集合，則能使成立的a的值可能為（

）A．2 B．4 C．7 D．9【答案】ABC【分析】討論A是否為空集，解相應(yīng)的不等式，綜合可得答案.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，要使，須有，解得，即，綜上可知，，結(jié)合選項(xiàng)可知a的值可取2，4，7，故選：ABC37．（2022秋·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，集合，若，則可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)，可得或或，進(jìn)而可求出的值．【詳解】因?yàn)?，所以或或，則或或，解得或或.故選：ACD.38．（2023秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化簡集合B，然后利用集合關(guān)系即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，方程，因式分解得，解得或，所以，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以是方程的解，所以方程變形為，因?yàn)?，所以方程無解，所以方程有唯一解，所以，滿足，所以選項(xiàng)D正確；故選：ACD.39．（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于一個(gè)非空集合，如果滿足以下四個(gè)條件：①②③，若且，則④，若且，則就稱集合為集合的一個(gè)“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（

）A．設(shè)，則滿足是集合的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有3個(gè)B．設(shè)，則集合是集合的一個(gè)“偏序關(guān)系”C．設(shè)，則含有四個(gè)元素且是集合的“偏序關(guān)系”的集合共有6個(gè)D．是實(shí)數(shù)集的一個(gè)“偏序關(guān)系”【答案】ACD【分析】利用偏序關(guān)系的定義逐項(xiàng)判斷.【詳解】A項(xiàng)，共3個(gè)，故正確；B項(xiàng)，不能同時(shí)出現(xiàn)和，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，首先必須含有，則剩余拿一個(gè)即可，共6個(gè)，故正確；項(xiàng)，滿足①，②，，則，則，故，滿足③，，則，則，則，故，滿足④，故正確；故選：ACD三、填空題40．（2023·全國·高一課堂例題）已知集合，則集合A的所有非空子集的元素之和為．【答案】36【分析】寫出其所有非空子集，再計(jì)算其元素之和即可.【詳解】集合A的非空子集分別是：，，，，，，．故所求和為為．故答案為：36.41．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)a，，若集合，則．【答案】0【分析】由集合相等的定義，結(jié)合元素的互異性，分類討論求出，進(jìn)而可得到答案.【詳解】由易知，，由兩個(gè)集合相等定義可知若，得，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意；若，由于，則方程組無解，綜上可知，，，所以．故答案為：0.42．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下面六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的是．【答案】①③⑤【分析】由元素和集合的關(guān)系，集合間的基本關(guān)系，判斷關(guān)系式是否正確.【詳解】空集是任何集合的子集，故①正確；由元素與集合的關(guān)系可知，，故②錯(cuò)誤，⑤正確；由集合與集合的關(guān)系可知，，故③正確，④⑥錯(cuò)誤；故答案為：①③⑤43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：有且只有一個(gè)正確，則.【答案】521【分析】根據(jù)題意以及集合元素的互異性和集合相等的概念可知，對的所有可能取值分類討論即可得符合題意，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，①若正確，則，不合題意；②若正確，則，不合題意；③若正確，則，符合題意，所以.故答案為：44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，定義，則集合的所有非空子集的個(gè)數(shù)為．【答案】31【分析】先根據(jù)題意得到，從而根據(jù)元素個(gè)數(shù)得到非空子集個(gè)數(shù).【詳解】集合，，定義，則，元素個(gè)數(shù)為5，故集合的所有非空子集的個(gè)數(shù)為故答案為：31四、解答題45．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合．(1)用列舉法表示集合，并求集合的真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求所有滿足條件的集合；(3)若，求滿足條件的集合的個(gè)數(shù)．【答案】(1)；7(2)，，，(3)3【分析】（1）由集合中等式成立的條件，確定元素的取值，由公式計(jì)算真子集的個(gè)數(shù)；（2）由集合的包含關(guān)系，確定集合中的元素；（3）由集合的包含關(guān)系和真子集的定義，確定集合的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）由知．又，所以，集合A的真子集的個(gè)數(shù)為．（2）由題意知集合中必含元