二元一次方程組的解法359

二元一次方程組的解法【探究目標(biāo)】目的與要求會(huì)用代入消元法和加減消元法解簡(jiǎn)單的二元一次方程組，并能根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活選用適當(dāng)?shù)慕夥ǎR(shí)與技能通過(guò)探求二元一次方程組的解法，經(jīng)歷把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的過(guò)程，從而初步體會(huì)消元的思想和把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的化歸思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的探索進(jìn)行比較、思考、歸納去選擇較為合理的表示方法．【探究指導(dǎo)】教學(xué)宮殿1．用“代入法”解二元一次方程組（1）用“代入法”解二元一次方程組的基本思路：通過(guò)等量代換，用“代入”的方法消去方程組中的一個(gè)未知數(shù)，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程，求得這個(gè)未知數(shù)的值后，再去求出被消去的未知數(shù)的值．（2）用“代入法”解二元一次方程組的一般步驟（假定方程組中的未知數(shù)是x、y）：1）把一個(gè)方程里的一個(gè)未知數(shù)（例如y），用個(gè)未知數(shù)（例如x）的代數(shù)式表示出，來(lái)如y＝ax＋b；2）將y＝ax＋b代入另一個(gè)方程，消去y，得一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程含有另一；3）解這個(gè)一元一次方程，得x的值；4）把x的值代入y＝ax＋b，求出y的值；xm,yn5）把兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得原方程組的解，用的形式表示．例1解方程組巧選擇其中一個(gè)方程，思路與技將其變形成y＝ax＋b或x＝ay＋b的形式，代入另一個(gè)方程求解．2y解法一由①得＝x3－5③2y5）＋3y＋1＝0將③代入②，得（83－解得＝y(tǒng)125將＝y(tǒng)125代入③，得x＝－47x47y125所以y155x④解法二由①得2155x將④代入②得＋8x3×解得＝x－472＋1＝0將x＝－47代入④，得＝y(tǒng)125x47y125所以x13y解法三由②得8⑤5(13y)2y15將⑤代入①，得8解得＝y(tǒng)125將y＝125代入⑤，得x＝－47x47y125所以y18x解法四由②得3⑥18x5x2(－)15將⑥代入①，得解得＝x－47將x＝－⑥，得y＝125347代入x47y125所以注意：用“代入法”解二元一次方程組，往往總有以上四種解法．然而，解題力求簡(jiǎn)捷，由于以上解法中將①式變形為③式較簡(jiǎn)單，因而解法1較簡(jiǎn)便．（3）用“代入法”解二元一次方程組時(shí)的注意點(diǎn)：1）解方程組時(shí)，必須注意“真正”用到每一個(gè)方程，才可能求出方程組的解．比如，解方程組x27y③由①得227y把③代入①，得2×2－7y＝2整理后，得2＋7y－7y＝2，即2＝2，這是一個(gè)恒等式，把它和原方程組中任何一個(gè)方程合在一起，得：2x－7y24x－5y－220或2222它們都不是二元一次方程組．顯然，由①求得③，把③又代入①是無(wú)意義的，這樣解題實(shí)際上沒(méi)有“真正”地用到方程②，所以不可能求出任何一個(gè)未知數(shù)的值，更不可能求出兩個(gè)方程的公共解．故用“代入法”進(jìn)行消元時(shí)，由兩個(gè)方程中的任何一個(gè)方程得出的關(guān)系式，必須代入另一個(gè)方程，才能消去一個(gè)未知數(shù)，從而求出兩個(gè)方程的公共解．否則，就求不出方程組的解．2）用“代入法”解方程組時(shí)，由哪一個(gè)方程變形代入另一個(gè)方程，要注意技巧．未知數(shù)，在一個(gè)方程中它的系數(shù)是1或－1時(shí)，則，變形為此未知數(shù)等于另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式，往往會(huì)給解題帶來(lái)方便；若方程組的兩個(gè)方程中都沒(méi)有系數(shù)是1或－1的未知數(shù)，就應(yīng)將其中一個(gè)方程變形，并力求使變形后的方程比較簡(jiǎn)單，這樣代入另一個(gè)方程后就比較容易化簡(jiǎn)．若方程組中某個(gè)應(yīng)用移項(xiàng)法比如，解方程組由于方程②中x的系數(shù)是1，將2y移到等號(hào)右邊，可得x＝5－2y③x51,y28.將③代入①，便可達(dá)到消去未知數(shù)x的目的，從而可先求出y的值，最后求出方程組的解又如，解方程組由于兩個(gè)方程中，系數(shù)最簡(jiǎn)單的是2，由①可變形為x2515y③2x5,y1.然后將③代入②，就可先求出y的值，最后求出方程組的解3）要檢驗(yàn)所得結(jié)果是不是原方程組的解，應(yīng)注意把這對(duì)值代入原方程組中的每一個(gè)方程進(jìn)行檢驗(yàn)，這是因?yàn)榉匠探M的解是方程組里各個(gè)方程的公共解，如果只對(duì)其中一個(gè)方程進(jìn)行檢驗(yàn)，就不能保證所得結(jié)果對(duì)另一個(gè)方程也適合，所以一定要對(duì)每個(gè)方程都進(jìn)行檢驗(yàn)．2．用“加減法”解二元一次方程組（1）用“加減法”解二元一次方程組的基本思路：把方程組中的一個(gè)方程或兩個(gè)方程的兩邊分別乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，使其中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后通過(guò)把方程兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未知數(shù)，使解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．（2）用“加減法”解二元一次方程組的一般步驟（假定方程組中的未知數(shù)是x、y）：1）方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；2）把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；3）解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值；4）將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；xm,yn5）把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得原方程組的解，用的形式表示．例2解方程組思路與技巧用加減法解方程組時(shí)，一般選擇系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)消元，本題中先消去x，還是先消去y，其難易程度都差不多．解法一①×3得12x＋9y＝27③④②×2得12x－8y＝10③－④得17y＝17，解得y＝1x3把y＝1代入①，得2x32y1所以解法二①×4得16x＋12y＝36⑤⑥②×3得18x－12y＝15x3⑤＋⑥得34x＝51，解得2x3把2代入①，得y＝1x32y1所以解法三①×3－②×2得17y＝17，即y＝1x3①×4＋②×3得34x＝51，即2x32所以y13xy54x3,723y42x5y.53例3解方程組axbyc,111axbyc2的形式，以便觀思路與技巧首先要把這個(gè)方程組按一定規(guī)律排好，即排列成22察分析先消去哪一個(gè)未知數(shù)好，更重要的是防止計(jì)算錯(cuò)誤．解原方程組可化為x14－56，即①×3＋②，得52x＝13y207－414，即①×5－②×7，得－52y＝26x1413y20726所以，（3）用“加減法”解二元一次方程組時(shí)的注意點(diǎn)：1）兩個(gè)方程中，如果有相同未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，那么只要將兩個(gè)方程的兩邊相加或相減，就可消去一個(gè)未知數(shù)．比如，解方程組在這兩個(gè)方程中，未知數(shù)x的系數(shù)的絕對(duì)值相等，且符號(hào)相同，所以把方程①與②的兩邊分別相減，就可以消去未知數(shù)x，從而得到原方程組的解。2）兩個(gè)方程中，如果某個(gè)相同的未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍，可以在系數(shù)絕對(duì)值小的方程兩邊乘以倍數(shù)，使這個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后再將兩個(gè)方程兩邊分別相加或相減，就可消去這個(gè)未知數(shù)．比如，解方程組在這個(gè)方程組中，方程②y的系數(shù)是方程①y的系數(shù)的2倍，可將①×2后，再與方程②聯(lián)立，消去x4y132未知數(shù)y，從而得到原方程組的解。3）當(dāng)方程組中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時(shí)，一般選擇系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)消元，將兩個(gè)方程分別乘以某個(gè)數(shù)，使該未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等（即得原兩系數(shù)的最小公倍數(shù)，其絕對(duì)值當(dāng)然相等），再加減消元求解．比如，解方程組在這個(gè)方程組中，y的系數(shù)較簡(jiǎn)單，而兩個(gè)方程中y的系數(shù)－2與3的絕對(duì)值的最小公倍數(shù)為6，故2，最后再將兩個(gè)新得的方程相加，可消去未知數(shù)將方程①乘以3，方程②乘以y，從而得到原方程組的解x3y1。【探究活動(dòng)】［提出問(wèn)題］巧解方程組［探究準(zhǔn)備］觀察方程組，發(fā)現(xiàn)字母y的系數(shù)成倍數(shù)］由①得3y＝7x－5關(guān)系，故可直接用3y＝7x－5代入②，消去y．［探究過(guò)程③將③代入②，得－5x＋2（7x－5）＝－6x4解得9x4y17把9代入①，得27x49y1727所以［探究評(píng)析］這種代入法不必將字母的系數(shù)變?yōu)?，而是直接代入