2022年全國中考數(shù)學解直角三角形壓軸題專題復習

2022年全國中考數(shù)學解直角三角形壓軸題專題復習【課標要求】了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角；探索勾股定理及其逆定理，并掌握運用它們解決一些簡單的實際問題；利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)(inA、coA、tanA)；知道30、45、60角的三角函數(shù)值；4．會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應的銳角；5.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，并用相關知識解決一些簡單的實際問題．【課時分布】【知識回顧】1．知識脈絡2．基礎知識勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.即：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么a2+b2=c2．勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形．銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義如圖7-1,在RtAABC中，ZC=90，貝inA=AZ的對邊斜邊二ac,coA=AZ的鄰邊斜邊二be,tanA=AAZZ的對邊的鄰邊二ab?inA、coA、tanA分別叫做銳角上A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角ZA的三角函數(shù)?NA的對邊aNA的鄰邊圖7-1銳角三角函數(shù)的取值范圍0<inA<1，0<coA<1，tanA>0．各銳角三角函數(shù)間的關系inA=co(90A)，coA=in(90A)．特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形①解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.②解直角三角形的依據(jù)角的關系：兩個銳角互余；邊的關系：勾股定理；邊角關系：銳角三角函數(shù)；②解直角三角形的常見類型及一般解法如圖7-2，在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角．如圖7-3,坡面的鉛垂高度(h)和水平寬度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i,即hil二.坡度通常寫成l：m的形式，如i=l：6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a,有hil二二tana.顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.方位角：指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90°角的為方位角．④解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型，要善于把實際問題的數(shù)量關系轉化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據(jù)題目要求的精確度確定答案．3．能力要求例1在RtAABC中，ZC=90°，若inA=513,則coA的值為()A?512B.813C?23D?1213【分析】先畫出圖形，由于coA二ACAB，故只需求得AC,AB的關系，可利用inA=513先求得BC,AB的關系，再利用勾股定理即可求得．【解】選D．【說明】本題主要是要學生了解三角函數(shù)的定義及勾股定理．解決這一類問題必須熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應用,把它們有機地結合起來,因此在復習時要引導學生加強對基礎知識的鞏固．例2如圖7-4,在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,inA=25.求BC的長和tanB的值.【分析】用正弦的定義即可求得BC，而要求tanB則先要用勾股定理求得AC．【解】VinA=BCAB=25,AB=10,ABC=4.VAC?'?tanB二ACBC．【說明】本題是最基本的解直角三角形問題．例3如圖7-5-1是工人將貨物搬運上貨車常用的方法,把一塊木板斜靠在貨車車廂的尾鉛垂線視線視線水平線仰角俯角圖7-2圖7-3圖7-4部,形成一個斜坡,貨物通過斜坡進行搬運．根據(jù)經(jīng)驗,木板與地面的夾角為20（即圖10-5-2中ZACB=20）時最為合適，已知貨車車廂底部到地面的距離AB=1.5m,木板超出車廂部分AD=0.5m,請求出木板CD的長度.（參考數(shù)據(jù)：in20~0.3420,co20~0.9397，精確到0.1m）.【分析】在RtAABC中,利用ZACB的正弦即可求得AC的長，進而可得CD.【解】由題意可知：AB丄BC.在RtAABC中，TinZACB二ABAC，???AC二ABinZACB=1.5in20°=1.50.3420~4.39m.???CD二AC+AD=4.39+0.5=4.89~4.9m.答：木板的長度約為4.9m.【說明】本題考查學生運用數(shù)學知識分析、解決簡單實際問題的能力．本題取材于學生熟悉的生活實際,解決這類題目的難度雖不大,但有利于引導學生關注生活中的數(shù)學,關注身邊的數(shù)學,培養(yǎng)他們從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力,促進學生形成學數(shù)學、用數(shù)學、做數(shù)學的良好意識．例4如圖7-6-1,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米.(i=1BH與水平寬度AH的比)(1)求點B距水平面AE的高度BH；(2)求廣告牌CD的高度.(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.11.4141.732)【分析】顯然在RtAABH中，通過坡度的概念求出BH、AH；在厶ADE解直角三角形求出DE的長，進而可求出EH即BG的長，在RtACBG中，ZCBG=45，則CG=BG，由此可求出CG的長然后根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度．【解】⑴如圖7-6-2，過B作BG丄DE于G，在RtAABF中，*.*i二tanZBAHCD圖7-5-1圖7-5-2圖7-6-圖7-6-2???ZBAH=30.???BH二2AB=5；(2)由⑴得:BH=5,AH?BG=AH+AE.在RtABGC中，???ZCBG=45,???CG二BG.在RtAADE中，VZDAE=60°,AE=15,???DE???CD二CG+GE-DE2.7m.答：宣傳牌CD高約2.7米.【說明】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構建出直角三角形將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．例5如圖7-7-1,為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45°，在樓頂C測得塔頂A的仰角36°52/.已知山高BE為56m,樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE.（參考數(shù)據(jù)：in36°52'~0.60,tan36°52'~0.75）【分析】根據(jù)樓高和山高可求出EF，繼而得出AF，在RtAAFC中表示出CF,在RtAABD中表示出BD，根據(jù)CF=BD可建立方程，解出即可.【解】如圖7-7-2，過點C作CF丄AB于點F.設塔高AE=某，由題意得：EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=（某+29），在RtAAFC中，VZACF=36°52Z，AF=（某+29），???CF二tan3652AF'=290.75某+=某+1163，在RtAABD中，VZADB=45°，AB=某+56，?BD二AB二某+56.'/CF=BD,A某+56=某+1163.解得：某=52.答：該鐵塔的高AE為52米.【說明】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形注意利用方程思想求解，難度一般．圖7-7-1圖7-7-2例6如圖7-8,在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2(單位：km).有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.求點P到海岸線l的距離；小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向.求點C與點B之間的距離.(上述兩小題的結果都保留根號)【分析】(1)過點P作PD丄AB于點D，設PD=某km，先解RtAPBD，用含某的代數(shù)式表示BD，再解RtAPAD，用含某的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD=AB，列出關于某的方程，解方程即可；⑵過點B作BF丄AC于點F,先解RtAABF,得出BF=12AB=1，再解RtABCF，得出BC.【解】(1)如圖7-8-2，過點P作PD丄AB于點D.設PD=某.在RtAPBD中,VZBDP=90°，ZPBD=90°-45°=45°，ABD=PD二某.在RtAPAD中,VZADP=90°，ZPAD=90°-60°=30°，AAD.VBD+AD=AB，A某=2，解得某1,?°?點P到海岸線l的距離為1)km；(2)如圖7-8-2,過點B作BF丄AC于點F.在RtAABF中，???ZAFB=90°,ZBAF=30°,???BF二2AB=1km.在△ABC中，ZC=180°-ZBAC-ZABC=45°.在RtABCF中,VZBFC=90°,ZC=45°,ABCBFkm,?點C與點B．【說明】本題中涉及到方位角的問題,引導學生分析三角形的形狀后,通過作高構造直角三角形是解題的關鍵．這一問題的解決,會讓學生進一步感悟到數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應用．【復習建議】1．復習時,要注意對銳角三角函數(shù)定義的理解,特別是幾個特殊角的三角函數(shù)值必須熟記,適當加強對勾股定理與銳角三角函數(shù)知識的應用．如例1、例2；2．應理解仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念．如例4、例5和例6；3．進幾年蘇州的中考中都以銳角三角函數(shù)的應用問題出現(xiàn)．因此在復習時應緊緊圍繞基本圖7-8-圖7-8-2概念、基本圖形展開，在重點夯實“雙基”的同時，還要重視學生的書寫的規(guī)范，養(yǎng)成良好的解題習慣；4．要注意數(shù)學思想方法的滲透、總結．如在引導學生通過實際問題構建數(shù)學模型，并把不同類型的問題歸納到基本圖形上去解決問題時，要