第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算（原題版）

第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算【考試要求】理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小稱為向量的．(2)零向量：長(zhǎng)度為的向量，記作．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于長(zhǎng)度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法交換律：a＋b＝；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb①向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．②特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．③若F為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使①若A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在唯一的實(shí)數(shù)，使得存在，使得．1．(多選)下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若a，b都為非零向量，則使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的條件是a與b反向共線D．若a＝b，b＝c，則a＝c2．下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.考點(diǎn)一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等，與方向無(wú)關(guān)D．若a與b是相反向量，則|a|＝|b|【對(duì)點(diǎn)演練1】（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等 B．零向量與任意非零向量平行C．長(zhǎng)度相等方向相反的向量共線 D．方向相反的向量可能相等【對(duì)點(diǎn)演練2】下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上【對(duì)點(diǎn)演練3】判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則；④若，則．其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例2（2023·北京大興·?？既＃┰O(shè)，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【對(duì)點(diǎn)演練1】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等 B．對(duì)于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·廣東揭陽(yáng)·?？级＃┰O(shè)是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1向量加、減法的幾何意義例2(2022·濟(jì)南模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2023，則|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．角度2線性運(yùn)算例3(2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))【對(duì)點(diǎn)演練1】設(shè)為對(duì)角線的交點(diǎn)，為任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bB.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bD.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b【對(duì)點(diǎn)演練3】(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n【對(duì)點(diǎn)演練4】（2023?天津）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為．角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4(2023·大連模擬)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2【對(duì)點(diǎn)演練1】在△ABC中，P是BC上一點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則2λ＋μ＝________.【對(duì)點(diǎn)演練2】在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD為BCeq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.考點(diǎn)三共線定理及其應(yīng)用例5已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【對(duì)點(diǎn)演練3】若a，b是兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三點(diǎn)共線，則k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2【對(duì)點(diǎn)演練4】(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.3 B.4C.5 【對(duì)點(diǎn)演練5】P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2【對(duì)點(diǎn)演練6】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn).設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四與平面向量有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題例6（2023·全國(guó)·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)_________.【對(duì)點(diǎn)演練】五角星是指有五只尖角、并以五條直線畫(huà)成的星星圖形，有許多國(guó)家的國(guó)旗設(shè)計(jì)都包含五角星，如中華人民共和國(guó)國(guó)旗．如圖，在正五角星中，每個(gè)角的角尖為36°，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.例給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上運(yùn)動(dòng)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.1、有下列命題：①單位向量一定相等；②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．A1B2C3D42、化簡(jiǎn)2(a－3b)－3(a＋b)的結(jié)果為()A．a(chǎn)＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a(chǎn)－3b3．設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個(gè)向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為（

）A． B．0或 C．0或1 D．0或36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若，其中λ∈R，則點(diǎn)P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部7．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．48．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4二、多選題9．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向與a，b之一的方向一定相同10、若是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C．與的夾角為 D．11．對(duì)于兩個(gè)向量和，下