求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法

求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一．利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào)）、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法（遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。三．求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等級(jí)差數(shù)列或等比數(shù)列。四．求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。五．?dāng)?shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。一、累加法1．適用于：----------這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。2．若，則兩邊分別相加得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：裂項(xiàng)求和評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;=2\*GB3②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;=3\*GB3③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;=4\*GB3④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例3.已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知得,化簡(jiǎn)有,由類型(1)有,又得,所以,又,,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.二、累乘法1.適用于：----------這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。2．若，則兩邊分別相乘得，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.解：已知等式可化為：()(n+1),即時(shí)，==.評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.答案：-1.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、待定系數(shù)法適用于基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1．形如,其中)型（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即解法二：兩式相減得，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的……練習(xí)．已知數(shù)列中，求通項(xiàng)。答案：2．形如：(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時(shí)，即：，累加即可.=2\*GB3②若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：=1\*romani.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).=2\*romanii.兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，=3\*romaniii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）：兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）：兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略練習(xí).（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且．證明對(duì)任意≥1，；3．形如(其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項(xiàng)相減法（階差法）方法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為;解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設(shè)等比數(shù)列，公比為p3、列出關(guān)系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例8在數(shù)列中，求通項(xiàng).（逐項(xiàng)相減法）解：，=1\*GB3①時(shí)，，兩式相減得.令,則利用類型5的方法知即=2\*GB3②再由累加法可得.亦可聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②解出.例9.在數(shù)列中，,求通項(xiàng).（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.即：故.4．形如(其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。例10已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)比較系數(shù)得，所以由，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時(shí)將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案：.四、迭代法(其中p,r為常數(shù))型例12已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）略（2）所以又bn=－1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解五、對(duì)數(shù)變換法適用于(其中p,r為常數(shù))型p>0，例14.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，，，，∴練習(xí)數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：例15已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。兩邊取常用?duì)數(shù)得 設(shè) （同類型四）比較系數(shù)得，由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例16已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例17已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則代入得即因?yàn)椋瑒t，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。八、數(shù)學(xué)歸納法通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例18已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。九、階差法（逐項(xiàng)相減法）1、遞推公式中既有，又有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵對(duì)任意有=1\*GB2⑴∴當(dāng)n=1時(shí)，，解得或當(dāng)n≥2時(shí)，⑵=1\*GB2⑴-⑵整理得：∵各項(xiàng)均為正數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，故舍去所以練習(xí)。已知數(shù)列中,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：2、對(duì)無窮遞推數(shù)列例20已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)? ①所以 ②用②式－①式得則故所以 ③由，，則，又知，則，代入③得。所以，的通項(xiàng)公式為十、不動(dòng)點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)或稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。分析：由求出不動(dòng)點(diǎn)，在遞推公式兩邊同時(shí)減去，在變形求解。類型一：形如例21已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動(dòng)點(diǎn)為-1∴，……類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q時(shí)，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q，再將兩式相除得，其中，∴（2）若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p，然后用1除，得，其中。例22.設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：,令,解之得t=1,-2代入得,,相除得,即{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,=,解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉(zhuǎn)化為累加法來求.例23已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。練習(xí)1：已知滿足，求的通項(xiàng)答案：練習(xí)2。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)答案：練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足，.令，證明：是等比數(shù)列；(Ⅱ)求的通項(xiàng)公式。答案：（1）是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）。十一。特征方程法形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為…①若①有二異根，則可令是待定常數(shù)）若①有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得例24已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，例25已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得，練習(xí)1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)2．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)說明：(1)若方程有兩不同的解s,t,則,,由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,由上兩式消去可得.(2)若方程有兩相等的解，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以．例26、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項(xiàng)。解：……①令，解得，將它們代回①得，……②，……③，③÷②，得,則，∴數(shù)列成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比q=2所以，則，十二、四種基本數(shù)列1．形如型等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例27.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析1：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時(shí),各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.此時(shí)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí),所以.故解法2：時(shí)，，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以