江西省新余市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題

新余市20222023學(xué)年高三第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)試題卷（理科）說明：1.本卷共有三個大題，23個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卷，.答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)集合，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合,即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由得或，所以，故A錯誤，，故B錯誤，由于，所以，故C正確，或或，故D錯誤，故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是A，其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是B，O是坐標(biāo)原點(diǎn).若A在第一象限，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，則，由向量垂直得到，從而求出的值.【詳解】設(shè)，則，由得：，因為，所以，故，故.故選：B3.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人民生活水平的提高，我國的旅游業(yè)也得到了極大的發(fā)展，據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯示，近十年我國國內(nèi)游客人數(shù)(單位：百萬)折線圖如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)B.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差C.近十年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為1240D.2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加【答案】C【解析】【分析】根據(jù)每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，即可判斷選項A；根據(jù)近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，即可判斷選項B；由中位數(shù)的計算方法，可得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)，即可判斷選項C；根據(jù)2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，即可判斷選項D.【詳解】由圖可知，每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)，所以近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)，故選項A正確；由圖可知，近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)波動大，所以由方差的意義可知，近十年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差，故選項B正確；將近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)從小到大進(jìn)行排列，可得近十年農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為，故選項C錯誤；由圖可知，2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)增長多，所以2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加，故選項D正確.故選：C.4.在平面內(nèi)，A，B是兩個定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式代入求解即可得出答案.【詳解】由可得：①，由可得：②，由①②可得：或(舍去).故選：A.6.更相減損術(shù)是出自中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之”，如圖是該算法的程序框圖，如果輸入，，則輸出的a是（）A.17 B.23 C.33 D.43【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)程序框圖，輸入的，，因為，且，所以；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時，輸出.故選：B7.鐘靈大道是連接新余北站和新余城區(qū)的主干道，是新余對外交流的門戶之一，而仰天崗大橋就是這一條主干道的起點(diǎn)，其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，被廣大市民們美稱為“彩虹橋”，是我市的標(biāo)志性建筑之一，函數(shù)解析式為，則下列關(guān)于的說法正確的是（）A.，奇函數(shù)B.，在上單調(diào)遞增C.，在上單調(diào)遞增D.，有最小值1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判定即可.【詳解】由題意易得定義域為R，，即為偶函數(shù)，故A錯誤；令，則且隨增大而增大，此時，由對勾函數(shù)的單調(diào)性得單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則得在上單調(diào)遞增，故B正確；結(jié)合A項得在上單調(diào)遞減，故C錯誤；結(jié)合B項及對勾函數(shù)的性質(zhì)得，故D錯誤.故選：B.8.表面積為的球內(nèi)有一內(nèi)接四面體PABC，其中平面平面，是邊長為3的正三角形，則四面體PABC體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】四面體PABC體積最大需要到底面的距離為最大，分析出最大時滿足，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求出其最大值.【詳解】如圖所示，是四面體外接球的球心，設(shè)球的半徑為，是外接圓的圓心，設(shè)圓的半徑為，設(shè)到底面的距離為，取中點(diǎn)，連接，過作，由題意，可得,則，因為是邊長為3正三角形，所以由正弦定理，可得，則，四面體PABC體積為，四面體PABC體積的最大需要最大，由題意可知，在過并且與底面垂直的圓面上運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動到圓面的最高點(diǎn)時，最大，由圓的對稱性可知，此時,則，又平面平面，平面，所以平面，在中，，，則，則，，在中，，則，所以.故選：D.9.據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會統(tǒng)計顯示，2022年我國新能源汽車持續(xù)爆發(fā)式增長，購買電動汽車的家庭越來越多.某學(xué)校為方便駕駛電動汽車的教職工提供充電便利，在停車場開展充電樁安裝試點(diǎn).如下圖，試點(diǎn)區(qū)域共有十個車位，安裝了三個充電樁，每個充電樁只能給其南北兩側(cè)車位中的一輛電動汽車充電.現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動汽車同時隨機(jī)停入試點(diǎn)區(qū)域（停車前所有車位都空置），請問2輛電動汽車能同時充上電的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列組合即可求解個數(shù)，由古典概型的概率公式即可求解.【詳解】事件A=“2輛電動汽車能同時充上電”，先從中任選一個車位給第一輛電動車，有種選擇，再從非與第一輛電動車并列的剩余四個車位中找一個給第二輛電動車，有種選擇，最后從剩余8個車位中隨機(jī)選取3個安排燃油車即可，所以，故選：D10.如果把一個平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用曲線的對稱性，求解曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值即可.【詳解】由曲線的方程可知：若點(diǎn)在曲線上，則均在曲線上，所以曲線關(guān)于軸以及坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，由于，故當(dāng)時，，根據(jù)對稱性可知：該曲線上兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故直徑為3，故選：C11.已知且為整數(shù)，且，函數(shù)的圖象如圖所示，A，C，D是的圖象與相鄰的三個交點(diǎn)，與x軸交于相鄰的兩個交點(diǎn)O，B，若在區(qū)間上，有2023個零點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由求得的范圍，由求得，再利用求得，得周期，結(jié)合周期可得最大值．【詳解】由題意則為，則有，進(jìn)而，又或，所以等于2，則，相鄰2個零點(diǎn)的距離有兩種和，則當(dāng)為1012個與1012個的和時最大為．故選：B．12.已知函數(shù)，.若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)絕對值將原不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分別討論每個函數(shù)與的大小關(guān)系，通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性討論得到當(dāng)時，，所以必須有時，，分離參數(shù)求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，即，∴對任意的，或，當(dāng)時，兩式均成立；當(dāng)時，有或，令，，，，，，∴在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，且，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減，，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，即，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，即故只有當(dāng)時，，所以此時必須有，即，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.請將正確答案填在答題卷相應(yīng)位置.）13.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是_____【答案】2【解析】【分析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個直三棱柱和一個正方體組成的組合體，根據(jù)棱柱的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由兩個直三棱柱和一個正方體組成的組合體，如圖：所以幾何體的體積是.故答案為：.14.二項式的展開式中含有常數(shù)項，則的最小值等于________.【答案】3【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為0，再根據(jù)的取值范圍可求得結(jié)果【詳解】二項式的展開式為，令，，則，因為，所以當(dāng)時，取得最小值3，故答案為：315.如圖，已知在扇形OAB中，半徑，，圓內(nèi)切于扇形OAB（圓和OA、OB、弧AB均相切），作圓與圓、OA、OB相切，再作圓與圓、OA、OB相切，以此類推．設(shè)圓、圓……的面積依次為，……，那么______________．【答案】【解析】【分析】分別設(shè)圓的半徑為，根據(jù)題意可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合圓的面積公式和等比數(shù)列求和公式計算即可求解.【詳解】如圖，設(shè)圓與OA分別切于點(diǎn)，則，圓的半徑為，因為，所以，在中，，則，即，解得，在中，，則，即，解得，同理可得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因為，所以面積，……構(gòu)成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，故答案為：.16.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，由直線上的動點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是A，B，則與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之和的最小值是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意直線AB斜率存在，設(shè)其方程為，利用導(dǎo)數(shù)可得出拋物線在點(diǎn)A、B處的切線方程，聯(lián)立即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理及點(diǎn)P在直線上，即可求出的值，再利用面積公式結(jié)合基本不等式得出最小值.【詳解】根據(jù)題意直線AB斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，由，得，求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，整理得：，同理得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為，則由，解得，即兩切線的交點(diǎn)，由消去y整理得，則，，則，點(diǎn)P在直線上，則，則直線AB的方程為，過定點(diǎn)，且，設(shè)，則，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則與的面積之和的最小值為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必做題：共60分.17.記三個內(nèi)角分別為，其對邊分別為，且滿足，其中依次成等比數(shù)列.（1）求；（2）已知的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換公式求解；(2)利用三角形面積和余弦定理求解.【小問1詳解】∵，，∴，∴，∴，因為，∴.【小問2詳解】由（1）得，，則，,∴，又∵成等比數(shù)列，∴，由余弦定理，得，，∴，所求周長為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，，E為棱AB的中點(diǎn).（1）證明：平面平面ABCD；（2）若，，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面、面面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵底面ABCD為菱形，則，又∵分別為的中點(diǎn)，則，故，注意到，平面，則平面，∵平面，則，又∵，E為棱AB的中點(diǎn)，則，平面，∴平面，且平面，故平面平面ABCD.【小問2詳解】若，，則為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，故，由（1）得，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，所以，取平面的法向量，則，設(shè)二面角為，則，可得，所以二面角的正弦值為.19.“水花行動”是由新余市政府的一項重大公益民生工程項目，旨在重點(diǎn)針對適宜游泳的學(xué)生中普遍開展免費(fèi)游泳技能培訓(xùn)，2022年一年，全市接受培訓(xùn)的學(xué)生共計17153人，合格率達(dá).了解某校學(xué)生接受培訓(xùn)后游泳技能的掌握情況，從該校隨機(jī)選出40名學(xué)生參加游泳技能考核測試.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成A、B兩組，其中A組24人，B組16人.經(jīng)過測試后，兩組各自將考核成績統(tǒng)計分析如下：A組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；B組的平均成績?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（1）求這40名學(xué)生測試成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s；（結(jié)果精確到）（2）為進(jìn)一步提高同學(xué)們對游泳的興趣，在技能考核后增加了競速挑戰(zhàn)賽，同學(xué)們可以向“游泳高手”發(fā)起挑戰(zhàn).每輪挑戰(zhàn)賽都采取“三局兩勝制”，積分規(guī)則如下：比分為則獲勝方積3分，比分為則獲勝方積2分，落敗方不積分.現(xiàn)有游泳愛好者小王向“游泳高手”甲和乙發(fā)出挑戰(zhàn)申請，首先小王和甲進(jìn)行第一輪比賽，若小王落敗則挑戰(zhàn)結(jié)束，若小王獲勝則繼續(xù)和乙進(jìn)行第二輪比賽.已知和甲比賽小王每局獲勝概率為，和乙比賽小王每局獲勝概率為，記小王最終獲得的積分為，求的分布列.參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）平均分74；標(biāo)準(zhǔn)差（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平均值和方差公式計算即可得解；（2）根據(jù)規(guī)則利用組合分別計算隨機(jī)變量不同取值的概率，列出分布列得解.【小問1詳解】，組學(xué)生的方差為，解得；組學(xué)生的方差為，解得.這40名學(xué)生的方差為，所以.【小問2詳解】記事件“小王與甲在一輪挑戰(zhàn)賽中，小王獲得積分分”為；事件“小王與乙在一輪挑戰(zhàn)賽中，小王獲得積分分”為.則，，；，，.由題意知，的可能取值為0，2，3，4，5，6，，，，，，，則的分布如下表：02345620.如圖，已知橢圓，雙曲線以原點(diǎn)為中心，且頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D.直線，的斜率分別為，，滿足.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）由橢圓方程求得雙曲線半實(shí)軸長，根據(jù)斜率關(guān)系計算可得半虛軸長即可；（2）設(shè)直線方程為，，與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長公式計算得，同理計算得，化簡計算可得出.【小問1詳解】由橢圓，得其焦點(diǎn)，，則設(shè)方程為，點(diǎn)，則，得到，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)直線方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，得，，則，，所以，同理，若存在使成立，則，又，由（1）得，所以，所以，故存在，使成立.21.已知定義在上的函數(shù)．（其中常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，）（1）當(dāng)時，求的極值；（2）（i）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)時，證明：．【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值和極小值；（2）（i）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明得出：當(dāng)時，，依次可得出，，，，利用不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，則，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）（i），則，在上單調(diào)遞增，則對任意恒成立，可得，下面證明：，其中，即證，即證，其中，由（1）可知，對任意的，，又當(dāng)時，，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；（ii）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，則，，當(dāng)時，，所以，，所以，，，，，將上述不等式全部相加得.故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根