第15章 積分變換法求解定解問題

第十五章積分變換法求解定解問題

在復變函數(shù)理論中，我們曾用拉普拉斯變換法求解常微分方程．經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進行反演就得到了原來常微分方程的解．1

積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法．對于多個自變量的線性偏微分方程，可以通過實施積分變換來減少方程的自變量個數(shù)，直至化為常微分方程，這就使問題得到大大簡化，再進行反演，就得到了原來偏微分方程的解．積分變換法在數(shù)學物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途．尤其當泛定方程及邊界條件均為非齊次時，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進行易于求解．利用積分變換，有時還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的．2特別是對于無界或半無界的定界問題，用積分變換來求解，最合適不過了．（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當?shù)姆e分變換；對于自變量在

內(nèi)變化的定解問題（如無界域的坐標變量）常采用傅氏變換，而自變量在

3內(nèi)變化的定解問題（如時間變量）常采用拉氏變換．

第二：對方程取積分變換，將一個含兩個自變量的偏微分方程化為一個含參量的常微分方程；第三：對定解條件取相應的變換，導出常微分方程的定解條件；第四：求解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；第五：對所得解取逆變換，最后得原定解問題的解．

4１5.１傅里葉變換法解數(shù)學物理定解問題用分離變量法求解有限空間的定解問題時，所得到的本征值譜是分立的，所求的解可表為對分立本征值求和的傅里葉級數(shù)．對于無限空間，用分離變量法求解定解問題時，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分．因此，對于無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法．本節(jié)將通過幾個例子說明運用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個重要的解的公式．5下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)

及其一階導數(shù)是有限的.15.1.1弦振動問題例15.1.1求解無限長弦的自由振動定解問題（假定：函數(shù)及其一階導數(shù)是有限的，以后不再特別指出．

這一定解問題在行波法中已經(jīng)介紹，

讀者可以比較行波解

法和傅氏解法）6【解】應用傅里葉變換，即用遍乘定解問題中的各式，并對空間變量x積分（這里把時間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對：

7簡化表示為對其它函數(shù)也作傅氏變換，即為8于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的通解為9代入初始條件可以定出這樣10最后，上式乘以

并作逆傅氏變換．應用延遲定理和積分定理得到這正是前面學過的的達朗貝爾公式.例15.1.211

為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡便，我們特舉一強迫弦振動問題：求解無限長弦的強迫振動方程的初值問題【解】根據(jù)與例15.1.1相同的方法，作傅氏變換12我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題13上述問題的解為利用傅氏變換的性質(zhì)有故得到14代入得到即得1515.1.2熱傳導問題例15.1.3求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題【解】

作傅氏變換，

定解問題變換為16常微分方程的初值問題的解是

再進行逆傅里葉變換，交換積分次序17引用積分公式且令以便利用積分公式，即得到18例15.1.4

求解無限長細桿的有源熱傳導方程定解問題【解】利用對定解問題作傅氏變換，得到常微分方程的定解問題19上述問題的解為為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則20而積分

即為最后得到定解問題的解為2115.1.3穩(wěn)定場問題

我們先給出求半平面內(nèi)拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換

系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進行比較）例15.1.5定解問題22

【解】對于變量作傅氏變換，有定解問題變換為常微分方程

23因為可取正、負值，所以常微分定解問題的通解為

因為，故得到常微分方程的解為設(shè)24根據(jù)傅氏變換定義，

的傅氏逆變換為再利用卷積公式

最后得到原定解問題的解為25容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式．例15.1.6

如果定解問題為下列第二邊值問題【解】令

即26容易得到

滿足定解問題為則根據(jù)上述穩(wěn)定場第一邊值問題公式故得到2715.2拉普拉斯變換解數(shù)學物理定解問題由于要作傅氏變換的函數(shù)必須定義在

上，故當我們討論

半無界問題時，就不能對變量作傅氏變換了．

28由此本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法求解定解問題．15.2.1無界區(qū)域的問題例15.2.1

求解無限長細桿的熱傳導（無熱源）問題(15.2.1)【解】先對時間作拉氏變換

29由此原定解問題中的泛定方程變?yōu)閷Ψ匠?15.2.3)實施傅氏逆變換來進行求解.利用傅氏逆變換公式30以及卷積定理得方程(15.2.3)的解為

(15.2