2020-2021學(xué)年寧夏吳忠市青銅峽高級中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年寧夏吳忠市青銅峽高級中學(xué)高二（上）期

末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分成10組，并填寫頻率分布表，若前7組頻率之和為0.79,

則剩下3組的頻率之和為（）

A.0.21%B.0.21C.21D.無法確定

2.某公司從三位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙中錄用二人，這三人被錄用的機會均等，則甲

被錄用的概率為（）

A.|B.|C.|D.

3.若變量x,y之間是線性相關(guān)關(guān)系，則由以下數(shù)據(jù)表得到的回歸直線必過定點（）

X1245

y76910

A.(2,6)B.(3,8)C.(4,9)D.(5,10)

4.圓心為（0,1）且與直線y=2相切的圓的方程為（）

A.（x-1產(chǎn)+y2=1B.（x+I）2+y2=1

C.x2+（y—l）2=1D.x2+（y+l）2=1

5.設(shè)橢圓C；卷+9=1的左、右焦點分別為生，F(xiàn)2,P是C上任意一點，則心尸出

的周長為（）

A.9B.13C.15D.18

6.頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點P（-4,-2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.y2=—xB.x2=—8y

C.y2=—8%或/=—yD.y2=r或/=_8y

7.雙曲線?—3=1的漸近線方程是（）

A.y=±jxB.y=±|xC.y=±^xD.y=±^x

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

A.2B.-2C.-3D.75

9.拋物線y=的準(zhǔn)線方程是（）

4

A.%=--7B.%=—：C.y=-1D.y=—2

168

10.過橢圓W1內(nèi)一點引一條弦，使弦被點M平分則這條弦所在直線的斜

164

率（）

A.-2B.jC.D.2

11.已知居，尸2是雙曲線E：[一1=1的左，右焦點，點”在E上，M&與x軸垂直，

sinNMF2&=：,則E的離心率為（）

A.V2B.IC.V3D.2

12.設(shè)A,B是橢圓C：^+”=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足N4MB=?,

37n3

則，”的取值范圍是（）

A.（0,V3]U[9,+oo）B.（0,1]U[9,+oo）

C.（0,1]U[4,+00）D.（0,V3]U[4,4-00）

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.雙曲線的焦點坐標(biāo)為

14.一只螞蟻在如圖所示的地板磚（除顏色不同外，其余全部相同）上爬

來爬去，它最后停留在黑色地板磚上的概率是.

15.某班數(shù)學(xué)興趣小組組織了線上“統(tǒng)計”全章知識的學(xué)習(xí)心得交流：

甲同學(xué)說：“在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和小于1”；

乙同學(xué)說：“簡單隨機抽樣因為抽樣的隨機性，可能會出現(xiàn)比較‘極端’的樣本，相

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對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻”；

丙同學(xué)說：“莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加”

丁同學(xué)說：“標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越小”.

以上四人中，觀點正確的同學(xué)是.

16.已知拋物線好=?的焦點為凡過點尸的直線AB交拋物線于A,8兩點，交準(zhǔn)線

于點C,若|BC|=2|BF|,則|4B|=.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知點N(4,0),點MQoQo)在圓爐+*=4上運動，點P(x,y)為線段的中點.

(1)求點P(x,y)的軌跡方程；

(2)求點尸到直線3無+4y+4=0的距離的最大值和最小值.

18.近年來，國家大力實施精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略，據(jù)統(tǒng)計2014年至2018年，某社區(qū)脫貧家庭

(單位：戶)的數(shù)據(jù)如表：

年份20142015201620172018

年份代號X12345

脫貧家庭戶數(shù)y2030506075

部分?jǐn)?shù)據(jù)經(jīng)計算得:Sf=iXi=845,￡乙數(shù)=55.

(1)求V關(guān)于x的線性回歸方程；

(2)利用(1)中的回歸方程，分析2014年至2018年該社區(qū)的脫貧家庭戶數(shù)的變化情

況，并預(yù)測該社區(qū)在2020年脫貧家庭戶數(shù).

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：b=器爐,；_-.;

器I”=a-y-DX

19.已知離心率e=號的橢圓C：，+曰=l(a>b>0)一個焦點為(-1,0).

(I)求橢圓C的方程；

(口)若斜率為1的直線/交橢圓C于4,B兩點,且|/B|=竽，求直線/方程.

20.日前，W匕京傳媒藍皮書：北京新聞出版廣電發(fā)展報

告(2016?2017)》公布，其中提到，2015年9月至

2016年9月，北京市年度綜合閱讀率較上，年增長1%

且數(shù)學(xué)媒體閱讀率首次超過了紙質(zhì)圖書閱讀率.

為了調(diào)查某校450名高一學(xué)生(其中女生210名)對這兩種閱讀方式的時間分配

情況，該校閱讀研究小組通過按性別分層抽樣的方式隨機抽取了15名學(xué)生進行調(diào)

查，得到這15名學(xué)生分別采用這兩種閱讀方式的平均每周閱讀時間，數(shù)據(jù)如下(單

位：小時)：

學(xué)生編號123456789101112131415

數(shù)字閱讀時間235830604151645355675125334547

紙質(zhì)閱讀時間286636534562484742525()21304242

(1)求被調(diào)查的15名學(xué)生中男生的人數(shù)；

(2)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù)，并通過觀察莖葉圖，對這兩種閱讀方式進行比較，

寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論；

(3)平均每周紙質(zhì)閱讀時長超過數(shù)字閱讀時長的學(xué)生中，隨機抽取兩名學(xué)生，求這

兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生數(shù)字閱讀時間不超過40小時的概率.

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21.已知拋物線C：y2=2px過點A(l,2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)求過點P(3,-2)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合).設(shè)

直線AM,AN的斜率分別為自，k2,求證：七?七為定值.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：5+\=19>6>0)的離心率為當(dāng)，點

(2,1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線/與圓O：/+丫2=2相切，與橢圓C相交于P,Q兩點，求證：/POQ是

定值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查頻率的求法，考查頻率分布表的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

由頻率分布表的性質(zhì)能求出剩下3組的頻率之和.

【解答】

解：容量為100的某個樣本數(shù)據(jù)分成10組，并填寫頻率分布表，

若前7組頻率之和為0.79,

則由頻率分布表的性質(zhì)得剩下3組的頻率之和為P=1-0.79=0.21.

故選：B.

2.【答案】A

【解析】解：由古典概率的計算公式可得：

甲被錄用的概率為P=,=|,

故選：4.

根據(jù)古典概率的計算公式即可求解.

本題考查了古典概率的運算公式，涉及到排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得：1=上弓空=3,,=7+6：9+10=g.

44

則樣本點的中心的坐標(biāo)為(3,8).

即回歸直線必過定點(3,8).

故選：B.

由表格中的數(shù)據(jù)求得樣本點的中心的坐標(biāo)，則答案可求.

本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過樣本點的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

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4.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓方程為/+(y-1)2=「2,...直線y=2與圓相切，...圓心到直線的距

離等于半徑r,；.r=l

故圓的方程為：/+(y-=1,故選：C

根據(jù)題意設(shè)圓方程為/+(y-1)2=",由圓心到直線的距離得到半徑r,代入即可得

到所求圓的方程

本題考查了點到直線的距離公式和圓的方程等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，橢圓C；江+日=1,

259

其中。=同=5,b=炳=3,

則c=V25-9=4，

P是C上任意一點，

則4P&F2的周長2=|P&|+\PF2\+\FrF2\=2a+2c=10+8=18；

故選：D.

根據(jù)題意，由橢圓的方程求出b的值，計算可得c的值，而42片尸2的周長1=IPFil+

\PF2\+\F1F2\,計算可得答案.

本題考查橢圓的定義，注意由橢圓的方程求出。、。的值.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)拋物線方程分別為/=mx,或/=ny,代入點(-4,-2),解方程，即可得到機，加進

而得到拋物線方程.

本題考查拋物線方程的求法，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)拋物線方程為y2=mx,

代入點(一4,一2)可得，4=-4m,

解得，m=—1,

則拋物線方程為*=-x,

設(shè)拋物線方程為M=ny,

代入點(—4,—2)可得，16=-2n,

解得，n=-8,

則拋物線方程為/=-8y,

故拋物線方程為丫2=-X,或/=-8y.

故選：D.

7.【答案】B

【解析】解：雙曲線正一日=1的a=3,b=2,

94

則雙曲線的漸近線方程為：y=+-ax,

即為y=±|x.

故選：B.

求出雙曲線的a,b,再由漸近線方程，即可得到.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)：漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的

結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬

程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】

解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，k=l,S=2,不滿足退出循環(huán)的條件；

第二次執(zhí)行循環(huán)體后，k=2,S=|,不滿足退出循環(huán)的條件；

第三次執(zhí)行循環(huán)體后，k=3,S=|,滿足退出循環(huán)的條件；

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故輸出S值為:

故選：C.

9.【答案】C

【解析】解：拋物線y="2即為M=4y,

由拋物線/=2py的準(zhǔn)線方程為y=-今

可得/=4y的準(zhǔn)線方程為y=—1.

故選：C

將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由拋物線/=2py的準(zhǔn)線方程為丫=一會計算即可得到

所求準(zhǔn)線方程.

本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：設(shè)弦與橢圓的交點坐標(biāo)分別為4（3力）,B（x2,y2）.

代入橢圓方程可得:

兩式作差可得:（與+毛乂/一毛）?（加+力）（乃一乃）0.?,①

164

又M是的中點，則%1+%2=4,丫1+丫2=2,代入①化簡可得:

呼=-3所以這條弦所在直線的斜率為

%1一N2

故選：C.

設(shè)出弦的兩個端點的坐標(biāo)，并代入橢圓方程，利用點差法以及中點坐標(biāo)公式即可求解.

本題考查了橢圓的性質(zhì)，涉及到點差法和中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的定義及離心率

的求解，關(guān)鍵是找出幾何量之間的

關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

由條件M&_LFIF2,sin^MF2F1=列出關(guān)系式，從而可求離心率.

【解答】

解：由題意，M為雙曲線左支上的點，

則||=9,|MF2|=J4c2+（今2,

sinzMF^=?

可得：2b4=a2c2,即企挾=ac,Xc2=a2+b2,

可得V5e2-e-&=0,

e>1,解得e=V2.

故選：A.

12.【答案】B

【解析】解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，則0<?n<3時，

假設(shè)，”位于短軸端點時,NAMB取最大值，要使橢圓C上存在點例滿足乙4MB=120°,

則N4MB>120°,所以N4M。>60°,

則tan乙4M。=理工百，解得0cmW1,

yjm

當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，則機>3,

假設(shè)M位于短軸的端點時，乙4MB取得最大值，要使橢圓C上存在點M滿足乙4MB=

120°,

則乙4MB>120°,所以乙4M。>60°,

則TtanNAM。=唱2g,解得m29,

所以m的取值范圍為（0,1]U[9,+8）,

故選：B.

對橢圓的焦點的位置分兩種情況討論，然后利用橢圓的幾何性質(zhì)以及特殊位置即可求解.

本題考查了橢圓的方程以及幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算能力以及分類討論思想，屬于

中檔題.

13.【答案】（±2,0）

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【解析】解：由雙曲線的方程可知，a2=3,b2=l,

Me2=a?+爐=3+1=4,即c=2,

故雙曲線的焦點坐標(biāo)為：（±2,0）,

故答案為：（±2,0）

根據(jù)雙曲線的方程和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和方程，根據(jù)〃，兒。之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

14.【答案

【解析】解：一只螞蟻在如圖所示的地板磚（除顏色不同外，其余全部相同）上爬來爬去，

???地板磚共有9塊，其中黑色地板磚有4塊，

二它最后停留在黑色地板磚上的概率是p=i

故答案為:g.

地板磚共有9塊，其中黑色地板磚有4塊，由此能求出它最后停留在黑色地板磚上的概

率.

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】乙丙

【解析】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1,故甲同學(xué)的觀點錯誤；

由隨機抽樣的性質(zhì)得：

簡單隨機抽樣因為抽樣的隨機性，可能會出現(xiàn)比較‘極端’的樣本，

相對而言，分層隨機抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻，故乙同學(xué)的觀點正確；

由莖葉圖的性質(zhì)得：

莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示，故丙同學(xué)的觀點正確：

由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)得標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，故丁同學(xué)的觀點錯誤.

故答案為：乙丙.

利用頻率分布直方圖、隨機抽樣、莖葉圖、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查頻率分布直方圖、隨機抽樣、莖葉圖、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)等

基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)分析能力，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】y

【解析】解：作AM、BN垂直準(zhǔn)線于點M、N,貝\BF\,設(shè)

準(zhǔn)線與x軸交于G,

又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|,???鬻=蜉=|,

得|BN|=3P=*|CF|=3|BN|=4,

??瑞唱二導(dǎo)』解得的=%

.-.\AB\=\BF\+\AF\=l+4=^,

故答案為：費.

分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距

離，結(jié)合己知即可得的，AF,則|4B|可求.

本題考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查運算

求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)因為點P(x,y)是MN的中點，

.x=.pn[xo=2x-4

"y=^'U=2y，

又就+y衣=4，??.(2x-4)2+(2y)2=4,

即(％—2)2+y2=1.

所以點P的軌跡方程為Q-2)2+V=i.

(2)由(1)知點P的軌跡是以(2,0)為圓心,1為半徑的圓.

圓心(2,0)到直線3x+4y+4=0,的距離d=明*滬=2>1.

所以點P到直線3x+4y+4=0,的距離最大值為2+1=3,最小值為2-1=1.

【解析】(1)用中點坐標(biāo)公式，用P點坐標(biāo)表示M點坐標(biāo)，代入已知方程即可.

(2)用點到直線距離公式及圓的幾何意義求最值即可.

本題考查了動點軌跡的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了最值問題，屬中檔題.

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18.【答案】解：（1）;￡='產(chǎn)=3,亍=也例±普十=47,

￡?=I%%=845,￡［媛=55,

,845-5X3X47---

，--芯--不一

???b=55—5X9=1J4，a=y-bx=47-14x3=5-

y關(guān)于X的線性回歸方程為;=14X+5；

(2)由(1)知，b=14>0,

故2014年至2018年該社區(qū)的脫貧家庭戶數(shù)逐年增加，平均每年增加14戶.

令x=7，得丫=14x7+5=103-

故該社區(qū)在2020年脫貧家庭戶數(shù)為103戶.

【解析】(1)由已知求得°與;的值，則線性回歸方程可求；

(2)由(1)知，b=14>0,故2014年至2018年該社區(qū)的脫貧家庭戶數(shù)逐年增加，平均

每年增加14戶.在回歸方程中取x=7求得y值，即可得到該社區(qū)在2020年脫貧家庭

戶數(shù).

本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是中檔題.

19.【答案】解：（I）由題知c=l,e=；=S

:.a=V2,b=1,

?,?橢圓C：—+y2=1.

2,

（口）設(shè)直線/方程為丫=。+771,點4（孫71）8（%2，%），

由方程組及+v=i,

ly=%+m

化簡得：3/+4mx+2m2—2=0,

由^=16m2—12（2m2-2）=—8m2+24>0,可得m?<3.

4m2m2-2

工1+%2==-3-，

22

\AB\=V14-k\x2-XiI=V2-yj（x24-%i）-4X1X2?

解得TH=±1.

?,?直線/方程y=x+1或y=x-1.

【解析】(I)根據(jù)離心率e=亨，一個焦點為(一1,0),求出橢圓的幾何量，即可求橢圓

C的方程；

(H)設(shè)直線/方程為y=x+TH,代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合弦長公式，求出m,

即可求直線/方程.

本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查

弦長的計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)根據(jù)題意,15x數(shù)字閱讀時間紙質(zhì)聞讀時間

竺上％=8（名）；

450k753218

30306

所以被調(diào)查的15名學(xué)生中共有8名男生；75142224587

853115023

(2)被調(diào)查的15名學(xué)生分別采用兩種閱讀74066

方式的平均每周閱讀時間，

用莖葉圖表示如下；

通過觀察莖葉圖可知，平均每周的數(shù)字閱讀時間比紙質(zhì)閱讀時間長，

且紙質(zhì)閱讀時間數(shù)據(jù)更集中些；

(3)由表中數(shù)據(jù)可知，平均每周紙質(zhì)閱讀時長超過數(shù)字閱讀時長的學(xué)生編號分別是1,2,

3,5,6,

其中數(shù)字閱讀時間不超過40小時的學(xué)生編號是1,3；

從這5名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，所有可能的抽取結(jié)果為

12,13,15,16,23,25,26,35,36,56共10個基本事件；

設(shè)“從這5名學(xué)生中隨機抽取兩名學(xué)生，

這兩名學(xué)生中至少有一名學(xué)生數(shù)字閱讀時間不超過40小時”為事件4,

則A共有7個基本事件，分別為12,13,15,16,23,35,36：

故所求的概率為P(A)=高

【解析】(1)根據(jù)題意求出被調(diào)查的15名學(xué)生中的男生人數(shù)；

(2)利用莖葉圖表示兩種閱讀方式的平均每周閱讀時間，

通過觀察莖葉圖得出統(tǒng)計結(jié)論；

(3)由表中數(shù)據(jù)，利用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.

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本題考查了莖葉圖與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題.

21.【答案】解：(1)拋物線C：y2=2px過點4(1,2).

得2P=4,所以拋物線方程為y2=4x.------------------(4分)

(2)設(shè)MO[,%),N(x2,y2),直線MN的方程為％—3=t(y+2),

代入拋物線方程得y2-4ty-8t-12=0.

所以△=16t2+32t+48>0,乃+丫2=4t,y1y2=-8t—12....................(6分)

.._月一2.%-2_yi-2.yz-2_16_16_

所以1?2-—37^'―y1y2+2(y1+y2)+4--8t-8+8t——?

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所以0?用為定值-2.-----------------------------------------------------------(12分)

【解析】(1)由拋物線僅供的點，可得P，可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點。(3,—2)的直線/的方程為》-3=13+2),代入丫2=%利用韋達定理，結(jié)合

斜率公式，化簡，即可求燈?