矢量的基本代數(shù)運算

PAGEPAGE4《微分幾何簡介》筆記Ch.1矢量代數(shù)及其在解析幾何中的簡單應用§1矢量代數(shù)定義：矢量即既有大小，又有方向的量（數(shù)學量、物理量等）。直角坐標系-點的坐標與矢的分量在三維空間中，取任意一點O和任意彼此垂直的三個右旋的（即構成右手系的）單位矢量，，，構成一個直角坐標系（或標架）。用表示；O稱為的原點，，，稱為的基矢(或底矢)。若P為空間任意一點，以O為始點，P為終點的矢量稱為P點在標架里的徑矢。P點在里的坐標，，就是徑矢在里的分量：若P、Q為空間兩點，它們在里的徑矢依次為，則矢量其中就是該矢量在里的分量。各分量均為0的矢量稱為零矢。在同一標架里，兩個矢量相等的充要條件是它們的分量依次相等。矢量的長為若，為單位矢量（幺矢）。，則叫做在里的方向余弦，它們是和間的角之間的余弦。零矢沒有方向余弦。1.2矢量的基本代數(shù)運算現(xiàn)有矢量和，則矢量和：矢量加法按照平行四邊形（或三角形）法則。矢量差：矢量減法同樣按照平行四邊形（或三角形）法則，為加法的逆運算。純量（或數(shù)量）乘矢量：若為純量，則數(shù)積（點乘）：矢量，的數(shù)積是純量其中是，之間的角。矢量，相互垂直的充要條件是它們的數(shù)積等于零。零矢與任意矢量垂直。矢量和單位矢量的數(shù)積等于在的方向的垂直投影。矢積（叉乘）：矢量，的矢積是矢量其中為，不平行時，同時垂直于，的幺矢，且，，按此次序構成右手系。，矢量，相互平行的充要條件是它們的矢積等于零。零矢與任意矢量平行。運算規(guī)律一覽若，，是任意矢量，，是任意純量，則結(jié)合律：交換律：§2坐標變換2.1基矢變換在研究齒輪嚙合運動時，我們通常取三個標架，一個固定在空間，稱為基礎標架，另兩個分別和運動中的兩個齒輪相固連。因此，有必要考察兩個標架或坐標之間的相互關系。設，為任意兩個直角坐標系?？疾旎负椭g的關系，設在坐標系里，標架的基矢為即則是在坐標系里的分量，也是方向余弦，即依次和之間的角的余弦：而在在坐標系里，標架的基矢為或若引進方陣的概念和符號，令，則，互為轉(zhuǎn)置方陣，且，其中I表示三階單位方陣。和都是正常正交方陣表明：從一個坐標系的基矢到另一個坐標系的基矢的變換是具有正常正交方陣的線性變換，稱為正常正交變換。若從到的基矢的變換方陣是，則從到的基矢的變換方陣是。設有三個坐標系，和，若從到的基矢的變換方陣是，從到的基矢的變換方陣是，則從到的基矢的變換方陣為2.2矢量的分量變換設，，是任意矢量在坐標系里的分量，則在坐標系里的分量為或2.3點的坐標變換設任意點P在坐標系里的坐標是，在坐標系里的坐標是，再設O點在里的坐標是，則§3剛體變換剛體是指在運動中，其上任意兩點的距離始終保持不變的物體。通常我們假定齒輪是剛體，齒輪運動是剛體運動。設為基礎標架，為與齒輪相固連的標架，那么，研究齒