相交線與平行線最全知識(shí)點(diǎn)

七年級(jí)下數(shù)學(xué)第五章第4頁(yè)共11頁(yè)一、本章共分4大節(jié)共14個(gè)課時(shí)；（2.16～3.7第1、4周）章節(jié)內(nèi)容課時(shí)第五章相交線與平行線145.1相交線35.2平行線及其判定35.3平行線的性質(zhì)45.4平移2單元小結(jié)2二、本章有四個(gè)數(shù)學(xué)基本事實(shí)1.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；2.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直；3.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行；4.兩直線平行，同位角相等.三、本章共有19個(gè)概念1.對(duì)頂角2.鄰補(bǔ)角3.垂直4.垂線5.垂足6.垂線段7.點(diǎn)到直線的距離8.同位角9.內(nèi)錯(cuò)角10.同旁內(nèi)角11.平行12.數(shù)學(xué)基本事實(shí)13.平行公理14.命題15.真命題16.假命題17.定理18.證明19.平移四、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想遇到新問(wèn)題時(shí)，常常把它轉(zhuǎn)化為已知（或已解決）的問(wèn)題.P14五、平移1.找規(guī)律2.轉(zhuǎn)化求面積3.作圖（2009年安徽中考）學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案，每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dcm，如圖所示．已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)cm，其一個(gè)內(nèi)角為60°．6060°……dL第19題圖（1）若d＝26，則該紋飾要231個(gè)菱形圖案，求紋飾的長(zhǎng)度L；【解】（2）當(dāng)d＝20時(shí)，若保持（1）中紋飾長(zhǎng)度不變，則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案？【解】相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)5.1相交線1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠3+∠4=180°注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2、垂線ABCABCDO符號(hào)語(yǔ)言記作：如圖所示：AB⊥CD，垂足為O⑵垂線性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)⑶垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.3、垂線的畫(huà)法：⑴過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線；⑵過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線.注意：①畫(huà)一條線段或射線的垂線，就是畫(huà)它們所在直線的垂線；②過(guò)一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上.畫(huà)法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫(huà)：沿著這條直角邊畫(huà)線，不要畫(huà)成給人的印象是線段的線.注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？不是，因?yàn)椤?與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行ABABCDEF1234幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請(qǐng)同學(xué)們注意書(shū)寫的順序以及前因后果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行.平行線的判定是寫角相等，然后寫平行.注意：⑴幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”.上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”.⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行.典型例題：判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：⑴不相交的兩條直線必定平行線.⑵在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交.⑶過(guò)一點(diǎn)可以且只可以畫(huà)一條直線與已知直線平行解答：⑴錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”.“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏.⑵正確⑶不正確，正確的說(shuō)法是“過(guò)直線外一點(diǎn)”而不是“過(guò)一點(diǎn)”.因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的.ABABEDFC123解答：⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；⑶由∠ACF＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.5.3平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ABABCDEF1234幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.AAEGBCFHD注意：直線AB∥CD，在直線AB上任取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長(zhǎng)度也就是直線AB與CD間的距離.3、命題：⑴命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.⑵命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).命題常寫成“如果……，那么……”的形式.具有這種形式的命題中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論.有些命題，沒(méi)有寫成“如果……，那么……”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯.對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證……”或“則……”等形式表述.4、平行線的性質(zhì)與判定①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).其中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì).ADEBC12典型例題：已知∠1＝ADEBC12證明：∵∠1＝∠B（已知）∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠C（兩直線平行同位角相等）注意，在了DE∥BC，不需要再寫一次了，得到了DE∥BC，這可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了.AADFBEC123典型例題：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°求∠2、∠3的度數(shù)解答：∵DE∥BC（已知）∴∠2＝∠1＝65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥DF（已知）∴AB∥DF（已知）∴∠3＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°5.4平移1、平移變換①把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.②新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)③連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征：①經(jīng)過(guò)平移之后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒(méi)有發(fā)生變化.②經(jīng)過(guò)平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等.典型例題：如圖，△ABC經(jīng)過(guò)平移之后成為△DEF，那么：⑴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)＿＿＿＿＿＿.ADBECADBECF⑸線段BC的對(duì)應(yīng)線段是線段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的對(duì)應(yīng)角是＿＿＿＿＿＿.⑺＿＿＿＿的對(duì)應(yīng)角是∠F.解答：⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB.思維方式：利用平移特征：平移前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行或在同一直線上解答.考點(diǎn)一：對(duì)相關(guān)概念的理解對(duì)頂角的性質(zhì)，垂直的定義，垂線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線性質(zhì)與平行公理的區(qū)別等例1：判斷下列說(shuō)法的正誤。對(duì)頂角相等；相等的角是對(duì)頂角；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角；同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)；直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；兩直線不相交就平行；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直。練習(xí)：下列說(shuō)法正確的是（）A、相等的角是對(duì)頂角B、直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離C、兩條直線相交，有一對(duì)對(duì)頂角互補(bǔ)，則兩條直線互相垂直。D、過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行考點(diǎn)二：相關(guān)推理（識(shí)記）（1）∵a∥c，b∥c（已知）

∴______∥______（）（2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知）

∴______=______（）（3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知）

∴∠1=______（）（4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知）

∴∠1=______（）（5）如圖（1），∵∠AOC=55°（已知）

∴∠BOD=______（）（6）如圖（1），∵∠AOC=55°（已知）

∴∠BOC=______（）（7）如圖（1），∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）

ab11234ab11234ab...ACB（1）（2）（3）（4）（8）如圖（2），∵a⊥b（已知）

∴∠1=______（）（9）如圖（2），∵∠1=______（已知）

∴a⊥b（）（10）如圖（3），∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)

∴AC=______（）(11)如圖（3），∵

AC=BC∴點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)（）（12）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1=∠2（）（13）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1=∠3（）（14）如圖（4），∵a∥b（已知）

∴∠1+∠4=（）（15）如圖（4），∵∠1=∠2（已知）

∴a∥b（）（16）如圖（4），∵∠1=∠3（已知）

∴a∥b（）（17）如圖（4），∵∠1+∠4=（已知）

∴a∥b（）考點(diǎn)三：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的判斷、相關(guān)計(jì)算例題1：如圖5－1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，對(duì)頂角有_________對(duì)，它們分別是_________，∠AOD的鄰補(bǔ)角是_________。例題2：如圖5－2，直線l1，l2和l3相交構(gòu)成8個(gè)角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的對(duì)頂角，與∠5相等的角有∠1、_________，與∠5互補(bǔ)的角有_________。例題3：如圖5－3，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE為∠BOD的平分線，∠BOE=30°，則∠AOE為_(kāi)________。圖5－1圖5－2圖5－3考點(diǎn)四：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別例題1：如圖2-44，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、被所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁內(nèi)角是.例題2：如圖2-45，AB、DC被BD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是，AB、CD被AC所截是的內(nèi)錯(cuò)角是，AD、BC被BD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是，AD、BC被AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角是。例題3：如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．考點(diǎn)五：平行線的判定、性質(zhì)的綜合應(yīng)用（邏輯推理訓(xùn)練）例題1：如圖9,已知DF∥AC,∠C=∠