人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 （一元二次方程）一元二次方程教學(xué)課件

第二十一章一元二次方程一元二次方程

理解并靈活運(yùn)用一元二次方程概念解決有關(guān)問題.(重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)123理解一元二次方程的概念.（難點(diǎn)）根據(jù)一元二次方程的一般形式，確定各項(xiàng)系數(shù).18m2

幼兒園活動(dòng)教室矩形地面的長為8m，寬為5m，現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同，你能求出這個(gè)寬度嗎？8m

問題情境1解:設(shè)所求的寬度為xm,則中間地毯的寬表示為__________,長表示為________,則方程列為_______________，整理得_________________.

(5-2x)m(8-2x)m(8-2x)(5-2x)=18新課導(dǎo)入4x2

-26x+22

＝05m桌上有一張矩形紙片，長25cm，寬15cm，在它的四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為300cm2，那么紙片各角應(yīng)剪去的正方形邊長為多少厘米？

變式：

15㎝

25㎝（25-2x）（15-2x）=

300,

300cm24x2

-8x+75

＝0.設(shè)剪去的正方形邊長為x

cm，則無蓋方盒的底面的長為（25-2x）cm，寬為（15-2x）cm，根據(jù)題意，可列方程為整理得7m如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻

m,根據(jù)題意，可得方程：

72＋(x＋6)2

＝102，(x

＋6)如圖，一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？10m數(shù)學(xué)化問題情境2ABC1mDE整理得x2

+12x-15

＝0.6m要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊(duì)之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個(gè)隊(duì)參加比賽?分析:全部比賽共4×7=28場.設(shè)應(yīng)邀請x個(gè)隊(duì)參賽,每個(gè)隊(duì)要與其他

個(gè)隊(duì)各賽1場,

由于甲隊(duì)對乙隊(duì)的比賽和乙隊(duì)對甲隊(duì)的比賽是同一場比賽,所以全部比賽共

場.即(x-1)問題情境3思考探究

這四個(gè)方程都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？特點(diǎn):①都是整式方程(方程兩邊的分母中不能含有未知數(shù)）;②只含一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.4x2-26x+22

＝04x2-8x+75

＝0x2

+12x-15

＝0知識(shí)講解★一元二次方程的概念

像這樣的等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程叫做一元二次方程.（1）

只含一個(gè)未知數(shù);（2）

未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（3）

整式方程.滿足的條件:★一元二次方程的一般形式想一想為什么要限制a≠0,b,c可以為零嗎？

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)一次項(xiàng)當(dāng)

a=0時(shí)bx＋c=0當(dāng)

a≠0，b=0時(shí)

ax2＋c=0當(dāng)

a≠0，c

=0時(shí)

ax2＋bx=0當(dāng)

a≠0，b

=c

=0時(shí)

ax2

=0總結(jié)：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要滿足a≠0，b

，c

可以為任意實(shí)數(shù).為什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以為零呢？當(dāng)b≠0時(shí)，為一元一次方程一元二次方程下列方程中哪些是一元二次方程？是分式－y22（8）

=0(7)4－7x2＝0(6)x2＋2x－3＝1＋x2例1提示：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再進(jìn)一步化簡整理使方程等號(hào)右邊為0，最后再觀察其是否還具備“只含有一個(gè)未知數(shù)”“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”這兩個(gè)條件，若具備，則是一元二次方程，否則不是.(1)ax2-x=2x2；(2)(a-1)x∣

a

∣+1

-2x-7=0.解：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當(dāng)a-2≠0，即a≠2時(shí)，原方程是一元二次方程.

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當(dāng)a=-1時(shí)，原方程是一元二次方程.總結(jié)：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關(guān)于某個(gè)字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值．

a為何值時(shí)，下列方程為一元二次方程？例2解：去括號(hào)，得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式為3x2-8x-10=0.其中二次項(xiàng)是3x2,系數(shù)是3；一次項(xiàng)是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項(xiàng)是-10.注意：（1）一元二次方程的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)等都是針對一般形式而言的；（2）系數(shù)和項(xiàng)均包含前面的符號(hào).

將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù).例3★一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：

下面哪些數(shù)是方程x2–4x+3=0

的解?

-20,1,2,3,4.解：1和3.你注意到了嗎？一元二次方程的根可能不止一個(gè).解：由題意，得方法總結(jié)：已知方程的解求代數(shù)式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，將所求代數(shù)式的一部分看作一個(gè)整體，再用整體思想代入求值．3(a2+2a)+2019=3×2+2019=2025.∴3a2+6a+2019=

已知a是方程x2+2x-2=0

的一個(gè)實(shí)數(shù)根,求3a2+6a+2019的值.例4-112★知識(shí)拓展

已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一個(gè)根為1,求a+b+c的值.解：由題意，得思考:1.若a+b+c=0,你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根嗎?解：由題意,得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根是1.2.若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根嗎?x=2或x=-1例51.判斷下列是否為一元二次方程？(1)3x2-x=2()(2)2(x-1)2=3y()(3)3x2-2x+5()()(5)(m2+5)x2+7x-1=0()

√√×××隨堂訓(xùn)練2.方程（2a-4）x2

-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？解：若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)不為零，∴2a-4≠0，解得a≠2，即當(dāng)a≠2時(shí)，(2a-4）x2-2bx+a=0是一元二次方程；若（2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)為零，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，∴2a-4=0且-2b≠0，解得a＝2，b≠0,即當(dāng)a＝2，b≠0時(shí)，(2a-4）x2-2bx+a=0是一元一次方程.3.將下列一元二次方程化成一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是多少：(1)2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.解：（1）

2x2=3x-1化為一般形式為

2x2-3x+1=0，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2，-3，1.(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化為一般形式為

-x2+2x-4=0,∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是-1，2，-4.4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個(gè)根是3，求a的值.解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=0,即9+4a=0,∴4a=-9，5.若關(guān)于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個(gè)根為0，求m的值.二次項(xiàng)系數(shù)不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述，m=2.6.(只列方程）三個(gè)連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242，這三個(gè)數(shù)分別是多少？解：設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x＋1,

x＋2，依題意得方程：x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242.x2

＋2x－80＝0.整理得一元二次方程概念是整式方程；含一個(gè)未知數(shù)；最高次數(shù)是2一般形式對于ax2+bx+c=0(a≠0)，其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；確定一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)要先化為一般式根使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值課堂小結(jié)21.1一元二次方程

知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)1探究一：一元二次方程的概念和一般形式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲問題：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無蓋長方體盒子.如果要制作的無蓋長方體盒子底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去邊長為多少cm的正方形?請大家根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)、列出方程.設(shè)鐵皮各角應(yīng)切去邊長為xcm的正方形，由題意知整理得：請大家觀察，方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)2探究一：一元二次方程的概念和一般形式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲觀察這兩個(gè)方程，回答下列問題：(1)上面方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們的最高次數(shù)是幾次？(3)有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)3探究一：一元二次方程的概念和一般形式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲概念歸納：一元二次方程的概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)4探究一：一元二次方程的概念和一般形式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲一元二次方程的一般形式：問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號(hào)的左、右分別是什么？(2)為什么要限制a≠0，b、c可以為0嗎？(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？總結(jié)一元二次方程的特殊形式：當(dāng)c=0時(shí)，當(dāng)b=0時(shí)，當(dāng)b=0,c=0時(shí)，知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)5探究一：一元二次方程的概念和一般形式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲問題1：一元一次方程的根是什么？使一元一次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解（或根）.問題2：類比一元一次方程的根的定義，說一說一元二次方程的根的概念是什么？使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)1探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用例1判斷下列方程是否為一元二次方程？否是否否否否【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的特點(diǎn)：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個(gè)數(shù)是1，最高次數(shù)是2.注意:有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)1探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)1：

在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（

）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)A一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)1探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2下面哪些數(shù)是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，0．【解題過程】解：將x=-4代入原方程，不是將x=-3代入原方程，是將x=-2代入原方程，是將x=0代入原方程，不是【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)1探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)2：已知關(guān)于x的一元二次方程

的一個(gè)根是x=0，則a的值為_________【解題過程】解：把x=0代入原方程得，【思路點(diǎn)撥】把所給方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值.一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用a=-1知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)2探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲一元二次方程的一般形式的應(yīng)用例3判斷下列方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)【解題過程】解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是-3.（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.【思路點(diǎn)撥】將方程化成一般形式，再根據(jù)其一般形式確定它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)2探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)3：把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-1

(x+2)(x-1)=63x2-5x+1

=0x2+x-8

=031

1

-8

一元二次方程的一般形式的應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)2探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例4若關(guān)于x的方程

是一元二次方程，求m的取值范圍.【解題過程】解：原方程整理得因其是一元二次方程，所以m-2≠0，即m≠2.【思路點(diǎn)撥】先將原方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，求出m的范圍.一元二次方程的一般形式的應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)2探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)4：若關(guān)于x的方程

是一元二次方程，求m的值.【解題過程】解：是一元二次方程，一元二次方程的一般形式的應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)3探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲綜合應(yīng)用例5已知關(guān)于x的方程（1）k為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).【解題過程】解：（1）為一元二次方程,該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為

，一次項(xiàng)系數(shù)為k+1、常數(shù)項(xiàng)為-2.知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)3探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲（2）k為何值時(shí)，此方程為一元一次方程?解：（2）為一元一次方程,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.綜合應(yīng)用例5已知關(guān)于x的方程【解題過程】知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)3探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)5：已知關(guān)于x的方程當(dāng)_____________時(shí)，是一元二次方程；

當(dāng)_____________時(shí)，是一元一次方程.

m≠±2m=-2綜合應(yīng)用知識(shí)回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測活動(dòng)3探究二：利用一元二次方程的概念解決簡單的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例6已知方程x2+bx+a=0有一根為-a，（a≠0）

則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（

）

A.abB.C.a+bD.a-b【