北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （等腰三角形）三角形的證明教學(xué)課件(第3課時(shí))

1.1等腰三角形第3課時(shí)八年級(jí)下冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)探究等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.理解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.12預(yù)習(xí)檢測(cè)相等1.等腰三角形的兩底角

．簡(jiǎn)寫成“

”；2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相

．（簡(jiǎn)寫成“

”）3.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.如果把這個(gè)定理反過來說，這個(gè)定理的條件和結(jié)論進(jìn)行交換，這句話怎么說；

，簡(jiǎn)述為：“

”等邊對(duì)等角重合三線合有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等角對(duì)等邊活動(dòng)探究問題1：前面證明了等腰三角形的兩底角相等，反過來，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？如是，你能說明理由嗎？與同伴交流.證法一:作AD⊥BC于點(diǎn)D.(如圖所示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BDA=∠CDA,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).問題2：如圖在△ABC中，∠B=∠C，要證明AB=AC，你是怎樣構(gòu)造的兩個(gè)三角形全等的，你是怎樣證明的？與同伴交流.活動(dòng)探究證法二：作△ABC頂角的平分線AD交BC于點(diǎn)D.(如圖所示)在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．活動(dòng)探究活動(dòng)探究定理:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡(jiǎn)述為:等角對(duì)等邊.幾何語言:在△ABC中∵∠B=∠C(已知)，∴AB=AC(等角對(duì)等邊).變式訓(xùn)練1.滿足下列條件不是等腰三角形的是（

）A.有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形B.有一個(gè)角是45o的直角三角形C.有一個(gè)角是50o的直角三角形D.有兩個(gè)角是15o和150o的三角形2.有一個(gè)三角形不同頂點(diǎn)的外角的度數(shù)比是3：2：3，則這個(gè)三角形是

三角形.C等腰直角活動(dòng)探究探究點(diǎn)二、運(yùn)用定理問題：已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點(diǎn)E，△AED是等腰三角形嗎？請(qǐng)你說明理由，并與同伴交流.證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,

∴△ABD≌△DCA(SSS)∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AE=DE(等角對(duì)等邊）∴△AED是等腰三角形.變式訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，AB=AC=8，D是BC上的動(dòng)點(diǎn)（D與B、C不重合），且DE∥AC，DF∥AB，則四邊形DEAF的周長(zhǎng)是

.16變式訓(xùn)練2.如圖，三角形ABC中，AB=AC，∠A=36o,∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)E，D為AC的中點(diǎn)，連接ED.

（1）求∠AED的度數(shù)；

（2）若CE=5，求BC的長(zhǎng).解：（1）∠AED=54o，（2）BC=5.活動(dòng)探究探究點(diǎn)三、反正法問題：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?已知：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等．假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C=∠B，但已知條件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”與已知條件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.成果展示反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.在解決某些問題時(shí)常常會(huì)有出人意料的作用.歸納小結(jié)先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或基本事實(shí)或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．活動(dòng)探究活動(dòng)4：在一個(gè)三角形中，能不能有兩個(gè)直角嗎？你能證明你的結(jié)論嗎?已知：△ABC.求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°,∠B=90°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B都是直角”的假設(shè)不成立.

所以，一個(gè)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾三角形中不能有兩個(gè)角是直角.活動(dòng)探究1.判定等腰三角形的的方法（1）在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)（2）在同一三角形中，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：在同一三角形中，等角對(duì)等邊）2.用反證法說理的基本思路（1）假設(shè)命題反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出與定義、基本事實(shí)、定理或已知條件相矛盾矛盾的結(jié)果；（3）得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的,即所求證命題成立.課堂總結(jié)課堂檢測(cè)D1．在△ABC中，∠B=∠C,AB=5,則AC的長(zhǎng)（）A．2B．3C．4D．52．用反證法證明“a<b”時(shí)，應(yīng)該假設(shè)（）A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)=bD．a(chǎn)≤b3．如圖，在△ABC中，AD平分∠EAC，且AD∥BC，則△ABC一定是（）A．任意三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．直角三角形BC3課堂檢測(cè)4.如圖，在已知三角形ABC中，BD是∠ABC平分線，∠ABD=360，∠C=720，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)

.5.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD和CD平分∠ABC和ACB的角平分線.求證△DBC是等腰三角形.證明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB等邊對(duì)等角∵BD、CD是角平分線∴∠DBC=?∠ABC=?∠ACB=∠BCD∴ΔDBC是等腰三角形課堂檢測(cè)6.用反證法證明：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)角大于或等于60°證明：假設(shè)在一個(gè)三角形中，沒有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°，即均小于60°，則三內(nèi)角和小于180°，與三角形中三內(nèi)角和等于180°矛盾，故假設(shè)不成立．原命題成立．課堂檢測(cè)7.如圖，△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)D，過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD=BE，求證：△ABC是等腰三角形.證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°．∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，∵BD=BE，∴∠BED=∠D．∵∠BED=∠CEF，∴∠D=∠CEF．∴∠A=∠C．∴△ABC為等腰三角形．課堂檢測(cè)再見1.1等腰三角形第4課時(shí)八年級(jí)下冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解等邊三角形的判別條件及其證明.

掌握含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能解決相關(guān)問題.12預(yù)習(xí)檢測(cè)1.頂角是60°的等腰三角形是

；2.底角是60°的等腰三角形是

；3.三個(gè)角都相等的三角形是

；4.三條邊都相等的三角形是

；5.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的

.等邊三角形等邊三角形等邊三角形等邊三角形一半活動(dòng)探究探究點(diǎn)一：等邊三角形的判定活動(dòng)1：一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形，你能證明你的結(jié)論嗎？與同伴交流.活動(dòng)探究怎樣證明：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形？已知：如圖，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形.證明：在△ABC中，∵∠A=∠B，∠B=∠C，∴BC=AC，AC=AB，∴AB=AC=BC．∴△ABC是等邊三角形．在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等邊三角形活動(dòng)探究活動(dòng)2：一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形，你能證明你的結(jié)論嗎？與同伴交流.活動(dòng)探究怎樣證明:有一個(gè)角等于60o的等腰三角形是等邊三角形.已知：在三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=60o或∠BAC=60°求證：△ABC是等邊三角形證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB由三角形內(nèi)角和等于180°，得到∠ABC+∠ACB+∠BCA=180°所以2×∠ABC+∠BAC=180°當(dāng)∠ABC=60°，則∠BCA=∠ABC=∠ACB=60°當(dāng)∠BAC=60°，則∠ABC=∠ACB=∠BCA=60°所以△ABC為等邊三角形在△ABC中,∵AB=AC,∠C=600∴△ABC是等邊三角形探究點(diǎn)二：直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊與斜邊有什么關(guān)系問題1：用兩個(gè)全等含30°角的三角板，你能拼出一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？活動(dòng)探究活動(dòng)探究問題2：根據(jù)操作，思考，在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊與斜邊有什么關(guān)系？并試著證明.嘗試證明：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．活動(dòng)探究已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°.求證：BC=AB.證明：△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∴∠B=60°.延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∴△ABD是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形).∴BC=BD=AB活動(dòng)探究定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.探究點(diǎn)三：求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半.已知：如圖,在△ABC中，已知AB＝AC，∠ABC＝15°，CD是腰AB上的高求證：CD=AC.證明：如圖，在等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=15°,∠CAD為△ABC的外角∴∠CAD=∠ABC+∠ACB=30°又：CD⊥AD∴△ACD為直角三角形∵直角三角形中30°角所對(duì)邊是斜邊的一半∴CD=AC，得證.即：如果等腰三角形的底角為15o，那么腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半.活動(dòng)探究強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求證：AB=AC．證明：∵AD//BC,

∴∠1=∠B(同位角相等),∠2=∠C（內(nèi)錯(cuò)角相等）,又∵∠1=∠2,

∴∠B=∠C,

∴△ABC是等腰三角形,兩條腰相等：AB=AC強(qiáng)化訓(xùn)練2.已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.(1)找出圖中的等腰三角形.(2)BD，CE，DE之間存在著怎樣的關(guān)系？(3)證明以上的結(jié)論強(qiáng)化訓(xùn)練解：(1)等腰△BDF，等腰△CEF.(2)BD+CE=DE.（3）證明：（1）∵DE∥BC，∴∠FBC=∠DFB，又∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠DBF=∠FBC，∴∠DBF=∠DFB，∴△BDF是等腰三角形；（2）∵△BDF是等腰三角形，∴DB=DF，同理：△EFC是等腰三角形，∴EF=EC，∴BD+EC=DF+EF=DE．課堂總結(jié)1.等邊三角形的判定:定理:有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.2.特殊的直角三角形的性質(zhì):定理:在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30o,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.課堂檢測(cè)1．等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，任不一定是等邊三角形的是（）A．有一個(gè)內(nèi)角是60oB．有一個(gè)外角是120oC．有兩個(gè)角相等D．腰與底邊相等2．如圖，在△ABC