第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)章末題型歸納總結(jié)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：集合的基本概念經(jīng)典題型二：集合的基本關(guān)系經(jīng)典題型三：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算經(jīng)典題型四：利用子集關(guān)系求參數(shù)經(jīng)典題型五：子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題經(jīng)典題型六：韋恩圖的應(yīng)用經(jīng)典題型七：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：集合的基本概念例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列關(guān)系：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】是實(shí)數(shù)，①正確；是無(wú)理數(shù)，不是有理數(shù)，②錯(cuò)誤；是整數(shù)，③錯(cuò)誤；是無(wú)理數(shù)，不是自然數(shù)，④正確．正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B.例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則集合中所有元素之和為（）A． B．0C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)榧?，且，則有，所以集合中所有元素之和為.故選：A例3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）集合用列舉法可表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，∴，即用列舉法為.故選：B例4．（2023·四川成都·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2023年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)集合中元素的確定性可知，“2023年高考數(shù)學(xué)難題”中的“難題”沒(méi)有評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，不具備確定性，因此不能構(gòu)成集合.故選：B例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，分4種情況討論；①、全部為負(fù)數(shù)時(shí)，則也為負(fù)數(shù)，則；②、中有一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，則為負(fù)數(shù)，則；③、中有兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，則為正數(shù)，則；④、全部為正數(shù)時(shí)，則也正數(shù)，則；則；分析選項(xiàng)可得符合．故選：A.例6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（

）A．B．或C．D．【答案】C【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時(shí)除去兩個(gè)點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時(shí)排除，兩點(diǎn)．故選：C例7．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）由實(shí)數(shù)－a，a，|a|，所組成的集合最多含有的元素個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，這四個(gè)數(shù)都是0，所組成的集合只有一個(gè)元素0.當(dāng)a≠0時(shí)，＝|a|＝所以一定與a或－a中的一個(gè)一致.故組成的集合中有兩個(gè)元素.故選:B.例8．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列各組中的集合P與Q表示同一個(gè)集合的是()A．P是由元素1,,π構(gòu)成的集合,Q是由元素π,1,構(gòu)成的集合B．P是由π構(gòu)成的集合,Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2,3構(gòu)成的集合,Q是由有序數(shù)對(duì)(2,3)構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式-1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合,Q是方程x2=1的解集【答案】A【解析】對(duì)于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P與Q表示同一個(gè)集合,對(duì)于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P與Q不能表示同一個(gè)集合.選A經(jīng)典題型二：集合的基本關(guān)系例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【解析】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.例10．（多選題）（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列關(guān)系式正確的為（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】對(duì)于A.元素與集合間是屬于與不屬于的關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.含有一個(gè)元素0，不是空集，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C.集合的元素具有無(wú)序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正確；對(duì)于D.空集是任何集合的子集，故D正確.故選：CD．例11．（多選題）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對(duì)A，元素0屬于集合，A對(duì)；對(duì)B，空集真包含于任一非空集合，B對(duì)；對(duì)C，兩集合的元素形式不一致，不可能存在包含關(guān)系，C錯(cuò)；對(duì)D，兩集合的元素，故，D錯(cuò).故選：AB例12．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知六個(gè)關(guān)系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：是的一個(gè)元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒(méi)有元素，故，④正確；且、，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.故選：C例13．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，，，則這三個(gè)集合間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個(gè)元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C例14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，，若，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】若，則或，解得或或，由集合中元素的互異性，得，則，故選：C．例15．（多選）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）集合，，則P與T的關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】依題意，集合，而，因此或，且，ABD都正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD例16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則M與P的關(guān)系為（

）A．M＝P B．M?PC．P?M D．MP【答案】D【解析】①對(duì)于任意∵，∴，∴，由子集定義知.②∵，此時(shí)，即，而在時(shí)無(wú)解，.綜合①②知，MP.故選：經(jīng)典題型三：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，則．【答案】【解析】根據(jù)交集的運(yùn)算，求得，再由集合，結(jié)合并集的運(yùn)算，即可求解.由題意，集合，可得，所以.故答案為：.例18．（2023·四川成都·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，集合，則=.【答案】【解析】分別求函數(shù)的定義域和值域可得集合，再求，進(jìn)而與求交集即可得解.由，得集合，集合，則或，所以故答案為：.例19．（2023·青海玉樹(shù)·高一校考期中）已知集合，集合，，則.【答案】【解析】因?yàn)?所以,,所以,,所以.故答案為:.例20．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)全集.【答案】【解析】,所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.例21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若是小于9的正整數(shù)，是奇數(shù)，是3的倍數(shù)，則．【答案】【解析】解法1，則所以，所以解析2，而．例22．（2023·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市一中校考階段練習(xí)）已知，，則.【答案】【解析】由題意,,故畫(huà)圖如圖:即得，故答案為：例23．（2023·安徽滁州·高一校考階段練習(xí)）已知全集，集合，則．【答案】【解析】因?yàn)槿?，所以，而，所以，故答案為：?4．（2023·湖南永州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，則.【答案】【解析】或.故答案為:.例25．（2023·西藏林芝·高一?？计谥校┮阎?，集合，.則=.【答案】或【解析】因?yàn)椋曰?又，所以或.故答案為：或經(jīng)典題型四：利用子集關(guān)系求參數(shù)例26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.例27．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】解得，故.的取值范圍是．例28．（2023·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，，（1）若A為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）因是空集，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（2）且B是A的真子集，則，解得，顯然，a-1=0與2a+1=1不同時(shí)成立，于是得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.例29．（2023·廣東惠州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合A=，B=（1）若，求并列出它的所有子集；（2）若AB=A，求實(shí)數(shù)x的值.【解析】（1）當(dāng)，可得集合，，所以，所有子集：，，，.（2）由，可得，①當(dāng)時(shí)，解得或，若，可得集合，，滿足題意；若，可得結(jié)合，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，解得或，若，可得集合，，滿足題意；若，此時(shí)不滿足元素的互異性，（舍去）.綜上，或.例30．（2023·寧夏中衛(wèi)·高一海原縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合若，求實(shí)數(shù)的值.【解析】當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，由得；綜上可得.例31．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.（1）若集合中有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)不可以取的值的集合；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1），，有個(gè)元素，，，，，，，，不可以取的值的集合為.（2）若，則，由集合中元素的互異性知或或當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，.存在實(shí)數(shù)或，使.例32．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知為實(shí)常數(shù)，集合，.若且，求實(shí)數(shù)的值.【解析】.因?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，綜上：；；.例33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知M={x|2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a1}.（1）若MN，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若MN，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由得：無(wú)解；故實(shí)數(shù)的取值范圍為空集；（2）由得：當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，故；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.例34．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）設(shè)集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】因?yàn)椋宜约峡煞秩N情況．（1）若，此時(shí)，所以．（2）若，且，則或，此時(shí)，所以代入方程解得，符合題意，所以．（3）若，此時(shí)，即1，2是關(guān)于的方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，且．此時(shí)不存在．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍．故答案為：．例35．（2023·天津和平·高一天津市匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】∵M(jìn)＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，又，∴N＝，N＝{1}，N＝{2}．（1）當(dāng)N＝時(shí)，方程x2－2x＋a＝0的判別式＝4－4a<0，即a>1．（2）當(dāng)N＝{1}時(shí)，有∴a＝1．（3）當(dāng)N＝{2}時(shí)，有不成立．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1．例36．（2023·安徽六安·高一霍邱縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，．若且?，試求實(shí)數(shù)的值．【解析】，且?，或當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得綜上所述，或例37．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，．（1）若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）依題意得，，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)槭堑淖蛹?，?dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，解得；綜上所述得或．例38．（2023·新疆伊犁·高一統(tǒng)考期中）已知全集，若集合.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.因?yàn)?，所?（2）由得，，因?yàn)?，所?經(jīng)典題型五：子集、真子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題例39．（2023·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎艏螧滿足，則滿足條件的B的個(gè)數(shù)為.【答案】8【解析】，則集合的子集個(gè)數(shù)為，即滿足的集合B的個(gè)數(shù)為8.故答案為：8例40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）滿足的集合M共有個(gè).【答案】7【解析】由題意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集，所以或或或或或或,即集合M共有個(gè).故答案為：例41．（2023·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個(gè)非空真子集，則m的值可以是．（說(shuō)明：寫出滿足條件的一個(gè)實(shí)數(shù)m的值）【答案】（答案不唯一）【解析】集合恰有兩個(gè)非空真子集,則集合A中含有2個(gè)元素，即方程由2個(gè)不等實(shí)根，，解得且.故答案為：（答案不唯一）.例42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，，，集合M的真子集的個(gè)數(shù)為．【答案】15【解析】集合，，而，則，所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：15例43．（2023·高一單元測(cè)試）滿足的集合有個(gè)【答案】7【解析】由，知集合中必有元素，且中還有元素，，，中的個(gè)，個(gè)，或個(gè)，當(dāng)中有一個(gè)元素時(shí)，有個(gè)，當(dāng)中有兩個(gè)元素時(shí)，有，，個(gè)，當(dāng)中有三個(gè)元素時(shí)，有，，個(gè)，綜上，集合個(gè)數(shù)有.故答案為：例44．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】0或1【解析】時(shí)，，子集只有兩個(gè)，滿足題意，時(shí)，若即，則，子集只有1個(gè)，不滿足題意；若，即，則集合有兩個(gè)元素，子集有4個(gè)，不滿足題意，時(shí)，，，子集只有兩個(gè)，滿足題意，所以或1.故答案為：0或1，例45．（2023·江西南昌·高一進(jìn)賢縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)集合，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.【答案】14【解析】要使，且，則或或或，所以，或或或.所以，.集合的子集有，，，，，，，，，，，，，，，共16個(gè).去掉和，集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：14.例46．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）集合的真子集的個(gè)數(shù)是．【答案】7【解析】因?yàn)?，則的元素個(gè)數(shù)為，故A有個(gè)真子集．故答案為：.例47．（2023·浙江·高一舟山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知集合A={6，8}，B={3，5}.若集合C=，則集合C的子集有個(gè).【答案】8【解析】x可能的結(jié)果有，，，，所以集合，因此子集個(gè)數(shù)為.故答案為：8.例48．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中校考期中）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合是【答案】【解析】因?yàn)榧嫌星覂H有兩個(gè)子集，所以集合中只有一個(gè)元素，即方程只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)解，滿足要求；當(dāng)時(shí)，，解得，所以或0.故答案為：.例49．（2023·廣西桂林·高一桂林十八中?？计谥校┤艏嫌星覂H有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】0或【解析】由題意可知，中只有一個(gè)元素，若，則，滿足題意；若，則只有一個(gè)解，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為0或.故答案為：0或.例50．（2023·河南三門峽·高一?？茧A段練習(xí)）集合A中的元素x滿足，則集合A的子集個(gè)數(shù)為【答案】【解析】因?yàn)?，所以是的正因子，所以的可能取值為，?duì)應(yīng)的的可能取值為，又因?yàn)椋缘娜≈禐?，即集合有個(gè)元素，所以集合A的子集個(gè)數(shù)為.故答案為：.經(jīng)典題型六：韋恩圖的應(yīng)用例51．（2023·浙江·高一期中）為全面貫徹素質(zhì)教育的思想方針，傳承百廿二中的體育精神，積極推動(dòng)我校群體體育教育的開(kāi)展，提高師生的身體素質(zhì)，培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)，豐富校園文化生活，提升學(xué)校品質(zhì).學(xué)校舉行了第二十二屆體育文化節(jié).文化節(jié)的趣味活動(dòng)共兩項(xiàng)：“旋風(fēng)跑”和“毛毛蟲(chóng)”.某班有24名同學(xué)參加了“旋風(fēng)跑”接力賽，12名同學(xué)參加了“毛毛蟲(chóng)”比賽，兩個(gè)項(xiàng)目都參加的有6人，則這個(gè)班共有人參加趣味活動(dòng)．【答案】30【解析】依題意僅參加“旋風(fēng)跑”接力賽的同學(xué)有人，僅參加“毛毛蟲(chóng)”比賽的同學(xué)有人，所以一共有人參加趣味活動(dòng)．故答案為：例52．（2023·貴州貴陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年9月，突如其來(lái)的疫情使貴陽(yáng)市按下了暫停鍵，某縣抽調(diào)了150名醫(yī)護(hù)人員支援貴陽(yáng)進(jìn)行核酸樣本的采集與檢測(cè)工作，為了更好的安排工作，現(xiàn)對(duì)這些醫(yī)護(hù)人員的工作意向（樣本采集?檢測(cè)）進(jìn)行調(diào)查，其中愿意樣本采集的人數(shù)是全體的五分之三，愿意檢測(cè)的人數(shù)比愿意采集的人數(shù)多三人，請(qǐng)問(wèn)兩種工作都愿意的人數(shù)有.【答案】33【解析】根據(jù)題意可得：愿意樣本采集的人數(shù)為，愿意檢測(cè)的人數(shù)為設(shè)兩種工作都愿意的人數(shù)為，則只愿意樣本采集的人數(shù)為，只愿意檢測(cè)的人數(shù)為∵，解得∴兩種工作都愿意的人數(shù)為33故答案為：33.例53．（2023·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有40名同學(xué)參加跳繩、賽跑、球類比賽，每名同學(xué)至多參加兩項(xiàng)比賽.已知參加跳繩、賽跑比賽的人數(shù)分別為16，17，同時(shí)參加跳繩和賽跑比賽的人數(shù)為3，同時(shí)參加賽跑和球類比賽的人數(shù)為4，同時(shí)參加跳繩和球類比賽的人數(shù)為4，則參加球類比賽的人數(shù).【答案】18【解析】由題意得參加球類比賽的人數(shù)為.故答案為：18．例54．（2023·內(nèi)蒙古興安盟·高一烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）某班共40人，其中24人喜歡籃球運(yùn)動(dòng)，13人喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)，6人這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡，則只喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為.【答案】10【解析】設(shè)喜歡籃球運(yùn)動(dòng)、乒乓球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生構(gòu)成的集合分別為，，全集為，設(shè)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的有人，由題意可得圖，如圖所示，故，解得，故只喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為．故答案為：10.例55．（2023·江蘇·高一期末）國(guó)內(nèi)某地為進(jìn)一步提高城市市花一桂花知名度和美譽(yù)度，促進(jìn)城市品牌的建設(shè)提速?gòu)?qiáng)效，相關(guān)部門于近期組織開(kāi)展“蟾宮折桂，大學(xué)生認(rèn)養(yǎng)古桂花樹(shù)”系列活動(dòng)，以活動(dòng)為載體，帶動(dòng)桂花產(chǎn)業(yè)、文化、旅游、經(jīng)濟(jì)發(fā)展．著力打造以桂花為主題的城市公共品牌和城市標(biāo)識(shí)，力爭(zhēng)通過(guò)活動(dòng)和同步的媒體宣傳，實(shí)現(xiàn)從“中國(guó)桂花之鄉(xiāng)”到“中國(guó)桂花城”的轉(zhuǎn)變．會(huì)上，來(lái)自該市的部分重點(diǎn)高中共計(jì)100名優(yōu)秀高中應(yīng)屆畢業(yè)生現(xiàn)場(chǎng)認(rèn)養(yǎng)了古桂花樹(shù)，希望他們牢記家鄉(xiāng)養(yǎng)育之恩，不忘桂鄉(xiāng)桑梓之情，積極對(duì)外宣傳推介家鄉(xiāng)，傳播桂花文化．這100名學(xué)生在高三的一次語(yǔ)數(shù)外三科競(jìng)賽中，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有39人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有49人，參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有41人，既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有15人，既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有13人，既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有9人，1人三項(xiàng)都沒(méi)有參加，則三項(xiàng)都參加的有．【答案】7【解析】設(shè)參加語(yǔ)文競(jìng)賽的學(xué)生組成的集合為，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生組成的集合為，參加外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生組成的集合為，則表示參加語(yǔ)文和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合，表示參加數(shù)學(xué)和外語(yǔ)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合，表示參加語(yǔ)文和外語(yǔ)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合，由已知集合中有39個(gè)元素，集合中有49個(gè)元素，集合中有41個(gè)元素，集合中有15個(gè)元素，集合中有13個(gè)元素，集合中有9個(gè)元素，因?yàn)?人三項(xiàng)都沒(méi)有參加，且共100名學(xué)生，所以中含有99個(gè)元素，設(shè)三項(xiàng)都參加的有x人，結(jié)合圖象可得集合，，的元素個(gè)數(shù)和減去集合，，的元素個(gè)數(shù)和再加上的元素的個(gè)數(shù)可得99，所以，解得故答案為：7.例56．（2023·北京·高一?？茧A段練習(xí)）某班有學(xué)生32人，其中體育愛(ài)好者有16人，音樂(lè)愛(ài)好者有17人，還有3人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，則該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為．【答案】4【解析】設(shè)該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為，由容斥原理得，解得．故答案為：4．例57．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一校考階段練習(xí)）高一某班級(jí)共有名學(xué)生做物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確的有人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確的有人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)的有人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做正確的有人．【答案】21【解析】設(shè)物理實(shí)驗(yàn)做得正確的學(xué)生為集合，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確的學(xué)生為集合，則兩種試驗(yàn)都做正確的學(xué)生為，因?yàn)?，設(shè)則，解得：，所以兩種試驗(yàn)都做正確的學(xué)生人數(shù)為21.故答案為：21例58．（2023·山東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某班共人，其中人喜歡籃球，人喜歡乒乓球，人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡，則喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)為．【答案】【解析】設(shè)喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)為，則，解得.故答案為：.例59．（2023·山東泰安·高一校考期中）某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)和音樂(lè)講座，其中參加數(shù)學(xué)講座的人數(shù)是參加音樂(lè)講座的人數(shù)的，只參加數(shù)學(xué)講座的人數(shù)是只參加音樂(lè)講座的人數(shù)的，有20人同時(shí)參加數(shù)學(xué)、音樂(lè)講座，則參加講座的人數(shù)為．【答案】120【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)講座的學(xué)生的集合為A,參加音樂(lè)講座的學(xué)生的集合為B，則，解得：,又，所以,則參加講座的人數(shù)為120,故答案為：120.例60．（2023·四川·高一?？茧A段練習(xí)）高一某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽.則該班這兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)是.【答案】【解析】由題意畫(huà)出ven圖，如圖所示：由ven圖知：參加比賽的人數(shù)為26人，所以該班這兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)是29人，故答案為：29經(jīng)典題型七：根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)求參問(wèn)題例61．（2023·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，或．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在（2）問(wèn)中的橫線上，并求解，若__________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，或，所以，，因此，.（2）若選①，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，；若選②，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，；若選③，由可得，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上，.例62．（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知全集，，，且．(1)求集合，；(2)若集合，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）因?yàn)椋?，且，又因?yàn)?，所以，得，，因?yàn)?，所以，得，，綜上，，.（2）由（1）得，所以，得.例63．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，.(1)若，求；(2)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并進(jìn)行解答.問(wèn)題：若，求實(shí)數(shù)的所有取值構(gòu)成的集合.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?（2）若選①，當(dāng)時(shí)，，則，滿足，當(dāng)時(shí)，，若，則或，解得或.綜上所述，；若選②，，則.當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑒t或，解得或.綜上所述，；若選③，當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?，則或，解得或.綜上所述，.例64．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谥校┰O(shè)集合，或，全集．(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得，所以a的取值范圍是；（2），因?yàn)?，所以，所以，解得，所以b的取值范圍是．例65．（2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，集合,.(1)當(dāng)時(shí)求；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值.【解析】（1），解得：或2，所以，當(dāng)時(shí)，，故；（2）的根的判別式，當(dāng)時(shí)，解為，故，此時(shí)滿足，符合要求，當(dāng)時(shí)，的兩根為，，此時(shí)，要想，則，解得：，綜上：或2.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例66．（2023·江西·高二寧岡中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】∵，∴或，若，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時(shí)，集合，滿足題意，故成立，若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去，綜上所述，．故選：B．例67．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┤簦瑒t的值是（

）A．0 B．1 C．-1 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以①或②，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，符合題意，由②得，符合題意，兩種情況代入，答案相同.故選：B例68．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，，若，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，，得且，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：C.例69．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，其中，函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，又，所以若，解得或，因?yàn)?，所?此時(shí)，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.例70．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎希?，且，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：或若，此時(shí)，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；若，解得或，顯然時(shí)符合題意，而同上，集合的元素有重復(fù)，不符合題意；故.故選：B例71．（2023·福建廈門·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知集合，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足集合元素互異性，滿足要求.故選：B②轉(zhuǎn)化與化歸思想例72．（2023·山東棗莊·高一棗莊八中校考期末）同時(shí)滿足：①，②，則的非空集合M有（

）A．6個(gè) B．7個(gè)C．15個(gè) D．16個(gè)【答案】B【解析】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；，，∴非空集合M為，，，，，，，共7個(gè)．故選：B例73．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個(gè)集合有公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成“蠶食”，對(duì)于集合，，若這兩個(gè)集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，，，，若，則，即有；若，可得，，不滿足；若，兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對(duì)方子集，可得或，解得或．綜上可得，或或2.故選：A.例74．（2023·甘肅白銀