2020-2021學(xué)年河南省天一大聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） （解析版）

2020-2021學(xué)年河南省天一大聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

一、選擇題（共12小題）.

設(shè)集合駕^41}，則

1.A={x|B={x|4nB=()

A.[-1,3)B.[-1,3]C.[-4,-1]D.[-4,3)

2.若z+2z=3-i,則|z|=()

A.1B?&C.VSD.2

3.已知（x2+：）n（n€N*）的展開式中有常數(shù)項，則〃的值可能是（）

A.5B.6C.7D.8

4.如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是

我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角

為45°,則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（）

A.返B."C.返

223

5.已知上＞告＞0,則下列不等式：①上■＞：1；②間＞|緋③標＞〃；④?/〉?）,其

aba22

中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

6.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為

()

7.已知函數(shù)/（x）=2sin（3x+（p）（3＞0）,點A,8是曲線y=/（x）相鄰的兩個對稱中

心，點C是/（x）的一個最值點，若△A8C的面積為1,則3=)

A.1B.---C.2D.K

2

8.已知函數(shù)/(x)=ex+e'x+cosx,則不等式/(2W>f(ni-2)的解集為()

A.(-co,-2)U(1",-K?)B.(-CO,-當U(2,+8)

oo

C.(-2,4)D.(4,2)

oo

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊a,b,c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15,且

(sinA+sinB)2+cos2C—1+sinAsinB,則cosB=()

A13R11r1D1

141422

10.已知點A,B,C在半徑為5的球面上，且A8=AC=20N，BC=2我,尸為球面上的

動點，則三棱錐P-4BC體積的最大值為()

5677R52曲「4班1W7

3333

11.已知點4在直線3x+y-6=0上運動，點B在直線x-3y+8=0上運動，以線段AB為直

徑的圓C與x軸相切，則圓C面積的最小值為()

A.2LB.小C工D.亞

4242

12.已知a,pG(0,2IT),且滿足sina-cosa=-^-,cosp-sinp=-^-,則sin(a+p)=()

A.1B.■或IC,且或1D.1或-1

24

二、填空題(共4小題).

13.平面向量￡(2,2),b=(-l,3)，若金4)1(入Z+E)，貝葭=?

x-2y+3)0

14.若實數(shù)x,y滿足約束條件,2x-y-340,則工3的取值范圍是_____.

Xy

x+y-3>0

15.若函數(shù)/(x)=￡-a|-1有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.

2八

16.設(shè)P為雙曲線C：?^-_y2=］上的一個動點，點尸到c的兩條漸近線的距離分別為小

和di,貝ij3di+(h的最小值為.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題

S2

17.已知數(shù)列｛小｝的前〃項和為S”且一n2?和一的等差中項為1.

anan

(I)求數(shù)列｛“"｝的通項公式；

(H)設(shè)6"=log44"+l,求數(shù)列tr----)的前n項和Tn.

bnbnfl

18.如圖，直四棱柱ABCZ)-4BiGDi的底面A8C￡>為平行四邊形，AD=3,AB=5,cos

o

ZBAD^—,BD=DD\,E是CCi的中點.

5

(I)求證：平面OBEJL平面A。。；

(II)求直線49和平面B￡>E所成角的正弦值.

19.某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x只能是1,2,3,24這24個整數(shù)

中的一個，且是每個整數(shù)的可能性是相等的.

(I)當輸入x=12和x=20時，求輸出y的值；

(II)求輸出的y值的分布列；

(III)某同學(xué)根據(jù)該程序框圖編寫計算機程序，并重復(fù)運行1200次，輸出y的值為1,2,

3的次數(shù)分別為395,402,403,請推測他編寫的程序是否正確，簡要說明理由.

20.己知橢圓Ci的離心率為乂且，一個焦點坐標為(0,2加)，曲線C2上任一點到點

3

邑0)和到直線乂=曹的距離相等.

44

(I)求橢圓G和曲線C2的標準方程；

(H)點P為Ci和C2的一個交點，過P作直線/交C2于點。，交G于點凡且Q,R,

P互不重合，若同=而，求直線/與x軸的交點坐標.

21.己知函數(shù)/(x)—In(x+1)+a,g(x)—ex'a,aeR.

(I)若”=O,曲線y=/(x)在點(回,/(xo))處的切線也是曲線y=g(x)的切線，

x0+l

證明：In(刈+1)=——.

x0

(II)若g(x)-f(x)>1,求a的取值范圍.

選考題：請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.［選修

4-4：坐標系與參數(shù)方程］

4

x=-3--t

22.在平面直角坐標系xOy中，直線八的參數(shù)方程為<a為參數(shù))，直線上的參

y=3+-|-t

D

x—Fs

數(shù)方程為V(s為參數(shù)).

y=3+-

10~S

(I)設(shè)/i與，2的夾角為a,求tana；

(II)設(shè)/|與x軸的交點為A,/2與X軸的交點為B,以A為圓心，HBI為半徑作圓，以

坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求圓A的極坐標方程.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=\x-l|4-|ax+l|.

(I)當〃=2時，解不等式/(x)W5；

(II)當。=1時，若存在實數(shù)x,使得2〃z-l>/(x)成立，求實數(shù)"?的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.設(shè)集合A={x|駕*<1}，B={x|3x>j）-則An8=（）

A.[-1,3）B.[-1,3]C.[-4,-1]D.[-4,3）

解：因為鄉(xiāng)怨-41，即當?《（>解得-4<x<3,故集合A={x|-4〈xV3},

x-3x-3

因為3**=3-1，所以x2-l，故集合8={小》-1}，

所以ADB=[-1,3）.

故選：A.

2.若z+2z=3-i,則|z|=（）

A.1B.&C.眄D.2

解:設(shè)z=a+6i,則z=a-bi，

因為z+2z=3-/,所以a+bi+2（a-bi）=3-i,

所以3o-bi=3-i,所以3〃=3,-b=-1,

所以。=1,b=l,所以z=l+i,

故|z尸百萬二巧-

故選：B.

3.已知（X?」）n（n€N*）的展開式中有常數(shù)項，則〃的值可能是（）

X

A.5B.6C.7D.8

解：；已知（x2J）n（nEN*）的展開式中的通項公式為小尸

Xn

由于它的展開式中有常數(shù)項，則2〃-3r=0,即2〃=3廠，即H=-^-,r=0,1,2,???,

n.

故當r=4時，可得〃=6,

故選：B.

4.如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是

我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角

為45°,則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（）

VT7

一-y一，二

A.返B.返C.返D.返

2234

解：塔頂是正四棱錐尸-A2CQ,

如圖，PO是正四棱錐的高，

設(shè)底面邊長為“，底面積為Si=a4

因為AO考ZPAO=45°.

所以PA~/^X-^-a=a,

所以△PA8是正三角形，面積為S.二應(yīng)a2，

―24

近2

所以52Ra73.

——二二一.

Sia24

5.已知工＞J＞0,則下列不等式：①也?〉：［；②同＞瓦③〃＞見④（_l）a＞（_l）b其

aba22

中正確的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

解：因為工＞工＞0,所以b＞a＞0,

ab

所以電＞1,故①正確；

a

I例故②錯誤；

護>〃，故③錯誤；

由指數(shù)函數(shù)/(X)=/爐為減函數(shù)，又b>a,所以/(a)>/(6),即c1)a〉g)b,

故④正確，

故正確的是①④.

故選：D.

6.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為

()

A.—B.—C.—D.—

14774

解：根據(jù)題意，從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，有Cg3=56種取法，

其中任意兩只都不成雙的情況有C?X2X2X2=32種，

則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率P="=當，

567

故選：C,

7.己知函數(shù)/(x)=2sin(a)x+(p)(a)>0),點A,8是曲線y=/(x)相鄰的兩個對稱中

心，點。是/(x)的一個最值點，若△A3C的面積為1,則3=()

K

A.1B.---C.2D.TT

2

解：???點A,3是曲線y=/(x)相鄰的兩個對稱中心，

：.AB=-^~,點C是/(x)的一個最值點，則aABC的高為2,

...三角形的面積x]X2=1，

22

2兀

...7=2,-=2,，3=n,

3

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=eK+e'x+cosx,則不等式/(2加)>f(/n-2)的解集為()

A.(-8,-2)U仔，Q)B.(-8,q)U(2,+8)

00

C.(-2,D.(《，2)

解：/(-x)=e~x+ex+cosx=f(x),則/(x)是偶函數(shù)，

f(x)=ex-ex-siar,為奇函數(shù)，『(x)]'—ex+ex-sirir^2-siin>0,

即/(x)為增函數(shù)，當%>0時;/(x)>f(0)=1-1-0=0,

即/（X）在（0,+OO）上為增函數(shù)，

則不等式/（2機）>f（w-2）等價為不等式f（|2/%|）>/（|/n-2|）,

即127nl>|6-2|,平方得4〃?2>m2-4/?2+4,

即3〃戶+4〃？-4>0,

得(m+2)(3m-2)>0,

o

得加>=或m<-2,

3

即不等式的解集為(-8,-2)U(-1?*)°)，

O

故選：A.

9.在△A3C中，內(nèi)角A,B,。的對邊〃，4c依次成等差數(shù)列，△ABC的周長為15,且

(sinA+sinB)2+cos2C=1+sinAsinB,則cos3=()

13

A.B.—C.-D.1

141422

解：由于a,6,c依次成等差數(shù)列,

所以可設(shè)。=工，b=x+d,c=x+2d,由于△ABC的周長為15,可得：x+d=5,

因為(sinA+sinB)2+cos2C=sin2/4+2sinAsinB+sin2^+1-sin2c=1+sinAsinB,即

sin2A+sinAsinB+sin2B-sin2c=0,

所以由正弦定理可得於傷一,2=-ab,

可得cosC=2W.&,2ZS2.=_。*卜:A,即x2+52-(5+d)2=1

2ab2ab2

22XxX5

將d=5-x代入到上式中，解得：x=3,d=2,

.?.4=3,b=5,c=7,

由余弦定理可得：cosB=22+?2_匕2=學(xué)濘卜耳

2ac2X3X714

故選：B.

10.已知點A,B,C在半徑為5的球面上，且AB=AC=2jjN，BC=2我,P為球面上的

動點，則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）

5677R527704977n1^7

3333

解：在△ABC中，由A8=4C=27I^，BC=2-/j,

得8￡4=人,2+人。2_5（：2=（21）2+（2舊）2_（2巾）2=3

''-'2AC-AB=2X2V14X2V144'

.?.sinA=JiF0q2立,設(shè)的外接圓的半徑為『，

V1COoA4

BC二2小

則2r=sinA-J7,即r=4,

~T

又三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=5,

則球心到ABC外接圓圓心的距離為病二R=3.

則當P到平面A8C距離最大時，三棱錐P-ABC的體積最大，

此時P到平面ABC的最大距離為R+3=8,

三棱錐P-ABC體積的最大值為v=l義工x2/14x2-714x近X8=^2

3243

故選：A.

11.已知點A在直線*+》-6=0上運動，點8在直線x-3y+8=0上運動，以線段A8為直

徑的圓C與X軸相切，則圓C面積的最小值為（）

A.生B."C.也DE

4242

解：?.?直線3x+y-6=0與直線x-3y+8=0垂直，且交點為（1,3),

.?.以48為直徑的圓過點（1,3）,

又圓C與x軸相切，.?.圓C的面積最小時，其直徑恰好為點（13)到尤軸的距離，

此時圓的直徑為3,則圓C面積的最小值為兀X

故選：C.

y

小

12.已知a,pe（0,2TT）,且滿足sina-cosa=-^-,cos0-sinp=-^-,

則sin(a+p)=()

A.1B.或1C.旦或1

D.1或-1

24

解：Vsina-cosa=—,sin2a+cos2a=L

2

8sin2a-4sina-3=0,8cos2a+4cosa-3=0,

又COS0-sinp=y,sin2p+cos2p=1,

/.8cos2p-4cos0-3=0,8sin2p+4sina-3=0,

①若sina=cosp,貝ija+0=-^-或一；‘

此時sin(a+p)=1,

②若sina^cosp,

則sina,cosp是方程8x2-4x-3=0的根,

3

故sinacosp="-,

同時cosa,sinp是方程8x2+4x-3=0的根,

3

故cosasinp=--,

3

故sin(a+p)=sinacosp+cosasinp-----,

4

故sin(a+p)的值是1或-三

4

故選：C.

二、填空題

13.平面向量黑⑵2）,b=（-l,3），若（ZG）1（入Z+E），則入=_搟_.

解：..?向量Z=(2,2),b=(-l,3)，

a-b=（3，-1），入a+b=（"1,2入+3).

**（a-b）J_（入a+b>,3（2入-1）-IX(2入+3)=0,

解得人=多

故答案為：

x-2y+3)0

14.若實數(shù)x,y滿足約束條件“2x-y-3<0,則工+^"的取值范圍是_[2>.

、xXy2

x+y-3^0

解：由約束條件作出可行域如圖,

x+y-3=0

聯(lián)立4，解得A(2,1),

2x-y-3=0

x+y-3=0

聯(lián)立4，解得8(1,2),

x-2y+3=0

則V)min=k°Ag)max=k°B=2'

令工二t，則1

x2

則工+■邑=/+工，在f=l時，取得最小值為2,在?或f=2時，取得最大值為名.

xyt22

，工■的取值范圍是［2,與.

xy2

故答案為：［2,搟■］.

15.若函數(shù)/CO有兩個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是(1,+8)

解：/(%)的零點個數(shù)等價于曲線丁=￡-。|與直線y=l的交點個數(shù),

故答案為：(1,+8).

2八

16.設(shè)尸為雙曲線C：色_y2=i上的一個動點，點尸到C的兩條漸近線的距離分別為力

和di,貝!j3di+ch的最小值為_2^2_.

解：設(shè)點尸為(/H,〃),則毛--〃2=1,即(帆-=2,

2

小什揚=耳西r

雙曲線C的兩條漸近線方程為x±6，=0,

|m-V2n||m-V2n|

所以di=d2=

71+(V2)2V3~13~

所以3,+d2=3xlm%n|+|m%n|=,*即-揚+鬲赤?卡?巫

=2&’

,等號成立,

當且僅當3|〃L^2i\=|m_J^n|＞即依-

所以34+4的最小值為2近.

故答案為：2，萬

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題

17.已知數(shù)列｛〃“｝的前”項和為s,”且三■和2的等差中項為1.

anan

(I)求數(shù)列｛小｝的通項公式；

(II)設(shè)b"=log4“"+l,求數(shù)列tr~)的前n項和Tn.

bnbnfl

解：(I)由題意，可得%--=2，

整理，得S〃=2a〃-2,

當k=1時,a\=S\=2a\-2,解得m=2,

當〃22時，由Sn=2an-2,

可得Sn-\=2ati-1-2.

兩式相減，可得cin=-2a,i-1,

化簡整理，得斯=理〃-1,

???數(shù)列｛〃“｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

1=

?*-an=2X2^2^/N*，

(II)由(I),可得b〃=log4a〃+i=log42"+i=n：l,

則Lb.=(n+D(n+2)=4喧?-'^)'

111

??T=T~v~~+T~r~'+,?,+T~r

nblb2b2b3b"i

=4X---^-)+4X(--^-)+…+4X(-------)

2334n+1n+2

平卷卷卷—+…Tr七

4X(/焉

2n

n+2

18.如圖，直四棱柱ABC。-481Goi的底面A8CZ)為平行四邊形，AD=3,AB=5,cos

Q

ZBAD=ABD=DD1,E是CG的中點.

5

(I)求證：平面。8E_L平面4?！?|；

(II)求直線A。和平面8OE所成角的正弦值.

【解答】(/)證明：由題意可得B￡>2=A￡>2+AB2-2A8XAOCOS/BAO=16,

所以AZ^+BDUA中,因此A￡>_L8￡>.

在直四棱柱A8C￡>-48IG￡)I中，_L平面A8C￡),所以?！?gt;i_LBD

又因為400001=。，DDiU平面ADA,A/)u平面A。。，

所以8￡>J_平面A。。，

因為8Ou平面DBE,所以平面￡>8E_L平面AODi

(ID解：由(/)知，DA,DB,0d兩兩垂直，

以。為原點，DB,。。所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則。(0,0,0),A(3,0,0),Di(0,0,4),8(0,4,0).

由族=前可得C1-3,4,0)，所以E(-3,4,2)?

則電=(-3,0,4),DB=(0,4,0)-DE=(-3,4,2)，

設(shè)n=(x,y,z)是平面BCE的一個法向量,

DBn=4y=0

則《

DEn=-3x+4y+2z=0

令x=2,可得［=(2,0,3)

設(shè)直線和平面BDE所成的角為0,

|AD「n|-6+126A/13

則sin8=卜os(ADJ，n)I-

lAD7I|n|-5XVi3-65

19.某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x只能是1,2,3,???,24這24個整數(shù)

中的一個，且是每個整數(shù)的可能性是相等的.

(I)當輸入x=12和x=20時，求輸出y的值；

(II)求輸出的y值的分布列；

(1H)某同學(xué)根據(jù)該程序框圖編寫計算機程序，并重復(fù)運行1200次，輸出y的值為1,2,

3的次數(shù)分別為395,402,403,請推測他編寫的程序是否正確，簡要說明理由.

解：（/）當輸入x=12時，因為12能被3整除，

所以輸出y—1：

當輸入x=20時，因為20不能被3整除，能被4整除，

所以輸出y=2.

（ID當x為3,6,9,12,15,18,21,24這8個數(shù)時，輸出y=l,所以P[1;

當x為4,8,16,20這4個數(shù)時，輸出y=2,所以

當x為其余12個數(shù)時，輸出y=3,所以

J2

故y的分布列為：

y123

p

~3~2

（/〃）程序輸出y的值為1,2,3的頻率分別為卷熟，寡咚，塞p

120012001200

可近似地認為都是喜，與（//）中所得的概率分布相差較大，

故推測該同學(xué)編寫的程序不正確.

20.已知橢圓Ci的離心率為零，一個焦點坐標為（0,2&）,曲線C2上任一點到點

（4.0）和到直線X=）■的距離相等.

44

（I）求橢圓G和曲線C2的標準方程；

（H）點P為G和C2的一個交點，過P作直線/交C2于點Q,交G于點R,且Q,R,

「互不重合，若同=而，求直線/與x軸的交點坐標.

22

解：（I）設(shè)橢圓Cl：W=l（a〉b>0）,

根據(jù)條件可知被，且貨-匕2=西

a3

解得）=12,按=4,

22

所以橢圓Ci的標準方程為三_2二1，

412

曲線C2是以2，0)為焦點，X=d為準線的拋物線，

44

故C2的標準方程為V=9x；

3x2+y2=12

(H)聯(lián)立，，解得x=l,y=±3,不妨取尸(1,3),

Ly=9x

若直線/的斜率不存在，Q和R重合，不符合條件；

故可設(shè)直線/：y=k(x-1)+3,由題意可知ZWO,

y=kx+3-k

聯(lián)立，,解得9-3k

,y2=9xyQf

y=kx+3-k布徂9-3k2-6k

聯(lián)立‘解得

422

L3x+y=12

因為由=而，

所以「是QR的中點,

所以血21=&即殳電學(xué)延產(chǎn)=6,解得上=1，

2

2°k3+k

所以直線/的方程為y=x+2,其與x軸的交點坐標為(-2,0).

21.已知函數(shù)/(x)—In(x+1)+a,g(x)=e「"，aGR.

(I)若a=O,曲線y=/(x)在點(JCO,f(x()))處的切線也是曲線y=g(x)的切線,

x+l

證明：In(xo+1)=—0—.

x0

(II)若g(x)-f(x)21,求a的取值范圍.

【解答】證明：(I)若a=0,則/(x)=/〃(x+1),g(x)=,

???f，(X)=-g'a)=巴

x+1

曲線y=/(x)在點(/o,f(xo))處的切線方程為丫=~~r(X-XQ)+ln(x+l),

x0+iQ

令g'(x)=ex=~匚，則x=ln—二，

xo+lx0+l

曲線y=g(x)在點(ln-^r.—^7)處的切線方程為

x°+lx0+l

=

y-7~j-[x+ln(x0+l)]+—7-r,

x0+l0X0+1

由題意知一號(x-x0)+ln(x0+l)=-^-j-[x+ln(x0+l)]+~二，

XQ+1UUXQ+1UXQ+1

x

nL

整理可得一-ln（xn+l）=l.xo=O顯然不滿足,

x（）+l0