隱函數及參數方程求導相關變化率課件

第四節(jié)一、隱函數的導數三、由參數方程確定的函數的導數四、相關變化率隱函數和參數方程求導

相關變化率

第二章二、對數求導法第四節(jié)一、隱函數的導數三、由參數方程確定的函數的導數四定義:隱函數的顯化一、隱函數的導數例如,可確定顯函數可確定y是x

的函數,但此隱函數不能顯化

.若由方程可確定y是

x

的函數,函數為隱函數

.則稱此由表示的函數,稱為顯函數.定義:隱函數的顯化一、隱函數的導數例如,可確定顯函數可確定兩邊對

x

求導(注意y=y(x))(含導數的方程)問題:隱函數不易顯化或不能顯化時，如何求導?隱函數求導法則:用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.即：兩邊對x求導(注意y=y(x))(含導數例1.解解得例1.解解得例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x

解:

方程兩邊對

x

求導

可得，

從而，

解:方程兩邊對x求導

可得，

從而，

二、對數求導法觀察函數方法:先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.--------對數求導法適用范圍:

二、對數求導法觀察函數方法:先在方程兩邊取對數,然后利用例4.求的導數.解:兩邊取對數,化為隱式兩邊對x

求導法2：用e抬起法。

例4.求的導數.解:兩邊取對數,化為隱式兩邊對例5.求對x

求導解：取對數的導數。結論：例5.求對x求導解：取對數的導數。結論：三、由參數方程確定的函數的導數定理：若參數方程可確定一個

y

與

x之間的可導,且則時,有函數關系,三、由參數方程確定的函數的導數定理：若參數方程可確定一個y分析：

由復合函數及反函數的求導法則得

分析：

由復合函數及反函數的求導法則得

?例6.設,且求已知解:注意:對誰求導?

?例6.設,且求已知解:注意:對誰求導?例7.

設由方程確定函數求解:

方程組兩邊對t

求導,得故例7.設由方程確定函數求解:方程組兩邊對t求導例8.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解:

速度的水平分量垂直分量故速度大小速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則例8.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t的運動四、相關變化率為兩個可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率解題步驟:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率四、相關變化率為兩個可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變試求當容器內水例9.

有一底半徑為Rcm,高為

hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:

設時刻t容器內水面高度為

x,水的兩邊對t

求導而故體積為V

,則試求當容器內水例9.有一底半徑為Rcm,高為h內容小結1.隱函數求導法則直接對方程兩邊求導2.對數求導法:適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數4.相關變化率問題列出依賴于

t的相關變量關系式對t求導相關變化率之間的關系式3.參數方程求導法則轉化為對參數t求導

記住公式內容小結1.隱函數求導法則直接對方程兩邊求導2.對數求導求其反函數的導數.解:方法1方法2等式兩邊同時對求導備用題1.

設求其反函數的導數.解:方法1方法2等式兩邊同時對求2.

設求提示:

分別用對數求導法求答案:2.設求提示:分別用對數求導法求答案:3.設由方程確定,解:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得