專題講座初中數(shù)學(xué)中函數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)詳解

初中數(shù)學(xué)中函數(shù)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)函數(shù)是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要模型，也是初中數(shù)學(xué)里代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，它在初中數(shù)學(xué)中具理解了也不會(huì)解題。事實(shí)果真如此難教又難學(xué)嗎？本文就初中函數(shù)教學(xué)中三個(gè)常見問題，談?wù)勗诮虒W(xué)設(shè)計(jì)方面一些方法和實(shí)踐。課本的復(fù)讀，利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行教學(xué)和學(xué)習(xí)，才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提高。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它是形成數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決有關(guān)問題的靈魂。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以，通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終本函數(shù)知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行函數(shù)教學(xué)。在函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)突出“類比”的1．注重“類比教學(xué)”不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對(duì)一事物的認(rèn)識(shí)來認(rèn)識(shí)與它相似的另一事物，這種認(rèn)識(shí)事物的思維方法就是類比法，利用類比的思想進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施教學(xué),可稱為“類比教學(xué)”.在函數(shù)教學(xué)中我們期望的是通過對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)方法的傳授，達(dá)到對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，使學(xué)生達(dá)有經(jīng)驗(yàn)的老師都會(huì)發(fā)現(xiàn)，初中學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函質(zhì)的研究、及基本解題方法上都有著本質(zhì)上的相似。因此采用類比的教學(xué)方法不但省時(shí)、省力，還有助于學(xué)生的理解和應(yīng)用。是一種既經(jīng)濟(jì)又實(shí)效的教學(xué)方法。下面我就舉例說明如何采用類比的方法實(shí)現(xiàn)函數(shù)的教學(xué)。首先是正比例函數(shù)，它是一次函數(shù)特例，也是初中數(shù)學(xué)中的一種簡單最基本的函數(shù)。但是，我們有些教師卻力不從心，學(xué)生接受起來概念模糊，性質(zhì)混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因?yàn)楹鲆曊壤瘮?shù)的基礎(chǔ)作用，我們應(yīng)該借助正比例函數(shù)這個(gè)最簡單的函數(shù)載體，把函數(shù)研究經(jīng)典流程完整呈現(xiàn)，正所謂“麻雀雖小，五《正比例函數(shù)》教學(xué)流程共同得出每個(gè)問題的函數(shù)關(guān)系式。引導(dǎo)學(xué)生觀察以上函數(shù)關(guān)系式的特點(diǎn)得出正比例函數(shù)的描述定義及解析式特點(diǎn)。象，相互交流比較然后教師利用多媒體展示畫函數(shù)圖象的過程并通過比較使學(xué)生正確掌握畫函數(shù)圖象的方法。（三）環(huán)節(jié)三：探究函數(shù)性質(zhì)讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象并引導(dǎo)學(xué)生通過比較來歸納正比例函數(shù)的性質(zhì)，這個(gè)環(huán)節(jié)是本課的難點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經(jīng)過的象限及自變量變化時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律。這幾個(gè)方面來歸納，最終得出正比例函數(shù)的性質(zhì)。（四）環(huán)節(jié)四：概念的歸納將觀察、探究出的函數(shù)圖象的特征、函數(shù)的性質(zhì)等做出系統(tǒng)的歸納。這個(gè)環(huán)節(jié)主要加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，突出待定系數(shù)法的解題方法。從這五個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)定上，大家不難看出，我們?cè)谘芯恳淮魏瘮?shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的過程也是經(jīng)歷這樣的六個(gè)環(huán)節(jié)，所以用類比的教學(xué)方式是在降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，卻能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，而且程度比較好的學(xué)生可以嘗研究的對(duì)象------函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究的方法-------畫圖象、分析圖象、探究坐標(biāo)變化規(guī)律、歸納函數(shù)性質(zhì)關(guān)注的問題-------圖象的位置、發(fā)展趨勢(shì)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)的增減性……類比進(jìn)行反比例函數(shù)的教學(xué)例如17.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)具體教學(xué)過程如下：S1：通過原點(diǎn)的直線（為將要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)圖象作鋪墊）T：那么反比例函數(shù)的圖象會(huì)是什么形狀呢？我們采用什么辦法畫呢S7：……S8：……再次突出描點(diǎn)左右對(duì)稱取點(diǎn)的思維過程。（問題三）T：你能比較出和的（追問）T結(jié)合你的圖象和列表和之間的不同點(diǎn)？（問題四）T：通過以上的猜想和驗(yàn)證，你能總結(jié)出反比例函數(shù)圖象的位置規(guī)律嗎？這是本課時(shí)的引入部分，教師通過問題串，把反比例函數(shù)圖象的定義、圖象規(guī)律與正比例函數(shù)圖象聯(lián)系在一起，教師的設(shè)計(jì)思路就是采用類比的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生通過類比的數(shù)學(xué)思想，自主的學(xué)習(xí)反比例函數(shù)圖象的定義與T：能否把反比例函數(shù)圖象特征總結(jié)一下？類比正比例函數(shù)圖象的特征：反比例函數(shù)反比例函數(shù)正比例函數(shù)T：你有什么啟發(fā)？你發(fā)現(xiàn)了什么？……顯然是教師采用了類比教學(xué)思路的結(jié)果，開啟了學(xué)生思維的大門，找到了學(xué)習(xí)新知的有效方法與途徑。對(duì)于類比推理的研究最具影響的是波利亞．波利亞在他的著作《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)與猜想》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中，通過對(duì)數(shù)學(xué)史上一些著名猜想的剖析，再現(xiàn)了一些重大發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的淵源及過程，認(rèn)為歸納和類比是兩種最基本的猜測(cè)方法，并以此為據(jù)提出了合情推理的一般模式．認(rèn)為類比就是某種類型的相似性．通過具體的例子論述了合情推理(歸納、類比)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解題方面的作要教合情推理。數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。而數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題。它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面，利用它可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長。函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現(xiàn)著函數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”。函數(shù)圖象就是將變化抽象的函數(shù)“拍照”下來研究的有效工具，函數(shù)教學(xué)離不開函數(shù)圖象的研究。在借助要注意以下幾點(diǎn)原則：（1）讓學(xué)生經(jīng)歷繪制函數(shù)圖象的具體過程。首先，對(duì)于函數(shù)圖象的意義，只有學(xué)生在親身經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線等繪制函數(shù)圖象的具體過程，才能知道函數(shù)圖象的由來，才能了解圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)與自變量值、函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生利用函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)性質(zhì)打好基礎(chǔ)。其次，對(duì)于具體的一次函數(shù)、反比例函關(guān)系，為發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象間的規(guī)律，探索函數(shù)的性質(zhì)做好準(zhǔn)備。（2）切莫急于呈現(xiàn)畫函數(shù)圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數(shù)形狀時(shí)，不能取得點(diǎn)太少，否則學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)點(diǎn)分布的規(guī)律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強(qiáng)調(diào)圖象的簡單畫法，追求方法的“最優(yōu)化”，縮短了學(xué)生知識(shí)探索的經(jīng)歷過程。所以，在教新知識(shí)時(shí)，教師要允許學(xué)生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達(dá)到認(rèn)識(shí)上的最佳狀態(tài)。（3）注意讓學(xué)生體會(huì)研究具體函數(shù)圖象規(guī)律的方法。初中階段一般采用兩種方法研究函數(shù)圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數(shù)法。下面我就具體函數(shù)教學(xué)過程中如何體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想舉例說明：《一次函數(shù)的圖象》教學(xué)設(shè)計(jì)片斷①猜想一次函數(shù)的圖象會(huì)是什么形狀？②驗(yàn)證：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象.④思考：不同的一次函數(shù)，他們圖象的形狀是相同的，但位置卻各不相同，那么一次函數(shù)的圖象的位置與什⑤確定研究方法。通過學(xué)生的觀察、思考、交流以及教師的點(diǎn)撥，學(xué)生最終得出：一次函數(shù)圖象的位置與解老師不好講，學(xué)生不好學(xué)。下面我具體舉一些教學(xué)設(shè)計(jì)給各位老師參考看是如何突破我們教學(xué)中的難點(diǎn)的：在反比例函數(shù)教學(xué)時(shí)，反比例函數(shù)的增減性是個(gè)難點(diǎn)。不僅k的正負(fù)上反比例函數(shù)的增減性和正比例函數(shù)的增減性相反，而且自變量的取值范圍上有斷點(diǎn)。下面我們看看這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)是如何突破難點(diǎn)的？《反比例函數(shù)的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)片斷（1）回顧反比例函數(shù)圖象特征（2）畫出反比例函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象，思考下列問題:（問題一）T：①當(dāng)圖象上的一個(gè)點(diǎn)，沿著第一象限的圖象從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)怎樣變化?這在第一象限內(nèi)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值是怎樣變化的課件演示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及坐標(biāo)的變化）（追問）T：②當(dāng)圖象上的一個(gè)點(diǎn)，沿著第三象限的圖象從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)怎樣變化？這說明在第三象限內(nèi)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值是怎樣變化的課件演示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及坐標(biāo)的變化）（追問）T:③當(dāng)點(diǎn)A（x1,y1）在第一象限圖象上，點(diǎn)B(（追問）T:⑷如何用符號(hào)語言描述呢？（追問）T:⑸你能從解析式出發(fā)給出證明嗎？（問題四）T:（7）畫出反比例函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象，思考下列問題……在上面的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師借助幾何畫板課件，幫助學(xué)生形象直觀的理解了反比例函數(shù)圖象的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)變化過程中的特殊點(diǎn)的，自然的歸納出反比例函數(shù)增減性的性質(zhì)及自變量的取值范圍，并且通過結(jié)合符號(hào)語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學(xué)生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數(shù)的三種表示方法的整體一致性。用函數(shù)來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因?yàn)閷W(xué)生會(huì)覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點(diǎn)也不簡單，比以前的方法復(fù)雜、繁瑣多了，那為什么還要學(xué)習(xí)呢？如果學(xué)生意識(shí)不到所學(xué)數(shù)學(xué)教材安排用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程（組）、不等式，一方面是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的橫縱聯(lián)系，體現(xiàn)函數(shù)在初中的角度上，提高了學(xué)生對(duì)舊認(rèn)識(shí)的深度。在教學(xué)設(shè)計(jì)中要注意以下解集，就是當(dāng)函數(shù)值大于零（或小于零）時(shí)，求對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；求方程組的解，就值相等時(shí)，求對(duì)應(yīng)的自變量和函數(shù)值.解集，可轉(zhuǎn)化為求在x軸上方（或下方）的圖象對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍（或一個(gè)函數(shù)圖象在另一個(gè)函數(shù)圖象的上方或下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量取值范圍）；求方程組的解集，可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。（2）抓住數(shù)與形的轉(zhuǎn)換點(diǎn)理解函數(shù)與方程（組）、不等式的聯(lián)系此數(shù)與形的轉(zhuǎn)換點(diǎn)就是圖象上的點(diǎn)及其坐標(biāo)。教學(xué)中抓住這一轉(zhuǎn)換點(diǎn)，能有效的促進(jìn)對(duì)函數(shù)與方程（組）、不等式《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學(xué)設(shè)計(jì)片斷（一）如何解決下面兩個(gè)問題，并思考這兩個(gè)問題之間有何關(guān)歸納：這兩個(gè)問題實(shí)際上是同一個(gè)問題，問題①可以轉(zhuǎn)化為問題②求解為了促進(jìn)學(xué)生的理解，教師可從以下幾個(gè)方面點(diǎn)撥:生真正理解了函數(shù)與不等式的關(guān)系，更重要的是使學(xué)生真正做到了用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題。（3）使學(xué)生明確學(xué)習(xí)函數(shù)與方程（組）、不等式的意義。有些學(xué)生可能覺得，用函數(shù)的方法求方程（組）與不等式解的方法一點(diǎn)也不簡單，比以前的方法復(fù)雜、繁瑣多了，那為什么還要學(xué)習(xí)呢？如果學(xué)生意識(shí)不到所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值與意義，勢(shì)必影響學(xué)習(xí)效率。因此，在教學(xué)中首先應(yīng)使學(xué)生體會(huì)到以下兩點(diǎn)：①解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數(shù)問題，所以函數(shù)統(tǒng)率著方程、不等式；②從函數(shù)的角度分析問題的研究方法，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)有重要作用。自變量的取值范圍，是解函數(shù)問題的難點(diǎn)和考點(diǎn)。正確求出自變量取值等式或不等式組。這需要學(xué)生掌握函數(shù)的思想，不等式的實(shí)際應(yīng)用，全面考慮取值的實(shí)際意義。容易講的枯燥無趣，最后變成公式化記憶，但學(xué)生總是此題會(huì)，彼題又錯(cuò)，效果往求1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式學(xué)生嘗試做題學(xué)生快速的計(jì)算教師在黑板上列出相關(guān)的值：（問題一）T：x表示三角形這時(shí)下面有個(gè)同學(xué)在悄悄的說，第一個(gè)也不行。這時(shí)，課堂中學(xué)生都在用質(zhì)疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時(shí)教師讓學(xué)生進(jìn)行討論。經(jīng)過一段時(shí)間的（問題四）T：除了這兩個(gè)量還要考慮到什么呢？板書（3）在實(shí)際情境中滿足限制的條件在這里，是第一次求自變量的取值范圍，而學(xué)生對(duì)自變量的取值范圍的求解還沒有形成一種常規(guī)的思路，所變化情況，然后列出底邊與腰長之間的函數(shù)解析式，再給定一個(gè)自變量（學(xué)生學(xué)號(hào)作為腰長）求出相應(yīng)的函數(shù)值，一方面復(fù)習(xí)了函數(shù)的有關(guān)概念——變量、常量、函數(shù)，另一方面也讓學(xué)生學(xué)習(xí)了列簡單問題中的函數(shù)解析式氣呵成的氣勢(shì)。學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的之一就是在復(fù)雜的實(shí)際生活中建立有效的函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識(shí)解決問題。這也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)，因此新教材大力倡導(dǎo)函數(shù)與實(shí)際的對(duì)于學(xué)生來說，實(shí)際應(yīng)用是個(gè)難點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用問題的教學(xué)中注意把握以下（1）切實(shí)體現(xiàn)教材設(shè)計(jì)意圖。教材安排有關(guān)應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題的教學(xué)活動(dòng)，其目的主要有三:①進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的建模能力；②進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合分析問題、解決問題的能力；③使學(xué)生體會(huì)函數(shù)是解決生活實(shí)際問題的有效模型，進(jìn)一步提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。在教學(xué)設(shè)計(jì)中要體現(xiàn)以上意（2）要根據(jù)學(xué)生實(shí)際。對(duì)于學(xué)生而言，函數(shù)已經(jīng)覺得很難，再用函數(shù)解問題要通過有效的設(shè)計(jì)，分步引導(dǎo)，將復(fù)雜問題分解為若干個(gè)簡單問題，步步深入，有易到難的尋分析：本題的難點(diǎn)有三處：難點(diǎn)一是如何讓學(xué)生想到可用函數(shù)解決這類問題；難點(diǎn)二是如何從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中，列出函數(shù)解析式；難點(diǎn)三是如何分析出函數(shù)的最小值；難點(diǎn)四是將數(shù)學(xué)的解還原為實(shí)際問題的解決方案。為②調(diào)運(yùn)費(fèi)用和哪些量有關(guān)？這些量有何關(guān)系？這些量是變量還是常量？（通過這個(gè)問題，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)調(diào)用費(fèi)用是一是和兩個(gè)變量有關(guān)的問題，符合函數(shù)特征，利數(shù)的圖形和性質(zhì)可以確定最小值）④怎樣利用函數(shù)解析式求最小運(yùn)費(fèi)呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，求最小運(yùn)費(fèi)就是求解析式⑤當(dāng)調(diào)運(yùn)費(fèi)用最少時(shí)，其他的調(diào)運(yùn)量多少？請(qǐng)你確定出使運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)用方案.ⅲ函數(shù)的最值可用哪些方法求出？ⅳ在實(shí)際問題中，求自變量的取值范圍有何作用？對(duì)研究其他函數(shù)圖象時(shí)，學(xué)生的自主分析能力的提高也很有好處。初中函數(shù)所考察的題目，大家公認(rèn)二次函數(shù)最難。因此老師在教授這個(gè)函數(shù)時(shí)，也是最賣力，配備了大量的習(xí)題練習(xí)。但是老師教的辛苦，學(xué)生學(xué)得也不輕松，不但要理解那么難的曲線函數(shù)，還要做更難的習(xí)得到的結(jié)論是，“二次函數(shù)太難了，不是所有學(xué)生都能掌握的”。其實(shí)則不然，造成這種局面的原因就是把二次函數(shù)孤立起來，一棵參天大樹高不可攀，是因?yàn)槟阃鼌s了函數(shù)是片森林，二次函數(shù)應(yīng)該根植在“不但二次函數(shù)如此，很多老師每逢講一個(gè)具體函數(shù)，都讓學(xué)生重新經(jīng)歷函數(shù)探索，猜想，設(shè)計(jì)很多環(huán)節(jié)去猜想函數(shù)具備哪些性質(zhì)，學(xué)生卻因這些性質(zhì)之間的相近相似常常混成一團(tuán)，或最終難以正確應(yīng)用。函數(shù)這一章最重要的解題方法就是待定系數(shù)法，學(xué)習(xí)正比例函數(shù)時(shí)就學(xué)習(xí)了，一次函數(shù)再次學(xué)習(xí)，反比例函沒有掌握該解題方法，僅僅是會(huì)求解析式而已。對(duì)于以上的種種問題，我歸納的原因是，教授具體函數(shù)時(shí)，缺乏系統(tǒng)意識(shí)和整體意識(shí)。函數(shù)是一個(gè)整體，各個(gè)具體函數(shù)是函數(shù)的特例，研究方法應(yīng)是相同的，通過類比和數(shù)形結(jié)合的方法，對(duì)比性質(zhì)的差異性，將具體函數(shù)逐步納入到整個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)中去，這也符合教材設(shè)