2020-2021學年九年級數(shù)學北師大版上冊 第1章

1.2矩形性質(zhì)和判定的運用

第I卷（選擇題）

一、選擇題（共10小題，3*10=30）

1.點D是等腰RtZ\ABC斜邊BC上一點，DELAB于點E,DFJ_AC于點F,若BC=[L則四邊

形AEDF的周長是（）

A.IB.2

C.3D.2吸

2.如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM〃AB交AD于點M,若OM=3,BC=10,

則OB的長為（）

3.如圖，將矩形紙片ABCD沿直線EF折疊，使點C落在AD邊的中點。處，點B落在點B，處，其

中AB=9,BC=6,則FC的長為（）

10

A.~3~B.4C.4.5D.5

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD,AC于點E,O,

連接CE,則CE的長為（）

A.3B.3.5C.2.5D.2.8

5.如圖，在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AB=6,BC=8,則AABO的周長為（）

6.如圖，在矩形ABCD中，AD=3,M是CD上的一點，將AADM沿直線AM對折得到AANM,

若AN平分NMAB,則折痕AM的長為（）

A.3B.2小

C.3^2D.6

7.如圖，在nABCD中，E,F分別是AB,CD的中點，連接AC,AF,CE,當CA=CB時，判斷四

邊形AECF是（）

A.平行四邊形

B.矩形

C.菱形

D.任意四邊形

8.如圖，矩形ABCD的頂點A,C分別在直線a,b上，且2〃悅Zl=60°,則N2的度數(shù)為（)

A.30°B.45°

C.60°D.75°

9.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,已知下列6個條件:

①AB〃CD；②AB=DC；③AC=BD；?ZABC=90°；⑤OA=OC；

⑥OB=OD.則不能使四邊形ABCD成為矩形的是()

A.①②③B.①②④

C.②⑤⑥D(zhuǎn).④⑤⑥

10.如圖，矩形OABC的頂點O與原點重合，點A,C分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（-5,4）,

點D為BC邊上一動點，連接OD,若線段OD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點。恰好落在AB邊上

的點E處，則點E的坐標為（）

A.(—5,3)B.(-5,4)

第n卷（非選擇題）

二.填空題（共8小題，3*8=24）

11.將一個含30。的角的直角三角尺(/AMF=90。)按如圖所示放置在矩形紙板上，己知矩形紙板的長

是寬的2倍，點M是BC邊的中點，則NAFE的度數(shù)為—.

12.如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點，則

PQ的長度為.

13.如圖，四邊形OABC為矩形，點A,C分別在x軸和y軸上，連接AC,點B的坐標為(4,3),

ZCAO的平分線與y軸相交于點D,則點D的坐標為

14.如圖，矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,過點O的直線分別交AD,BC于點E,F,

已知AD=4cm,圖中陰影部分的面積總和為6cm2,則對角線AC的長為cm.

15.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm,點P和點Q分別從點B和點D出發(fā)，按逆時針方向沿矩形

ABCD的邊運動，點P和點Q的速度分別為3cm/s和2cm/s,則最快s后，四邊形ABPQ成為矩

形.

BPC

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將4ABE沿AE折疊，使點B

落在矩形內(nèi)點F處，連接CF,則CF的長為

17.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,過點A作AELBD,垂足為點E,若N

EAC=2ZCAD,則NBAE=度.

18.如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB,BC的長分別是6和8,則點

P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是

三.解答題（共7小題，46分）

19.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CE±AD,垂足為E.求證:

AE=CE.

20.（6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O.過點C作BD的平行線，過點D作

AC的平行線，兩直線相交于點E.

(1)求證：四邊形OCED是矩形；

(2)若CE=1,DE=2,求菱形ABCD的面積.

21.(6分)在aABC中，D是BC邊的中點，E,F分別在AD及其延長線上，CE〃BF,連接BE,CF.

(1)求證：4BDF絲aCDE；

(2)若DE=3BC,試判斷四邊形BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論.

22.(6分)如圖，在。ABCD中，點P是AB邊上一點(不與A,B重合)，CP=CD,

過點P作PQ_LCP,交AD邊于點Q,連接CQ.

(1)若NBPC=NAQP,求證：四邊形ABCD是矩形;

(2)在(1)的條件下，當AP=2,AD=6時，求AQ的長.

23.(6分)如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，延長CE,BA交于點E連接AC,DF.

(1)求證：四邊形ACDF是平行四邊形；

(2)當CF平分NBCD時，寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

24.（8分）如圖，矩形ABCD中，延長AB至點E,延長CD至點F,且BE=DF,連接EF,與BC,

AD分別相交于P,Q兩點.

(1)求證：CP=AQ；

(2)若BP=1,PQ=2啦，ZAEF=45°,求矩形ABCD的面積.

25.（8分）如圖，在。ABCD中，DOAD,四個角的平分線AE,DE,BF,CF的交點分別是E,F,

過點E,F分別作DC與AB間的垂線MM，與NN',在DC與AB上的垂足分別是M,N與MTN',

連接EF.

⑴求證：四邊形EFNM是矩形；

(2)已知I：AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長.

參考答案

1-5BDDCA

6-10BBCCA

11.15°

12.2.5

4、

13.(0,3)

14.5

15.4

,18

16.7

17.22.5

18.4.8

19.證明：如圖，過點B作BFLCE于點F.

VCE1AD,

.,.ZD+ZDCE=90°.

VZBCD=90°,

/BCF+NDCE=90°,

，NBCF=ND.

在4BCF和4CDE中，NBCF=ND,NBFC=/CED=90°,BC=CD,

.,.△BCF^ACDE(AAS),

，BF=CE.

?.,NA=90°,CE±AD,BF_LCE,

四邊形AEFB是矩形，

；.AE=BF,

；.AE=CE.

20.解：(1)；四邊形ABCD是菱形，

AACIBD,

.".ZCOD=90°.

：CE〃OD,DE〃OC,

四邊形OCED是平行四邊形，

又NCOD=90°,

.?.□OCED是矩形

(2)由(1)知I,2CED是矩形，

則CE=OD=1,DE=OC=2.

：四邊形ABCD是菱形，

；.AC=2OC=4,BD=2OD=2,

，菱形ABCD的面積為gACBD=；x4x2=4

21.解：(1)證明：VCE/7BF,.\ZCED=ZBFD.

；D是BC邊的中點，.\BD=DC.

ZBFD=ZCED,

在4BDF和4CDE中，'/BDF=/CDE,AABDF^ACDE(AAS)

BD=DC,

1

-F

(2)四邊形BFCE是矩形.證明：VABOF^ACDE,；.DE=DF

2E

VBD=DC,四邊形BFCE是平行四邊形.

VDE=1BC=1EF,；.BC=EF,平行四邊形BFCE是矩形

22.(1)證明：*?NBPQ=ZBPC+ZCPQ=ZA+ZAQP,

又；ZBPC=ZAQP,二ZCPQ=ZA.VPQ±CP,

；.NCPQ=/A=90。.又：四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形ABCD是矩形

(2)：四邊形ABCD是矩形，.?.ND=/CPQ=90°.

CQ=CQ,

在RtACDQ和RtACPQ中,RtACDQ^RtACPQ(HL).

CD=CP,

；.DQ=PQ.設(shè)AQ=x,則DQ=PQ=6—x.

在Rt^APQ中，AQ2+AP2=PQ2,.\X2+22=(6-X)2,

解得x=|".AQ的長是三

23.解：(I)：?四邊形ABCD是矩形,

，AB〃CD,

AZFAE=ZCDE,

YE是AD的中點，

，AE=DE,

又???NFEA=NCED,

AAFAE^ACDE,

???CD=FA,

又?..CD〃AF,

???四邊形ACDF是平行四邊形

(2)BC=2CD.

證明：??.CF平分NBCD,

???NDCE=45°,

VZCDE=90°,

???△CDE是等腰直角三角形，

ACD=DE,

???E是AD的中點，

???AD=2DE=2CD,

VAD=BC,

???BC=2CD

24.W：(1)證明:2四邊形ABCD是矩形,

???NA=NABC=NC=NADC=90°,

AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC,AZE=ZF.

VBE=DF,???AE=CF.

"NC=NA,

在4CFP和AAEQ中，\CF=AE,ACFP^AAEQ(ASA),

、NF=NE,

???CP=AQ

(2)VAD#BC,AZPBE=ZA=90°.

VZAEF=45°,.二△BEP,ZkAEQ是等腰直角三角形，

???BE=BP=1,AQ=AE,，PE=y/iBP=??,.EQ=PE+PQ=V^+2啦=3啦,

???AQ=AE=3,???AB=AE-BE=2.

VCP=AQ,AD=BC,/.DQ=BP=1,，AD=AQ+DQ=3+1=4,

???矩形ABCD的面積=AB?AD=2X4=8

25.解：(1)過點E,F分別作AD,BC的垂線，垂足分別是G,H.

VZ3=Z4,Z1=Z2,

EG±AD,EM±CD,

EM'1AB

AEG=ME,EG=EM\

，EG=ME=EM^MM'

同理可證：FH=NF=NT=1NN\

VCD/7AB,MM'±CD,NN'_LCD,

，MM'=NN\，ME=NF=EG=FH,

又；MM，〃NN，，四邊形EFNM為平行四邊形，

又：MM」CD,

.,.□EFNM是矩形

(2)：DC〃AB,.,.ZCDA+ZDAB=180°,

；/3=；/CDA,Z2=|ZDAB,

；./3+/2=90°,

在Rt^DEA,；AE=4,DE=3,

；.AD=、32+42=5.

；四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.ZDAB=ZDCB,

又；N2=[DAB,N5=g/DCB,；.N2=/5,

由⑴知GE=NF,在RtAGEA和RtANFC中

22=N5,

<ZEGA=ZFNC=90°,AGEA^ANFC,

、GE=NF,

；.AG=CN.

在RtADME和RtADGE中，

VDE=DE,ME=GE,

/.△DME^ADGE,；.DG=DM,

；.DM+CN=DG+AG=AD=5,

；.MN=CD—DM—CN=9—5=4.

???四邊形EFNM是矩形.

，EF=MN=4

1.3正方形的性質(zhì)與判定

一、選擇題（共10小題，3*10=30）

1.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角線相等B.對角線平分一組對角

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

2.已知在四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方

形，那么這個條件可以是（）

A.ZD=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD

3.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,OELAB交BC于點E,若AD=8cm,

則OE的長為（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB邊的中點是坐標原點O,

將正方形繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，點B的對應點B，的坐標是（）

A.(-1,2)B.(1,4)

C.(3,2)D.(-1,0)

5.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ABE,則）

A.15°B.35°C.45°D.55°

6.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB至點E,使AE=AC,則/BCE的大小是（）

A.67.5°B.22.5°C.30°D.45°

7.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點F,則NBFC的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.60°D.75°

8.如圖，點P是正方形ABCD的邊AB上一點（不與A,B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)90。得線段PE,連接BE,則/CBE等于（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

9.如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為（）

A.14B.15C.16D.17

10.如圖，E,F分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點，且CE=DF,AE與BF相交于點O,有

下列結(jié)論：①AE=BF；②AELBF；③AO=OE；④S“OB=S喇彩DEOF.其中錯誤的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

AD

填空題(共8小題，3*8=24)

11.已知正方形ABCD的對角線AC=4,則這個正方形的面積是.

12.如圖，點E,F分別在正方形ABCD的邊DC,BC上，AG±EF,垂足為G,且AG=AB,則N

EAF=°.

BF

13.如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

14.若一個正方形和一個等腰三角形有相同的周長，等腰三角形的邊長分別為5.6cm和13.2cm,則

這個正方形的面積為.

15.如圖，正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,0A=3,則此正方形的面積為

16.如圖，正方形OABC的邊0A,0C分別在x軸、y軸上，點D(5,3)在邊AB上，以點B為中心,

把ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后點D的對應點D，的坐標是.

17.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E,若NCBF=20。，則NAED

—度，

,D

18.如圖，將五個邊長都為1的正方形如圖擺放，其中點A,B,C,D分別是正方形對角線的交點,

如果將n個邊長為1的正方形這樣擺放，那么陰影部分的面積和是.

三.解答題（共7小題，46分）

19.（6分）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點0,點E,F分別在AB,BC上（AE<BE）,且NE0F

=90。，OE,DA的延長線交于點M,OF,AB的延長線交于點N,連接MN.若正方形ABCD的邊

長為4,E為OM的中點，求MN的長.

20.（6分）如圖，在正方形ABCD中，點G為BC邊上任意一點，連接AG,過B,D兩點分別作BE

±AG,DF±AG,垂足分別為E,F.求證：△ADFW/XBAE.

21.（6分）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一點，點F是CD延長線上的一點，且BE=

DF,連接AE,AF,EF.求證：AABE^AADF.

22.（6分）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE,過點A作AGJ_ED交DE于點

F,交CD于點G.求證：4ADG絲Z\DCE.

23.（6分）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE,過點A作AGJ_ED交DE于點

F,交CD于點G.連接BF,證明：AB=FB.

24.24.（8分）已知1,在正方形ABCD中，NMAN=45。，/MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分

別交直線CB,DC于點M,N,AH_LMN于點H.求證：AH=AB

25.（8分）如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形.

⑴求證：△BCGdDCE；

（2）求證：BG1DE.

參考答案

1-5CDBCC6-10BCCCA

11.8

12.45

13.8

14.64cm2

15.18

16.(7,5)

17.65

19.解：過點O作OHLAD于點H.

e.?正方形ABCD的邊長為4,

???OH=HA=2.

?1E為0M的中點，???HM=4.

AOM=^22+42=2小.，MN=也0M=2?.

20.證明：???四邊形ABCD是正方形，

???DA=AB,Nl+N2=90°.

VBE1AG,DF±