數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊(cè)1.5.1全稱量詞與存在量詞（共22張ppt）

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第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.5.1全稱量詞與存在量詞

教學(xué)目標(biāo)

理解全稱量詞、存在的定義，全稱量詞命題、存在量詞命題的定義

01

會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言描述全稱量詞命題與存在量詞命題（重點(diǎn)）

02

掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

03

全稱量詞與存在量詞

學(xué)科素養(yǎng)

全稱量詞、存在的定義，全稱量詞命題、存在量詞命題的定義

數(shù)學(xué)抽象

直觀想象

全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷

邏輯推理

全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用

數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模

全稱量詞與存在量詞

德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出這樣一個(gè)猜想：“任意取一個(gè)奇數(shù)，都可以把它寫(xiě)成三個(gè)素?cái)?shù)之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年歐拉肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且提出此猜想可以有另一等價(jià)的版本：每一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和，即“1＋1”(1表示1個(gè)素?cái)?shù))，如8＝3＋5.這就是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后來(lái)，數(shù)學(xué)家們陸續(xù)證明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)才證明了“1＋2”，即：任意一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)素?cái)?shù)和最多不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)之積的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.從陳景潤(rùn)的“1＋2”到“1＋1”似乎僅一步之遙，但迄今為止它仍然沒(méi)有得到正面證明，也沒(méi)有被推翻．不難發(fā)現(xiàn)，要想正面證明它就需要證明“任意一個(gè)”“每一個(gè)”“都”這種命題成立，但想要推翻它只需“存在一個(gè)”反例.

情境導(dǎo)學(xué)

新知講解

問(wèn)題下列語(yǔ)句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？

(1)；

(2)是整數(shù)；

(3)對(duì)所有的；

(4)對(duì)任意一個(gè)是整數(shù).

語(yǔ)句命題(1)(2)中含有變量，由于不知道變量代表什么數(shù)，無(wú)法判斷它們的真假，所以它們不是命題.語(yǔ)句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“所有的”對(duì)變量進(jìn)行限定；語(yǔ)句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語(yǔ)“任意一個(gè)”對(duì)變量進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語(yǔ)句，因此語(yǔ)句(3)(4)是命題.

概念生成

短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并且用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

例如，命題“對(duì)任意的是奇數(shù)”“所有的正方形都是矩形”都是全稱量詞命題.

常見(jiàn)的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等.

一般形式：通常，將含有變量的語(yǔ)句用表示，變量的取值范圍用表示.那么，全稱量詞命題“對(duì)中任意一個(gè)，成立”

符號(hào)簡(jiǎn)記為

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：集合中的任意一個(gè)元素，都滿足條件.

知識(shí)點(diǎn)存在量詞及特稱命題的概念

短語(yǔ)“”“”在邏輯中通常叫做量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題，叫做.

存在量詞及特稱命題的概念

存在一個(gè)

至少有一個(gè)

特稱命題

知識(shí)點(diǎn)特稱命題的表示

特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

特稱命題的表示

x0∈M，p(x0)

特稱命題的真假的判斷

思考？

如何判斷特稱命題的真假

解:要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.

探究存在量詞命題真假的判斷

例判斷下列命題的真假:

(1)x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0;

解析

(1)因?yàn)楫?dāng)x2+y2=0時(shí),x=y=0,所以不存在x,y為正實(shí)數(shù),使x2+y2=0,故是假命題.

思維突破

存在量詞命題真假的判斷技巧

存在量詞命題真假的判斷:

要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x0,使p(x0)

成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.

探究由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)的范圍

例已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠,若命題p:“

x∈B,x∈A”是真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析因?yàn)槊}p:“x∈B,x∈A”是真命題,

所以BA,又B≠,

所以解得2≤m≤3.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}.

思維突破

解由含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題時(shí),一般先把命題的真假

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問(wèn)題,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求參數(shù)范圍

問(wèn)題.

變式訓(xùn)練

3.(1)(變條件)把上例中的命題p改為“x∈A,x∈B”,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)(變條件,變結(jié)論)把上例中的命題p改為“x∈A,x∈B”,是否存在實(shí)數(shù)m,

使命題p是真命題若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

解析(1)p為真,則A∩B≠,又B≠,

所以解得2≤m≤4.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤4}.

(2)不存在.理由:因?yàn)槊}p:“x∈A,x∈B”是真命題,

所以AB,又B≠,

所以無(wú)解,

所以不存在實(shí)數(shù)m,使命題p是真命題.

【練習(xí)】下列命題中為全稱量詞命題的是()

A.有些實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)；

B.矩形都有外接圓；

C.過(guò)直線外一點(diǎn)有一條直線和已知直線平行；

D.x∈R，x2+x≤2.

【解析】選A、C、D是存在量詞命題，B可改寫(xiě)為“所有矩形都有外接圓”，是全稱量詞命題.

B

【練習(xí)】將下列命題用“”或“”表示．

(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a1.

(3)x∈R，滿足3x2＋2>0.

(4)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)．

因?yàn)槊恳粋€(gè)末位是零的整數(shù)，都能被5整除，所以(1)是真命題.

當(dāng)x＝0時(shí)，不滿足|x＋1|>1，所以(2)為假命題.

x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)為真命題．

如存在整數(shù)3只有正因數(shù)1和3，所以(4)為真命題．

【練習(xí)】已知命題“任意1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

因?yàn)椤叭我?≤x≤2，x2－m≥0”成立，

所以x2－m≥0，即m≤x2對(duì)任意的1≤x≤2恒成立，

【解析】因?yàn)閥＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值為1．

所以m≤1，

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤1}．

【練習(xí)】已知命題“存在1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】因?yàn)閥＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值為