基本不等式（原題版）

2.2基本不等式1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明；2.能熟練運(yùn)用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小；重點：從不同角度探索不等式的證明過程，會用此不等式求某些簡單函數(shù)的最值；難點：基本不等式等號成立條件；閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。.思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？1、大正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿2、四個直角三角形的面積和S’=＿＿3、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？知識點一重要不等式對于任意實數(shù)a、b，都有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．你能給出不等式a2＋b2≥2ab的證明嗎？知識點二基本不等式對于任意實數(shù)，都有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)和eq\r(ab)分別叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)．你能給出不等式（）的證明嗎？知識點二基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.思考1：不等式a2＋b2≥2ab與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的條件相同嗎？如果不同各是什么？思考2：a＋eq\f(1,a)≥2(a≠0)是否恒成立？知識點三利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時，x＋y有最____值是________(簡記：積定和最小)．如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)________時，xy有最____值是__________(簡記：和定積最大)．1.判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對任意的a，b∈R，若a與b的和為定值，則ab有最大值．()(2)若xy＝4，則x＋y的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(2,x2＋1)的最小值為2eq\r(2)－1.()2.利用基本不等式求最值【解析】考點一利用基本不等式判斷（證明）不等關(guān)系例1下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．【對點演練1】已知，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【對點演練2】若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．考點二利用基本不等式求積的最大值例2．若，且，則的最大值為（）A． B．C． D．【對點演練1】已知，則有（）A．最大值為1 B．最小值為C．最大值為4 D．最小值為4【對點演練2】已知實數(shù)若，求的最大值（）A．1 B． C．4 D．考點三利用基本不等式求和的最小值角度1配湊法例3已知x>2，則函數(shù)y＝x＋eq\f(1,2x－2)的最小值是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋2C．2 D.eq\r(2)＋2【對點演練1】若，則的最小值為（）A． B． C． D．【對點演練2】已知函數(shù)y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，當(dāng)x＝a時，y取得最小值b，則a＋b等于()A．－3B．2C．3D．8【對點演練3】若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．9角度2常數(shù)代換法例4．已知，，且，則的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【對點演練1】已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5【對點演練2】已知，，則的最小值為（） B． C． D．【對點演練3】已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（）A． B． C．1 D．【對點演練4】已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________.角度3消元法例5(2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【變式演練1】本例條件不變，求xy的最大值．方法總結(jié)：(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．角度4二次商式的最值問題例6已知，則的最大值是（）A． B． C．2 D．7【變式演練1】若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【變式演練2】已知，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3【變式演練3】當(dāng)x>3時，求函數(shù)y＝eq\f(2x2,x－3)的值域為__________．考點四基本不等式的恒成立求參數(shù)問題例7．若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【對點演練1】若不等式對所有正數(shù)x，y均成立，則實數(shù)m的最小值是（）A． B． C．3 D．4【對點演練2】已知，，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．或 B．或C． D．考點五基本不等式的實際應(yīng)用例8中華人民共和國第十四屆運(yùn)動會在陜西省舉辦，某公益團(tuán)隊聯(lián)系全運(yùn)會組委會舉辦一場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè)．據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為xx)萬套．為配合這個活動，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀(jì)念品的利潤＝售價－供貨價格．(1)每套會徽及吉祥物售價為100元時，能獲得的總利潤是多少萬元？(2)每套會徽及吉祥物售價為多少元時，單套的利潤最大？最大值是多少元？方法總結(jié)：利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．【對點演練1】某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角梯形的高為__________cm時，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)．【對點演練2】祿勸晨光文具店的某種商品的月進(jìn)貨量為1000件，分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨的量相同，且需運(yùn)費(fèi)10元，運(yùn)來的貨物除出售外，還需租倉庫存放，一年的租金按一次進(jìn)貨量的一半來計算，每件2元，為使一年的運(yùn)費(fèi)和租金最省，每次進(jìn)貨量應(yīng)為（）A．20件 B．500件 C．100件 D．250件單項選擇題1．已知，則當(dāng)取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．2．若，則的最值情況是（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值3．設(shè)，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．4．已知a、b為正實數(shù)，，則（

）A．B．C．D．5．已知x≥，則y＝有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值16．建造一個容積為，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價為（）A．1680元 B．1760元 C．1800元 D．1820元7．若，，且，則的最小值為（）A．2 B． C． D．8．已知，，，若不等式恒成立，則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．7多項選擇題9．已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（

）A．最大值為1 B．有最大值4C．的最大值為2 D．的最小值為910.下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則11．下列說法中正確的有（）A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立C．若，，則 D．若正實數(shù)，滿足，則12.下列說法正確的是（）A．若，則函數(shù)的最小值為3B．若，則的最小值為5C．若，則的最大值為D．若，則的最小值為1填空題13．已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________.14．若直角三角形斜邊長等于12，則該直角三角形面積的最大值為_________；周長的最大值為________．15．用長度為20米的籬笆圍成一矩形場地，則矩形的最大面積為__________平方米．16．若正數(shù)，滿足，則的最小值___________.解答題17.已知是正實數(shù)．（1）若，證明：；（2）證明：．18．已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費(fèi)用為萬元，若將其銷售價格定為萬元/萬件．（1）將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；（2）當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?19.（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；20．中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為，