矩陣的初等變換與線性方程組課件

第三章

矩陣的初等變換與線性方程組9/18/20231第三章

矩陣的初等變換與線性方程組8/6/20231§1矩陣的初等變換引例求解線性方程組9/18/20232§1矩陣的初等變換引例求解線性方程組8/6/2023用消元法9/18/20233用消元法8/6/202339/18/202348/6/20234令代入方程組，得解9/18/20235令代入方程組，得解8/6/20235消元法的三類變換：（1）對調二個方程的次序；（2）以非零的數(shù)k乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．由于三類變換都是可逆的，因此變換前的方程組與變換后是同解的．9/18/20236消元法的三類變換：（1）對調二個方程的次序；（2）以非零的數(shù)定義1：下面三類變換稱為矩陣的初等行變換:同樣可定義矩陣的初等列變換

(把“r”換成“c”)．初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。9/18/20237定義1：下面三類變換稱為矩陣的初等行變換:同樣可定義矩陣的初三類初等變換都是可逆的，并且其逆變換是同一類的初等變換。9/18/20238三類初等變換都是可逆的，并且其逆變換是同一8/6/20238若矩陣

A經過有限次初等變換變成

B，則稱

A與B等價，記作A

～

B.矩陣的等價關系滿足：

反身性

A

～

A；

對稱性

若A

～

B，則B

～

A；

傳遞性

若A

～

B，B

～

C，則A

～

C。9/18/20239若矩陣A經過有限次初等變換變成B，則稱A與矩陣的等(1)的增廣矩陣線性方程組9/18/202310(1)的增廣矩陣線性方程組8/6/2023109/18/2023118/6/202311行階梯形9/18/202312行階梯形8/6/202312行最簡形令9/18/202313行最簡形令8/6/202313等價標準形9/18/202314等價標準形8/6/202314任一m×n矩陣A

都等價于一個如下的矩陣

稱為A的等價標準形。9/18/202315任一m×n矩陣A都等價于一個如下的矩陣稱為A的§2

初等矩陣定義2：由單位矩陣經過一次初等變換所得矩陣稱為初等矩陣。三類初等變換與三類初等方陣相對應9/18/202316§2初等矩陣定義2：由單位矩陣經過一次初等變換所得矩陣稱9/18/2023178/6/2023179/18/2023188/6/2023189/18/2023198/6/202319三類初等矩陣：其中9/18/202320三類初等矩陣：其中8/6/202320三類初等矩陣都是可逆的，并且其逆矩陣、轉置矩陣都是同一類的初等矩陣。9/18/202321三類初等矩陣都是可逆的，并且其逆矩陣、轉置8/6/20232定理1：設A為m×n矩陣，則

9/18/202322定理1：設A為m×n矩陣，則8/6/2023229/18/2023238/6/202323方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。定理2：證明：充分性.必要性.9/18/202324方陣A可逆的充要條件是A可以表示為定理2：證明：充分性.方陣A可逆的充要條件是A~E推論1：推論2：m×n陣A與B等價的充要條件是存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得PAQ=B注意到可逆陣可表示為若干個初等陣的乘積。9/18/202325方陣A可逆的充要條件是A~E推論1：推論2：m×n陣例.9/18/202326例.8/6/202326即9/18/202327即8/6/202327解：例：9/18/202328解：例：8/6/2023289/18/2023298/6/2023299/18/2023308/6/202330例：解：初等行變換9/18/202331例：解：初等行變換8/6/2023319/18/2023328/6/2023329/18/2023338/6/202333§3

矩陣的秩定義3：在矩陣A中，任取k行、k列所得的k2個元素不改變它們的相對位置而得的k階行列式，稱為A的一個k階子式。A的一個2階子式：9/18/202334§3矩陣的秩定義3：在矩陣A中，任取k行、k列所定義4：矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)稱為A的秩，記作R(A)。例4.求矩陣A和B的秩,其中9/18/202335定義4：矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)例4.求矩陣A和2階子式3階子式|A|=03階子式4階子式都=0

∴R(A)=2∴

R(B)=39/18/2023362階子式3階子式|A|=03階子式4階子式都定理3若A~B,則R(A)=R(B).

事實上，若A經過一次初等變換變?yōu)锽，A的

k階子式全等于零,則B的k階子式也全等于零。9/18/202337定理3若A~B,則R(A)=R(B).性質1.

若A的所有r階子式(如果有)全等于零，則階數(shù)大于r的所有子式全等于零。若A的所有k階子式全等于零,則R(A)<k2.若A有一個k階子式非零,則R(A)≥

k3.若A為m×n矩陣,則0

≤

R(A)≤

min{m,n}4.9/18/202338性質1.若A的所有r階子式(如果有)全等于零，若A5.R(PAQ)＝R(A),其中P,Q為可逆矩陣。9.

若則6.7.8.9/18/2023395.R(PAQ)＝R(A),其中P,Q為可逆矩設,則故9/18/202340設,則故8/6/202340注意到，從一個矩陣中劃去一行或一列，它的秩至多減少一。將C1看成一個n階矩陣劃去了n-r1行,n-r2列，于是有9/18/202341注意到，從一個矩陣中劃去一行或一列，它的秩8/6/20234§3線性方程組的解9/18/202342§3線性方程組的解8/6/202342化為行最簡形矩陣不妨假定9/18/202343化為行最不妨假定8/6/202343(#)9/18/202344(#)8/6/202344(1)若，則(#)無解。(2)若則(#)有解，并且當時，有唯一解。時，有無窮多解。9/18/202345(1)若，則(#)無解。非齊次性線性方程組解的條件

定理4：非齊次線性方程組有解的充要當時，有唯一解；當時，有無窮多解。條件是，并且9/18/202346非齊次性線性方程組解的條件定理4：非齊次線性方程組有解的充例10：求解線性方程組解：9/18/202347例10：求解線性方程組解：8/6/202347可知方程組無解。9/18/202348可知方程組無解。8/6/202348例11：求解線性方程組解：9/18/202349例11：求解線性方程組解：8/6/2023499/18/2023508/6/202350得令故9/18/202351得令故8/6/2023519/18/2023528/6/202352齊次性線性方程組解的條件

定理6：齊次線性方程組有非零解的充要條件是9/18/202353齊次性線性方程組解的條件定理6：齊次線性方程組例9：求解齊次線性方程組解：9/18/202354例9：求解齊次線性方程組解：8/6/2023549/18/2023558/6/2023559/18/2023568/6/202356矩陣方程有解的條件

定理6：矩陣方程有解的充要