高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊課件2-7-2拋物線的幾何性質(zhì)

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì).(直觀想象)2.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.歸納、對比四種方程所表示的拋物線的幾何性質(zhì)的異同.(邏輯推理)4.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)等問題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思把拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會形成一個拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡的形狀.這種形狀,使得車燈既能夠發(fā)射出明亮的、照射很遠(yuǎn)的平行光束,又能發(fā)射出較暗的、照射近距離的光線,這也就是汽車的遠(yuǎn)光燈和近光燈.那么它的工作原理是什么?前照燈由燈泡、反射鏡、配光鏡三部分組成知識點(diǎn)撥1.拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)

微思考(1)掌握拋物線的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)抓住“兩點(diǎn)”“兩線”“一率”“一方向”,它們分別指的是什么?提示

“兩點(diǎn)”是指拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn);“兩線”是指拋物線的準(zhǔn)線和對稱軸;“一率”是指離心率1;“一方向”是指拋物線的開口方向.(2)拋物線的性質(zhì)與橢圓和雙曲線性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?提示

拋物線的離心率等于1,它只有一個焦點(diǎn)、一個頂點(diǎn)、一條對稱軸和一條準(zhǔn)線.它沒有中心,通常稱拋物線為無心圓錐曲線,而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.2.拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=1名師點(diǎn)析1.對以上四種位置不同的拋物線和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對比、分析,其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);(2)對稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線與對稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的

;(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為p.其不同點(diǎn):(1)對稱軸為x軸時,方程的右端為±2px,左端為y2;對稱軸為y軸時,方程的右端為±2py,左端為x2;(2)開口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號;開口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號.2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.微練習(xí)以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦)長為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為(

)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y答案

C解析

設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.微判斷(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對稱.(

)(2)拋物線只有一個焦點(diǎn),一條對稱軸,無對稱中心.(

)(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(

)答案

(1)×

(2)√

(3)√微思考怎樣根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷拋物線的對稱軸和開口方向?提示

一次項的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線的對稱軸,一次項系數(shù)的符號決定開口方向.如果y是一次項,負(fù)時向下,正時向上.如果x是一次項,負(fù)時向左,正時向右.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△AOB的面積是(

)p2p2p2 D.p2(1)答案

B解析

因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對稱性知,直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°.(2)如圖所示,F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=4x及圓x2+y2-2x-3=0的實(shí)線部分上運(yùn)動,且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長的取值范圍是(

)A.(4,6) B.[4,6]C.(2,4) D.[2,4](2)答案

A解析

由題意知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y0),B(x2,y0),則|AF|=x1+1.解得x=1,∵B在圖中圓(x-1)2+y2=4的實(shí)線部分上運(yùn)動,∴1<x2<3.∴△FAB的周長為|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3∈(4,6).(3)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),|AB|=2,求拋物線方程.(3)解

由已知,拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上,也可能在負(fù)半軸上.故可設(shè)拋物線方程為y2=ax(a≠0).設(shè)拋物線與圓x2+y2=4的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對稱,∴A與B關(guān)于x軸對稱,反思感悟研究拋物線的幾何性質(zhì)要從三個方面入手(1)開口:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項是x還是y,一次項的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系:頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對稱軸.(3)定值:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離心率恒等于1.變式訓(xùn)練1已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長.解

(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.(2)如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,又焦點(diǎn)F是△OAB的重心,探究二直線與拋物線的關(guān)系例2(1)對于拋物線C:y2=4x,我們稱滿足

<4x0的點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部.若點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線內(nèi)部,則直線l:y0y=2(x+x0)與曲線C(

)A.恰有一個公共點(diǎn)B.恰有2個公共點(diǎn)C.可能有一個公共點(diǎn),也可能有兩個公共點(diǎn)D.沒有公共點(diǎn)(2)已知拋物線方程為y2=2px(p>0),過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=p,求直線AB的方程.(1)答案

D解得k=±2.所以直線AB的方程為2x-y-p=0或2x+y-p=0.反思感悟1.直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時,直線與拋物線相離,無公共點(diǎn).2.求拋物線弦長問題的方法(1)一般弦長公式(2)焦點(diǎn)弦長設(shè)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元,由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可.(3)解決焦點(diǎn)弦問題時,應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率等問題,注意利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求,能避免繁雜的計算.延伸探究若例2(2)條件不變,求弦AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離.(2)已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x.當(dāng)k為何值時,l與C只有一個公共點(diǎn);有兩個公共點(diǎn);沒有公共點(diǎn).(1)答案

B此時直線l平行于x軸.當(dāng)k≠0時,①式是一個一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).(ⅰ)當(dāng)Δ>0,即k<1,且k≠0時,l與C有兩個公共點(diǎn),此時直線l與C相交;(ⅱ)當(dāng)Δ=0,即k=1時,l與C有一個公共點(diǎn),此時直線l與C相切;(ⅲ)當(dāng)Δ<0,即k>1時,l與C沒有公共點(diǎn),此時直線l與C相離.綜上所述,當(dāng)k=1或0時,l與C有一個公共點(diǎn);當(dāng)k<1且k≠0時,l與C有兩個公共點(diǎn);當(dāng)k>1時,l與C沒有公共點(diǎn).探究三與拋物線有關(guān)的最值問題例3(1)拋物線y2=4x上的點(diǎn)P(x,y)到(0,3)的距離與到準(zhǔn)線距離之和的最小值是

.

(2)求拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的最小距離.解析

如圖所示,設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1.過點(diǎn)P作PM⊥l,垂足為M.則|PM|=|PF|.設(shè)Q(0,3),因此當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時,|PF|+|PQ|取得最小值.(2)解

方法一:設(shè)A(t,-t2)為拋物線上的點(diǎn),則點(diǎn)A到直線4x+3y-8=0的距離反思感悟1.求拋物線上一點(diǎn)到定直線的距離的最值,最常見的解題思路:一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元代換,得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式,以計算函數(shù)最值來解決.二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離,代入兩平行線間距離公式可求得.2.建立形與數(shù)的聯(lián)系,提升數(shù)形結(jié)合的能力,有利于優(yōu)化解題的方式與方法.變式訓(xùn)練3已知P為拋物線y=x2上的動點(diǎn),P在x軸上的射影為H,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,6),則|PA|+|PH|的最小值是(

)答案

B解析

化拋物線y=x2為標(biāo)準(zhǔn)形式x2=4y,得它的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為l:y=-1,延長PH交準(zhǔn)線于G,連接PF,根據(jù)拋物線的定義,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,∵|PA|+|PF|≥|AF|,∴當(dāng)且僅當(dāng)P,A,F三點(diǎn)共線時,|PA|+|PF|=|AF|為最小值.素養(yǎng)形成易錯點(diǎn)——因不理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式而致錯案例設(shè)拋物線y=mx2(m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2.錯因分析本題在解答過程中容易出現(xiàn)兩個錯誤:一是不能正確理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,錯誤地將所給方程看成是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到準(zhǔn)線方程為y=-;二是得到準(zhǔn)線方程后,只分析其中的一種情況,而忽略了另一種情況,只得到了一個解.【規(guī)范答題】

故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.當(dāng)堂檢測1.若拋物線x=-my2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則m=(

)答案

D2.已知拋物線y=4x2上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(

)答案

C3.若點(diǎn)P在拋物線y2=x上,點(diǎn)Q在圓M:(x-3)2+y2=1上,則|PQ|的最小值是(

)答案

D4.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個交點(diǎn),若,則|QF|=