2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測(cè)試卷01（人教B版2019選擇性必修第三冊(cè)）（全解全析）

2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試卷01

數(shù)學(xué).全解全析

1.B

【解析】

為，“、皿口口皿處,一-r后好心,-xsinx-cosx

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后可得答案.y=---------弓----------

71

ccqXTT22

所以曲線》=上空在點(diǎn)(巴，0)處的切線的斜率為

x2目71

故選：B

2.B

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由已知條件可得出關(guān)于可、d的方程組，解出兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的

+7d=0fCL--7

求和公式可求得S7的值.因?yàn)椤禞,，所以C,

4=q+5d=3[d=2

因此，S7=7q+竽"=(-7)x7+2x竽=-7.

故選：B.

3.C

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a華％=4,從而可得答案由等比數(shù)列的性質(zhì)有=a；=16,可得

%=±2?

故選：C

4.A

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)/(x)的單調(diào)性解：由題意可知,

求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，

根據(jù)圖象，f(x)<0解集為一；/<42,3),

故選：A.

5.D

【解析】

由等差數(shù)列求和公式整理可得/<。,用，確定｛《,｝為遞增數(shù)列；根據(jù)”<T可判斷數(shù)列前7項(xiàng)為負(fù)，由

%

此得到結(jié)果.由(〃+1)5.<電+1得：(〃+1)〃(4+。“)<〃(〃+1)(4士^」，整理可得：a?<an+],

二等差數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，又結(jié)<T,.■./〉0，%<0，

ai

??.當(dāng)”W7且〃eN*時(shí)，??<0；當(dāng)〃28且〃eN*時(shí)，??>0；

??.S”有最小值，最小值為S’.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠確定等差數(shù)列中由負(fù)變正或由正變負(fù)

的項(xiàng).

6.D

【解析】

令g(x)=f/(x),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可得到不等式/(力<0的解集；解：令g(x)=f〃x),

則g'(x)=2^f(x)+x2/，(x)=x(2/(x)+4'(x))>因?yàn)?f(x)+/(x)<0,所以當(dāng)x>0時(shí)

g'(x)<0,當(dāng)x<0時(shí)g'(x)>0,所以g(x)在(口⑼上單調(diào)遞增,在((),+“)上單調(diào)遞減，所以g(x)

在x=0處取得極大值也就是最大值，g(x)n.x=g(0)=0,所以恒成立，又當(dāng)％=0時(shí)

2/(x)+V，(x)<0,所以〃())<0,所以〃x)<0恒成立，即〃x)<0的解集是(—,+?))

故選：D

7.C

【解析】

A.根據(jù)〃x)+/(y)=/(孫)，用賦值法判斷B利用單調(diào)性定義判斷C根據(jù)B知y=/(x)在(0,+。)為

增函數(shù)，再由/(勾用)=/(2a“+D(〃eN*),得到4川=2《,+1,求通項(xiàng)氏判斷.D.與C的判斷方法一

致A由/(x)+/(y)=/(取)，令x=y=l得/⑴=0故A不正確.

X

B.任取%,%2G(O,+30)且占<七，則/(工2)二/'(%)=/2

因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，/(x)>0,

/\

所以/(%)-/(內(nèi))=/上>0,

\xi7

所以y=/(x)在(。,+。)為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤.

C.由B知y=/(x)在(0,+8)為增函數(shù)且)=/(2??+l)(nGN*),

所以an+l=2a“+1,即an+i+1=2(%+1),

又q=/'(l)=0,所以q+l=l,

所以｛%+1｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以4=2"7-1所以4019=22°|8-1,故C正確.

D.由C知D不正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了抽象函數(shù)的求值，單調(diào)性及其應(yīng)用以及數(shù)列問(wèn)題，還考查了推理辨析論證的能力，屬于中

檔題.

8.A

【解析】

原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為?x)=ln(2"+。)-xWO恒成立，求導(dǎo)分析求出/(x)的最大值，求出

bW2a-2aIn2a,構(gòu)造函數(shù)?。)=2"—2〃ln2a,利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可求解.令/(x)=ln(2以+份—x,

則/(x)〈x恒成立即為

/(x)?0恒成立,

b

因?yàn)?。?,所以/(X)的定義域?yàn)?一一,+8)

2a

c.2a一久

C-2Q(X-----)>

〃/、2。12ab

/(x)=-------1=--------管—,%>---,

2ax+b2ax+h2a

,b2a-b」,/、八?2a-b,〃/、八

當(dāng)----<x<-------時(shí)/O)>0,當(dāng)x>------時(shí)，Z(%)<0

2a2a2a

在(-二,‘^)上單調(diào)遞增，在(上+8)上單調(diào)遞減,

2a2a2a

所以?X)max=/(V)，

2a

,,2a-b、.-2a-b八

由1(-----)=In2Q-------<0

2a2a

所以bK2。-2。In2a,

則ab<2cr-2crIn2a.

令t(a)=2a2-2〃21n2a,

則t\a)=2a-4aIn2a,

i1

令f'(a)=0,則a=—e2,

2

I1

X-

當(dāng)

a>-e2時(shí)

2

1111

所以在(0,-e2)上遞增，在(上/,+8)上遞減，

22

故，(a)max=?*)=(，

所以a。的最大值為

4

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值得出力W2a-2aln2a,構(gòu)造函數(shù)

t(a)=2a2_2/In2a,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵，屬于難題.

9.ABC

【解析】

計(jì)算可得4=2,故選項(xiàng)A正確；$8=510,S?+2=2n+',所以數(shù)列｛*+2｝是等比數(shù)列，故選項(xiàng)氏C正

確；lga“=〃」g2,所以數(shù)列｛Iga,,｝是公差為lg2的等差數(shù)列，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.｛4｝為遞增的等比數(shù)列，

a,a=32,。必=44=32,

由＜4c得＜

。2+。3=12,出+%=%,

a1=4,f=8,

解得4~?；?)

。3=8=4,

?.?｛4｝為遞增數(shù)列，

%=4,a,a^>

.??〈~04=j=2,4=-=2,故選項(xiàng)A正確；

%=82q

2x(1-2〃)

?????=2，s=―---2=2""-2，

"1-2

..@=29-2=510,S,,+2=2,,+1,

二數(shù)列｛5?+2｝是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；

所以S”=2"”一2,則Sg=-2=510,故選項(xiàng)C正確.

又lga“=lg2"=〃」g2,

二數(shù)列｛lg??｝是公差為32的等差數(shù)列，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列為等差(等比)數(shù)列常用的方法有：

(1)定義法；

(2)通項(xiàng)公式法

(3)等差(等比)中項(xiàng)法

(4)等差(等比)的前〃項(xiàng)和的公式法.要根據(jù)已知靈活選擇方法證明.

10.AD

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷AB的正誤，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和最值的

符號(hào)可判斷CD的正誤.廣(x)=寧，令/'(X)=0可得x=1,

當(dāng)x<l時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，/,(x)<0,

故尤=1為/(x)的極大值點(diǎn)，故A正確.

又“X)在(F,l)上為增函數(shù)，/(X)在。，y)上為減函數(shù)，

故當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)“X)取得最大值，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)°<"g時(shí)，/(力皿=*)4一4>°,

又/(0)=-"0,

而一>e,故下>/>1且［m二］=———a=2a2In--a=a2f21n---\

aa\a2)ma{aa)

e"

22—/

令g(r)=21nr_f,f>e,則g'(f)=：_］=-y-<0,

故8(。=2歷.一/在(6,+8)上為減函數(shù)，故21n，—，<2—e<0,

aa

由零點(diǎn)存在定理及〃X)的單調(diào)性可得〃X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故D正確.

而當(dāng)。40時(shí)，當(dāng)X21時(shí)，〃x)>0恒成立，故"X)在R最多有一個(gè)零點(diǎn)，

故C錯(cuò)誤.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)說(shuō)明，注意需選擇特殊點(diǎn)

的函數(shù)值，使得其函數(shù)值的符號(hào)符合預(yù)期的性質(zhì)，選擇特殊點(diǎn)的依據(jù)有2個(gè)方面：(1)與極值點(diǎn)有明確的

大小關(guān)系；(2)特殊點(diǎn)的函數(shù)值較易.與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問(wèn)題，可依據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建新

函數(shù)來(lái)證明.

11.BC

【解析】

先求得第一年年底剩余資金4，第二年底剩余資金生，即可判斷A的正誤；分析總結(jié)，可得%與?！钡年P(guān)

系，即可判斷B的正誤；根據(jù)題意，求得％的表達(dá)式，利用作差法即可比較%+|與?！暗拇笮?，即可判斷C

的正誤，代入1=400,即可求得的，即可判斷D的正誤，即可得答案.第一年年底剩余資金

4=2000X(1+40%)T=2800T,

712

第二年底剩余資金4=4x(1+40%)-t=-ai-t=3920一一t,故A錯(cuò)誤；

7109/

第三年底剩余資金4=%*(1+40%)-f=—4-f=5488--y-,…

7

所以第〃+1年年底剩余資金為??+1=anx(l+40%)-t=-a?-t,故B正確；

因?yàn)?/p>

所以a.+i=9"-t-a“—/=■![(()”’(2800—日)+曰]一/=■!(()"」(2800一日)，

7t

因?yàn)椋?lt;800,所以2800—-->0,

2

277r

所以用一。〃=當(dāng)(《)'1(2800—耳)>0,即。用>/,故C正確；

inn/109x400

當(dāng)f=400時(shí)，a.=5488-=5488-=3744<3800,故D錯(cuò)誤；

2525

故選：BC

【點(diǎn)睛】

解題的關(guān)鍵是根據(jù)4,。2,生，總結(jié)出勺，并利用求和公式，求得的表達(dá)式，綜合性較強(qiáng)，考查計(jì)算化簡(jiǎn)

的能力，屬中檔題.

12.ACD

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為y=/(%)與y=左有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可判斷A選

X

項(xiàng)；易知X=1不是該方程的根，當(dāng)XW1時(shí)，將條件等價(jià)于丁=%和^=——只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究

Inx

函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)西>々>0時(shí),，將條件等價(jià)于

mg(xi)-f(xl)>mg(x2)-f(x2)恒成立，即函數(shù)y=mg(x)-/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造新函

數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出機(jī)的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；尸(x)=xlnx-公2(》>0)有兩個(gè)

不同極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).解：對(duì)于A,f(x)的定義域(0,+8),

/'(x)=lnx4-l,

令/'。)>。，有l(wèi)nx>-4,即x>L

e

可知/(X)在(0,L單調(diào)遞減，在(1，+00)單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，

ee

=/(-)=---且當(dāng)Xf()時(shí)/(X)-°，又/(D=°，

ee

從而要使得方程/(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根,

即y=f(x)與y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以ke(—工,0),故A正確;

e

對(duì)于B,易知x=l不是該方程的根，

當(dāng)時(shí)，/(幻￥0,方程g(x)=/有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

X

等價(jià)于y=%和y=只有一個(gè)交點(diǎn)，

Inx

,lnx-1「「

y=--,又%>0且xw1,

(lnx)

令y'>0,即Inx>1,有x>e,

x

知丁=—在(0,1)和(1,e)單減，在(e,+0。)上單增，

Inx

X=1是一條漸近線，極小值為e,

X

由丁二—大致圖像可知％<0或后=e,故B錯(cuò)誤；

Inx

對(duì)于C,當(dāng)須>工2>。時(shí)，〃心(西)-8(/)]>/(百)一/(馬)恒成立，

等價(jià)于感(%)-/(%)>mg(x2)~/(々)恒成立，

即函數(shù)y=mg(x)-/(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

即y'=mg'(x)-f\x)=如一lnx-120恒成立,

即機(jī)>電出■在(0,+8)上恒成立,

X

./、Inx+1e,/、-Inx

令r(x)=------,則廠(%)

Xx2

令/(x)>0得lnx<0,有0<x<l,

從而r(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+0。)上單調(diào)遞減，

則心)max="D=1，于是加之I,故C正確；

對(duì)于D,尸(%)=工111工一以2(工>0)有兩個(gè)不同極值點(diǎn),

等價(jià)于F(x)=lnx+l-2ox=0有兩個(gè)不同的正根,

即方程2a='二坦有兩個(gè)不同的正根，

X

由C可知，0<2a<l,即0<4<,，則D正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)

題和恒成立問(wèn)題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)注意利

用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

13.1013

【解析】

由an+S“=1,推得&=；(〃>2),得到數(shù)列｛a,｝表示首項(xiàng)為1,公比為；的等比數(shù)列，求得an和S,,,

an-\,22

s

n

進(jìn)而得到—=2-l,再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可求解.由數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和S“，且滿足a?+Sn=l,

當(dāng)力22時(shí)，+S〃-]=1,

兩式相減，可得q—+(S“-ST)=2/_%T=0,即&=萬(wàn)(〃22),

an-\,

令〃=1,可得q+S]=2〃]=1,解得卬=；,

所以數(shù)列｛q｝表示首項(xiàng)為公比為3的等比數(shù)列，所以4,

iRfiYl1.仕丫

則S_21WJ)丫，所以&==—

所以“+*+鳥(niǎo)■+…+邑=(2+2?+…+2。)-(1+1+…+1)

qa2a3a9'

2(1-2.

=-^----/_9=2'°-11=1013-

1-2

故答案為：1013.

【點(diǎn)睛】

S,zi=1a1,、

關(guān)鍵點(diǎn)睛：由4+S,=l,利用風(fēng)=；7推得工=彳（〃22）從而證得數(shù)列%｝為等比數(shù)

列是解答本題的關(guān)鍵.

14.（砧］

【解析】

raw，設(shè)廝是函數(shù)小）的極小值點(diǎn)，由A>（W㈤>。可得22考然后利

］（］、

用a=53x0+—可求得答案.（x）=3f-2奴+1,由題可得，函數(shù)〃x）有極值，故△=4/_12>0，

解得：a>V3

%

/（o）-3x；--2ax0+1=0

設(shè)方是函數(shù)“X）的極小值點(diǎn)，故（a

%0>3

解得：a~~3%H----X>—

210%人o3）

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）的極小值大于零，所以

/（?。?片一盤(pán)+/+3=一（片+,+3=；（一+2）（%；++3）>0,解得：耳）<2

所以：a=g3X（）>/>￥）,

由雙勾函數(shù)的知識(shí)可得a=g3xo+j）在［曰,2，上單調(diào)遞增，所以ae（6,日）

故答案為：（石，;

15.17

【解析】

利用s“求出an,則可得為.因?yàn)閟.=〃2,

當(dāng)?shù)?2時(shí),Si=(〃—1)2,所以%=S,「Sz=〃2-5—i)2=2〃—l,

又〃=1時(shí)，4=Sj=1也適合上式,

所以=2〃-1,

所以的=2x9—1=17.

故答案為：17

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用S,求出an是解題關(guān)鍵.

16.a>l-2\n2

【解析】

先判斷g(x)的單調(diào)性，求出8(力胸，再轉(zhuǎn)化已知條件得到尤一xlnx)

?in，最后構(gòu)建新函數(shù)

123

h(x)=-x-x]nx,并求最小值以冷面即可解題解：因?yàn)間(x)=-§d+'1j°-X,所以

g,(x)=-2x2+3x-l,

令g'(x)=O,即一2爐+3%—1=0，解得x=g或無(wú)=1，

則g(x)在(；1)上單調(diào)遞減，在(；/)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

231

所以gOOmax=g(l)=_§+]-1=—5

對(duì)任意的〃?€；,2,都存在"C；,2,使得g(〃，)</(〃)成立，

則存在1,2,使得/(〃)Ng(x)1mx成立，

1C[

則存在,使得—Flnx—>—成立，

_3Jx36

則存在XE1,2,使得成立，

1_3」2

則。之(3-怖次焉，XE§，2

令〃(x)=^x-x\nx,則=-g-Inx

令〃'(x)=0,-；_lnx=O解得：x=~\

11-11

所以〃(x)=—x-xlnx在(_,e2)上單調(diào)遞增，在(,5,2)上單調(diào)遞減，

23

所以〃(x)mm=餌2)=；x2—21n2=l—21n2,

所以a之1一2如2

故答案為：a>l-21n2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、利用導(dǎo)函數(shù)解決不等式的恒成立與能成立問(wèn)題，是偏難題.

*12

17.(1)an=2"-'；(2)T=n.

【解析】

(1)利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行基本量運(yùn)算，可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用等差數(shù)列的求和公式可得數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和T..(1)由題意可知

%(1一力

一]D

i-q

4(1-力(1-7)

1-q\-q

解得<q=1c

[q=2

所以數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為a,=2"」.

(2)b“=log2ali“=2n-l

數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和T“==n2.

11e?

18.(I)。=1,8=一；(II)/(x)的最大值為——，最小值為1-----.

222

【解析】

(I)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切點(diǎn)在切線上也在曲線上聯(lián)立方程可解.

(U)利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性可求最值,解：(I)???/(x)=alnx—笈2,

/.//(%)=—-2/?x,

=a-2b=0a=\

由題意，有〈,、1.解得，

〃1)一=-5b=L

2

Y2/|1_y：

(II)由(I)知%)=1。工一3，/'(x)=—X=------

1

:-<x<e

ef

二令f'(x)>。，得令/'(x)v。，得l<x<e.

e

.?J(X)在上單調(diào)遞增，在(Le)上單調(diào)遞減.

???/(X)max=/(l)=-1,〃X)min="e)=l-/.

19.(1)a<5(2)最小值是43)=-9,最大值是45)=15.

【解析】

311

(1)轉(zhuǎn)化為/'(x)NO在［3,+8)恒成立，即二(x+—)在［1,+8)恒成立，利用單調(diào)性求出x+—在

2xx

［3,+8)上的最小值即可得解；

(2)根據(jù)％=3是/0)的極值點(diǎn)求出。=5,分析單調(diào)性即可求出最值.(1)因?yàn)?(x)在［3,+8)上是增函

數(shù)，

令/(x)=3x2—2ax+320在［3,+°。)上恒成立，

...y=x+，在[l,+oo)上為增函數(shù)，

X

3(310u

.?.當(dāng)x=3時(shí)，--^+―=-x—=5

21x人m23

???QW5?

(2)/(3)=0,即27—6。+3=0,

???Q=5,/[X)=X3—5X2+3X,/(x)=3x2—10x+3.

令/(x)=o,得X1=3,X2=；(舍去).

當(dāng)l<x<3時(shí)，/(x)<0,當(dāng)3Vx<5時(shí)，

即當(dāng)x=3時(shí)，/(x)的極小值/［3)=-9.

又穴=—?=15,

在［1,5］上的最小值是/(3)=-9,最大值是/［5)=15.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第(1)問(wèn)轉(zhuǎn)化為了'(x)NO在［3,+8)恒成立是解題關(guān)鍵，第(2)問(wèn)根據(jù)x=3是/(?的極

值點(diǎn)求出a=5是解題關(guān)鍵.

,1

20.(1)證明見(jiàn)解析；(2)J/j.

+1J?2

【解析】

(1)由己知得41=2卜2,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)有乎2*=3-2卜3,由等比數(shù)列的定義即可證｛方2?｝是等比

數(shù)列；

(2)由⑴得力，-4,1=2"一3,寫(xiě)出｛%｝通項(xiàng)，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求S”.⑴證明：由數(shù)列｛q｝,｛2｝,

滿足4=2"~2,怎T=%.(左eN*),

—由仇I，砥，砥成等差數(shù)列，則有4*=3.2~,整理得盧=2(常數(shù))，

^2k-2

數(shù)列｛&J：以彳為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由⑴知：氏一%-=3-2"一3—2"-2=2"-3(〃GN*),

n+2n+22(〃+1)-〃11/、八

?Q-------------------=----------=----------=----------------(〃2I)

““8MD+n(n+l)-2"n-2n-1(n+l)-2nV-八

。1111.11,1

.S———-----P---------+L+-----------------=1----------

""2°2-212-2'3"n-2'-'(〃+1)2(〃+1>2"，

21.(1)%=2；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

2

(1)當(dāng)"=1時(shí)，q=——7,即可求得q=2；

4-1

T，進(jìn)而得到

,得至U--------

%%

,即可求解;

(3)由(2)得到S,,+i=二一+1,由(2)得至1」二-<2?,再由4+|<a2=\,得到-3〃+1KK2品,

4+1%+i

,、2

即可作出證明.（1）由題意，正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足：a，.=--------7——7neN、,

a\+&2+..........+%—1

2

當(dāng)”=1時(shí)，q=-----,結(jié)合4>0得q=2.

qt

21+為+???+?！?1

⑵因?yàn)楱D…+...+/_1所以一二」一r——--

42

11?11

所以--------=」n產(chǎn)+1，可得一=—%

a2

%?2anan+x

所以

所以

1

=(1—9)+(1一9)+1,+(1—爭(zhēng)=1

n——

4

4

即=4〃+5---

%

11a

(3)由(2)知^--------=逐n+i

4+ia?2

?a,a.J111、.1I.

所以—2《+???+—n+?=(------)+(-------)+???+(--------),

222a2al4a2an+\an

1/c\11c2,

;(s“+i-q)=-------,即s“+i=—+i

2??+|4q+1

一方面，由(2)知l?+i=4〃+5—+々；=5,所以工-42〃.

a

4+1n+l

11

另一方面，由?！?]>0,所以一<_一,于是

an〃"+1

??+i4%=1，

所以4+1=&：+雨+?“+。3<4+n,

所以7L+i=4〃+5一一土<"+4=>—>。3〃+1,所以J3〃+1<-<2M.

aa

?+i4+1,,+x

所以J3“+1+1WS?+l<2Vn+l，

所以當(dāng)〃N2時(shí)，V3n-2+l<S?<2Vn^l+l.

【點(diǎn)睛】

數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題的求解策略：

1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式，求和方法

等對(duì)于式子化簡(jiǎn)變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)，在解決問(wèn)題

時(shí)要注意這一特殊性；

2、解決數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、

分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)解決.

22.(1)/(x)=x+l；(2)極大值為g(O)=l,無(wú)極小值；(3)(—8,3—2e)U0—ge,+oo)

【解析】

(1)先根據(jù)題意得P(1-八0),進(jìn)而得切線斜率&=1,故/(x)=x—1+加，再根據(jù)/(1)=2求得加，

進(jìn)而得解析式;

」/XX+1

（2）由（1）g（x）=i-求導(dǎo)得g")=m,進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可得答案;

1\1

(3)將不等式整理變形得：存在實(shí)數(shù)使—成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

“2

2/z(x)m.n<〃(%)皿，再研究函數(shù)M6的單調(diào)性得xe(0,e")時(shí)，函數(shù)〃(x)為減函數(shù),

xe(e”,+8)時(shí)，函數(shù)〃(x)為增函數(shù)，再分“40,0<。<1,“21三種情況討論求解即可得答案.解：(1)

令y=]n(x+，〃)=O解得x=l-加，故點(diǎn)。(1一加,0),

對(duì)函數(shù)y=ln(x+m)求導(dǎo)得y』」一，

x+m

所以曲線y=In(x+機(jī))在點(diǎn)p處的切線斜率為k=-,—=1,

所以曲線y=ln(x+機(jī))在點(diǎn)p處的切線方程為：y=x-l+m,即：y=/(x)=x-l+m,

又因?yàn)?(1)=2,故加=2,

所以y=/(x)的解析式/(x)=x+L

(2)由(1)知g(x)=」3=±U,函數(shù)定義域?yàn)镽,

exex

所以g'(x)=j,

故當(dāng)xe(O,+8)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以函數(shù)g(x)在x=0處取得極大值，極大值為g(o)=l,無(wú)極小值.

(3)因?yàn)?々

(\y)

2/、In—+(l—Q)In—+1

In九2+(4-l)ln%2+1IX2)X2

=T=T'

x2x2

]

2x

故不等式2Mxi)<x2ln9+(〃—1)%2In2+尤2等價(jià)于2fl(x)<k一

\X2

J