反證法應(yīng)用案鞏固提升

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B.假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C.假設(shè)三內(nèi)角至少有一個(gè)大于60°D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°解析：選B.“至少有一個(gè)”即“全部中最少有一個(gè)”，“至少有一個(gè)不大于60°”的反面是“全部都大于60°”.2.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為（）A.一定是異面直線B.一定是相交直線.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析：選C.假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應(yīng)選C.3.設(shè)x>0，則方程x＋eq\f(1,x)＝2sinx的根的情況是（）A.有實(shí)根B.無(wú)實(shí)根C.恰有一實(shí)根 D.無(wú)法確定解析：選>0時(shí)，x＋eq\f(1,x)≥2，而2sinx≤2，但此二式中“＝”不可能同時(shí)取得，所以x＋eq\f(1,x)＝2sinx無(wú)實(shí)根.4.設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)（）A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2解析：選C.若a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6②，顯然①，②矛盾，所以C正確.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng).有人采訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了.”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng).”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是（）A.甲B.乙C.丙 D.丁解析：選C.若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的話都是假的，同理可推出乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙.6.在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時(shí)的假設(shè)為Ｗ.解析：反證法對(duì)結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的對(duì)立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7.下列命題適合用反證法證明的是（填序號(hào)）.①已知函數(shù)f（x）＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)（a＞1），證明：方程f（x）＝0沒(méi)有負(fù)實(shí)數(shù)根；②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求證：eq\f(1＋x,y)和eq\f(1＋y,x)中至少有一個(gè)小于2；③關(guān)于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的；④同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交.解析：①是“否定性”命題；②是“至少”類命題；③是“唯一性”命題，且題中條件較少；④不易直接證明，因此四個(gè)命題都適合用反證法證明.答案：①②③④8.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是（填序號(hào)）.解析：若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出.若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，則a2＋b2＞2，故④不能推出.對(duì)于③，即a＋b＞2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.答案：③9.已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明：假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，則a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，這與已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.10.如圖所示，設(shè)SA、SB是圓錐的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn).求證：AC與平面SOB不垂直.證明：如圖所示，連接AB，假設(shè)AC⊥平面SOB.因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi)，所以AC⊥SO.因?yàn)镾O⊥底面圓O，所以SO⊥AB，所以SO⊥平面SAB，所以平面SAB∥底面圓O.這顯然矛盾，所以假設(shè)不成立，故AC與平面SOB不垂直.[B能力提升]11.若下列關(guān)于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0（a為常數(shù)），x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞）C.（－2，0）\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[0，＋∞）解析：選B.假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a2＋16a－12＜0，,（a－1）2－4a2＜0，,4a2＋8a＜0，))解得－eq\f(3,2)＜a＜－1，故三個(gè)方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤－eq\f(3,2)或a≥－1.12.學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”.如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有（）人人人 人解析：選B.假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，則可知4位學(xué)生中必有兩位語(yǔ)文成績(jī)一樣，且這兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)不同，那么兩個(gè)人中會(huì)有一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好.這與“一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好”相矛盾，故排除C，D.假設(shè)滿足條件的學(xué)生有3位，用a，b，c表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，用“（語(yǔ)，數(shù)）”來(lái)表示某學(xué)生的成績(jī)，則滿足題意的3位學(xué)生的成績(jī)?yōu)椋╝，c），（c，a），（b，b），所以最多有3人.13.已知二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).若f（c）＝0，且0＜x＜c時(shí)f（x）＞0.（1）證明：eq\f(1,a)是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；（2）試用反證法證明：eq\f(1,a)＞c.證明：（1）因?yàn)閒（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以f（x）＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.因?yàn)閒（c）＝0，所以x1＝c是f（x）＝0的一個(gè)根，又因?yàn)閤1x2＝eq\f(c,a).所以x2＝eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≠c))，所以eq\f(1,a)是f（x）＝0的另一個(gè)根，即eq\f(1,a)是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn).（2）由第一問(wèn)知eq\f(1,a)≠c，故假設(shè)eq\f(1,a)＜c，易知eq\f(1,a)＞0，由題知當(dāng)0＜x＜c時(shí)，f（x）＞0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＞0與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝0矛盾，所以eq\f(1,a)＞c.14.（選做題）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.（1）推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；（2）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列.解：（1）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②由①－②得，（1－q）Sn＝a1－a1qn，所以Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))（2）證明：假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N*，（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）