概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后答案

第一章事件與概率1.1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及表示下列事件的樣本點(diǎn)集合。(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個口袋中有2個白球、3個黑球、4個紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。解(1)記9個合格品分別為，記不合格為次，則(2正，正9)，(正，正)，，(正，正)，(正，次)，2324292正,正，，正1{(正，正)，(正，正)，，(正，正)，(正，次)，1213191(正，正)，，(正，正)，(正，次)，，(正，正)，(正，次)，(正，次)}34393，(正，次)，，(正，次)}298989A{(正，次)1(2)記2個白球分別為，，23個黑球分別為b，，，bb4個紅球分別1123bbbr為r，，，。rrr則{，，，，，，，，rr}r2123412123134A{，}(ⅱ)B{r，，，rrr}212134(ⅰ)1.2在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示被選學(xué)生是三年級學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動員。(1)敘述ABC的意義。(2)在什么條件下ABCC成立？(3)什么時候關(guān)系式CB是正確的？(4)什么時候AB成立？解(1)事件表示ABC該是三年級男生，但不是運(yùn)動員。(2)ABCC等價于CAB，表示全系運(yùn)動員都有是三年級的男生。(3)當(dāng)全系運(yùn)動員都是三年級學(xué)生時。(4)當(dāng)全系女生都在三年級并且三年級學(xué)生都是女生時`。1.3一個工人生產(chǎn)了n個零件，以事件表示A他生產(chǎn)的第個i零件是合格品i（1in）。用A表示下列事件：i(1)沒有一個零件是不合格品；(2)至少有一個零件是不合格品；(3)僅僅只有一個零件是不合格品；(4)至少有兩個零件是不合格品。nnnnn解(1)A;(2)AA;(3)[A(A)];iiiiji1i1i1i1j1jin(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品”，可表示為AA；iji,j1ij1.4證明下列各式：(1)ABBA;(2)ABBA(3);(AB)CA(BC)(4)(AB)CA(BC)(5)(6)(AB)C(AC)(BC)nnAAiii1i1證明（1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁（1.5）式和(1.6)式的證法。1.5在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率。解樣本點(diǎn)總數(shù)為A87。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?87、11、13中的兩個，或?yàn)?、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件“A所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含A22A1A1236個樣本點(diǎn)。335于是P(A)2369。87141.6有五條線段，長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率。5解樣本點(diǎn)總數(shù)為10。所取三條線段能構(gòu)成一個三角形，這三條線段3必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“3A所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”包含3個樣本點(diǎn)，于是PA()。101.7一個小孩用13個字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機(jī)的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件“13!A恰好組成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!483!2!2!2!個樣本點(diǎn)。所以P(A)13!13!1.8在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于910189個不同位置，當(dāng)它處于和紅“車”同行或同列的9817個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為P(A)17891.9一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上層離開的概率。解每位乘客可在9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所乘客在同一除底層外的以樣本點(diǎn)總數(shù)為97。事件A“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含A7個樣本點(diǎn)，于是9A7P(A)。9971.10某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8”的概率為多大？9944解用A表示“牌照號碼中有數(shù)字8”，顯然P(A)，所以10000109941104P(A)1-P(A)1100001.11任取一個正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的位數(shù)字是末1；(2)該數(shù)的四次方的位數(shù)字是末1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解(1)答案為1。5(2)當(dāng)該數(shù)的位數(shù)是末1、3、7、9之一時，其四次方的末位數(shù)是1，所以答42案為105(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含102個樣本點(diǎn)。用事件A表示“該數(shù)的立方的則該數(shù)的兩位數(shù)字為1和3a的個位數(shù)，要使3a的個位數(shù)是1，必須最后兩位數(shù)字都是1”，最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為a，則該數(shù)的立方的最后a7，因此A所包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，于是。1.12一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到根草的情形。2n解(1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為531531(531)2。用表示A“6根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有531種連接法，而對尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為42(531)(42)，于是P(A)(531)(42)8(531)215(2)2n根草的情形和(1)類似得1.13把個n完全相同的球隨機(jī)地放入N個盒子中（即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進(jìn)入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有個kNnk2球的概率為，0knnkNn1nNn1m盒的概率為，NnmN1mNm1(2)恰好有個Nn1nmj1Nmnj1，(3)指定的個m盒中正好有個j球的概率為m1njNn1n1mN,0jN.解略。1.14某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3分鐘的概率。3PA求概率為()解所5n1P證明ABP與ABC的面積之比大于的1.15在ABC中任取一點(diǎn)，n1概率為。n2解截取CD1nCD，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落入CAB之內(nèi)時ABP與ABC的面1CD2n1ABC有面積CD2P(A)ABC的面積2積之比大于，因此所求概率為nCDn2CD21。n21.16兩艘輪船都要?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)。設(shè)兩船停靠泊位的時間分別為1小時與兩小時，求有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。解分別用表示第一x,y、二艘船到達(dá)泊位的時間。一艘船到達(dá)泊位時必須等待當(dāng)且僅當(dāng)0xy2,0yx1。因此所求概率為1124223222222P(A)1.17在線段(1)x位于之間的概率。x與x0.121242AB上任取三點(diǎn)x,x,x，求：123213(2)Ax,Ax,Ax能構(gòu)成一個三角形的概率。1231113321解(1)P(A)1(2)P(B)3121.18在平面上畫有間隔為的等d距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為（均小于a,b,cd），求三角形與平行線相交的概率。解分別用A,A,A表示三角形的一個頂點(diǎn)與平行線相合，一條邊與平行線123相合，兩條邊與平行線相交，顯然P(A)P(A)0.所求概率為。分別P(A)123用A,A,A,A,A,A表示邊a,b,c，二邊ab,ac,bc與平行線相交，則P(A)abcabacbc3P(A)aP(A)P(A)P(A)P(A)P(A)，P(AAA).顯然，babacbcabacabbcP(A)P(A)P(A)。所以cacbc112(abc)d(abc)P(A)[P(A)P(A)P(A)]2d23abc（用例1.12的結(jié)果）1.19己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)。則事件A“該點(diǎn)命中AB的中點(diǎn)”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20甲、乙兩人從裝有a個白球與b個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機(jī)現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。b個b1解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…表示黑黑白，123a1則樣本空間{，，…，}，并且P({})，ab12b1babb1aP({})abab1，P({})abab1ab2，…，23bb1b(i2)aP({})abab1ab(i2)ab(i1)ib!a(ab)(ab1)aP({})b15甲取勝的概率為P({})+P({})+P({})+…136乙取勝的概率為P({})+P({})+P({})+…241.21設(shè)事件A,B及AB的概率分別為p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)解由P(AB)P(A)P(B)P(AB)得P(AB)P(A)P(B)P(AB)pqrP(AB)P(AAB)P(A)P(AB)rq，P(AB)rpP(AB)P(AB)1P(AB)1r1.22設(shè)A、A為兩個隨機(jī)事件，證明：12(1)P(AA)1P(A)P(A)P(AA);121212(2)1P(A)P(A)P(AA)P(AA)P(A)P(A).12121212P(AA)P(AA)1P(AA)=121212證明(1)1P(A)P(A)P(AA)1212(2)由(1)和P(AA)0得第一個不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分12別得第二、三個不等式。1.23對于任意的隨機(jī)事件、、，證明：ABCP(AB)P(AC)P(BC)P(A)證明P(A)P[A(BC)]P(AB)P(AC)P(ABC)P(AB)P(AC)P(BC)1.24在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報(bào)的有45%，訂乙報(bào)的有35%，訂丙報(bào)的有30%，同時訂甲、乙兩報(bào)的有10%，同時訂甲、丙兩報(bào)的有8%，同時訂乙、丙兩報(bào)的有5%，同時訂三種報(bào)紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報(bào)的；(2)只訂甲、乙兩報(bào)的；(3)只訂一種報(bào)紙的；(4)正好訂兩種報(bào)紙的；(5)至少訂一種報(bào)紙的；(6)不訂任何報(bào)紙的。解事件表示訂甲報(bào)，事件表示訂乙報(bào)，事件表示訂丙報(bào)。BAC(1)P(ABC)P(A(ABAC))=P(A)P(ABAC)=30%(2)P(ABC)P(ABABC)7%(3)P(BAC)P(B)[P(AB)P(BC)P(ABC)]23%P(CAB)P(C)[P(AC)P(BC)P(ABC)]20%P(ABC+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P(ABCACBBCA)P(ABC)P(ACB)P(BCA)14%(5)P(ABC)90%(6)P(ABC)1P(ABC)190%10%1.26某班有個學(xué)生參加口試，考簽共nN張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？N解用表示A“第張考簽沒有被抽到i”，i1,2,,N。要求P(A)。iii1N1，N2n，……，NNn0NnP(A)NP(AA)NP(AA)iij1NNN1NN1n1NnNPA()(1)111Nii1()jNN2(1)21NN22Nnn，……PAA2Ni1iNNinNNN所以PA()(1)i1ii1i11.27從階行列式的一般展開式中任取一項(xiàng)，問這項(xiàng)包含主對角線元素的n概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項(xiàng)略去符號不計(jì)都可表示為naaa，1i2ini12n(iii)中存在使時這一項(xiàng)包含主對角線元素。kik當(dāng)且僅當(dāng)1,2,,n的排列12nk用表示事件Aik“排列中”即第k個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項(xiàng)中。kk則P(A)(n1)!1inP(AA)n!(n2)!(1ijn)，……n!iijNP(A)in(ni)!1nn所以(1)(1)i1i1in!i!i1i1i11.29已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率（假設(shè)一個小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用b,g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}A“有女孩”，表示B“有男孩”，則其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列。表示P(B|A)P(AB)6/86P(A)7/871.30設(shè)M件產(chǎn)品中有m件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設(shè)A表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，表示B“所取產(chǎn)mmMmm2品都是不合格品”，則211P(A)P(B)MM22P(B|A)P(AB)P(B)m1P(A)P(A)2Mm1(2)設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”，表示D“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則mMmMmmMm11112P(C)P(D)MM22P(D|C)P(CD)P(D)2mP(C)P(C)Mm11.31n個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：k1(kn)個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；k(kn)個人摸到的概率。(1)已知前k(2)第解設(shè)表示A“第個人摸到”，ii1,2,,n。i1n(k1)1(1)P(A|AAk)nk11k1n1n211nk1n(2)P(A)P(AAk1A)nn1k1kk為e(0)，而每一個1.32已知一個母雞生k個蛋的概率蛋能孵化成k!小雞的概率為p，證明：一個母雞恰有r個下一代（即小雞）的概率為(p)rep。r!解用表示A“母雞生k個蛋”，表示B“母雞恰有r個下一代”，則kkekP(B)P(A)P(B|A)p(1p)krrk!krrkkkr(p)rr!(p)rr![(1p)]kr(kr)!ee(1p)ekr(p)repr!1.33某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。A“任選一名射手為k級”，k1,2,3,4，表示B解用表示k“任選一名射4P(B)P(A)P(B|A)kk手能進(jìn)入決賽”，則k140.980.770.510.20.645202020201.34在某工廠里有甲、乙、丙三臺機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機(jī)器生產(chǎn)”A1A表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機(jī)器生產(chǎn)”2A表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機(jī)器生產(chǎn)”3B表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式：P(A)P(B|A)25P(A)P(B|A)28P(A|B)1P(A|B)21122696933P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)kkkkk1k1P(A)P(B|A)1669P(A|B)3333P(A)P(B|A)kkk11.35某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺機(jī)床需要修理時，問這臺機(jī)床是車床的概率是多少？9321解則P(A)，P(A)，P(A)，P(A)151515151234P(B|A)，P(B|A)2，P(B|A)3，P(B|A)1177771234由貝時葉斯公式得P(A)P(B|A)91122P(A|B)14P(A)P(B|A)kkk11.36有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是0.3、0.2、0.1、1110.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、、，4312多少？而乘飛機(jī)不會遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是解用表示A“朋友乘火車來”，表示A“朋友乘輪船來”，表示A“朋友123乘汽車來”，表示4A“朋友乘飛機(jī)來”，表示B“朋友遲到了”。則P(A)P(B|A)1P(A|B)11214P(A)P(B|A)kkk11.37證明：若三個事件A、B、C獨(dú)立，則、ABAB及AB都與C獨(dú)立。證明（1）P((AB)C)P(AC)P(BC)P(ABC)=P(AB)P(C)（2）PABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(C)（3）P((AB)C)P((AAB)C)P(ACABC)=P(AB)P(C)1.38試舉例說明由P(ABC)P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)P(A)P(B)一定成立。解設(shè){,,,,}，P({})1，P({})，181564641234515P({})P({})，A{,}，A{,}，64341213P({})21151A{,}則P(A)P(B)P(C)，6464414P(ABC)P({})1P(A)P(B)P(C)164但是P(AB)P({})6411.39設(shè)A,A,,A為n個相互獨(dú)立的事件，且P(A)p(1kn)，求12nkk下列事件的概率：(1)n個事件全不發(fā)生；(2)n個事件中至少發(fā)生一件；(3)n個事件中恰好發(fā)生一件。nn解(1)P(A)P(A)(1p)nkkkk1k1k1nnn(2)P(A)1P(A)1(1p)kkkk1k1k1nnknnnn(3)P[(AAj)](AAj)[p(1p)].kkjk1j1jkk1j1jkk1j1jk1.40已知事件相互獨(dú)立且互不相容，求A,Bmin(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示中小的一個數(shù)）。P(A),P(B)0，另一方面P(A),P(B)中至少有一個等于min(P(A),P(B))0.x,y解一方面P(A)P(B)P(AB)0，即0，所以1.41一個人的血型為O,A,B,AB型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現(xiàn)在任意挑選五個人，求下列事件的概率(1)兩個人為型，其它三個人分別為其它三種血型；O(2)三個人為型，兩個人為型；AO(3)沒有一人為。AB5解(1)從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余O3人中任選一人22人中任選一人為型，共有5為型，共有三種可能，在余下的AB2種可能，另320.460.400.110.130.0168一人為型，順此所求概率為：AB225(2)0.4620.4020.15573(3)(10.03)50.85871.42設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率是多少？又若有一架敵機(jī)入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。A“第k門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)”，k1,2,，表B解用表示k示“擊中飛機(jī)”。則P(A)0.6，k1,2,。k(1)P(AA)1P(AA)10.420.841212lg0.015.026lg0.4n(2)P(AA)1P(Ak)10.4n0.99,n1nk1取n6。至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機(jī)。1.43做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中成功的概率為，求在p成功n次之前已失敗了m次的概率。A“在成功n次之前已失敗了m次”，表示“在前nm1次B解用表示C試驗(yàn)中失敗了m次”，表示“第nm次試驗(yàn)成功”nm1則P(A)P(BC)P(B)P(C)pn1(1p)mpmnm1pn(1p)mm1.45某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴時他在兩盒中n任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時另一盒中還有根火柴（r1rn）的概率。解用表示iA“甲盒中尚余i根火柴”，用表示B“乙盒中尚余j根火柴”，jC,D分別表示“第2nr次在甲盒取”，“第2nr次在乙盒取”，ABC表示0r取了2nr次火柴，且第2nr次是從甲盒中取的，即在前2nr1在甲盒中取2nr11112n1nr了n1，其余在乙盒中取。所以P(ABC)n1220r由對稱性知P(ABC)P(ABD)，所求概率為：r00r2nr112nr1P(ABCABD)2P(ABC)n120rr00r第二章離散型隨機(jī)變量2.1下列給出的是不是某個隨機(jī)變量的分布列？135123(1)(2)0.50.30.20.70.10.1012n12n(3)(4)11111211n112122322323222解（1）是（2）0.70.10.11，所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（3）111112232321123n3,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。411n12n（4）n為自然數(shù)，且，所以它是隨機(jī)變量的分布列。0,2n1k,k1,2,3,4,5，求(1)2.2設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：P(k)15P(1或2);P52))；(3)P(12)。1(2(2121P或2)15155解(1)(1;151(2)(PPP)(1)(2);2251(3)P(12)P(1)P(2).52.3解設(shè)隨機(jī)變量的分布列為2i3。求的值。CP(i)C,i1,2,327，所以。C23138解222C333P(N)與成反比，求的分布列。N22.4隨機(jī)變量只取正整數(shù)，且N，其中常數(shù)待定。由于21，所解根據(jù)題意知P(N)CCCCN26N2N162以，即的分布列為6，取正整數(shù)。NCN)P(2N22.5一個口袋中裝有個白球、個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，mnm直到取出黑球時停止。設(shè)此時取出了個白球，求的分布列。解設(shè)“k”表示前k次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為：k1m(m1)(mk1)(nm),k0,1,,m.P(k)n(n1)(nk)31現(xiàn)在對該批電子管2.6設(shè)某批電子管的合格品率為，不4合格品率為，4進(jìn)行測試，設(shè)第次為首次測到合格品，求的分布列。1k13P(k),k1,2,.44解2.7一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時取出3只球，以表示取出球的取大號碼，求的分布列。k12解P(k),k3,4,5.532.8拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0p1)，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解P(k)qk1ppk1q,k2,3,，其中q1p。2.9兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時為止，如果第一名隊(duì)員投中的概率為0.4,第二名隊(duì)員投中的概率為0.6，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。解設(shè)，表示第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，則P(k)0.6k10.4k10.4+0.6k0.4k10.60.760.24k1,k1,2,；1,2,。P(k)0.6k0.4k10.60.6k0.4k0.40.760.6k0.4k1,k2.10設(shè)隨機(jī)變量服從普哇松分布，且P(1)P(2)，求P(4)。2kPk)e(0)k0,1,2,。由于ee,得2,1解(k!24!e22。240（不合要求）。所以P(4)e2322.11設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時應(yīng)進(jìn)多少件此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.999。設(shè)解為該種商品當(dāng)月銷售數(shù)，x為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，則P(x)0.999。查普哇松分布的數(shù)得x16。值表，2.12如果在時間t（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與t成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2，求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解設(shè)為時間t內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則(t)kP(k)et(0),k0,1,2,k!t2ln5，因而t1時，P(0)e0.2，所以ln5；時，t2P(1)1P(0)P(1)(24ln25)/250.83。2.13一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上（每一頁的印刷符號超過500個）。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。1解在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率p，因而，至少出現(xiàn)三個500錯誤的概率為5005001499500k1499500kkk50021k500500k500500k3k01利用普哇松定理求近似值，取np5001，于是上式右端等于5001e1150.08030121k!2ek02．14某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解設(shè)每箱至少裝個產(chǎn)品，其中有個次品，則要求kx,使100x100xx0.90.03k0.97100xk，kk0利用普哇松分布定理求近似值，取(100x)0.033，于是上式相當(dāng)于3xk0.9e3x5，查普哇松分布數(shù)值表，得。k!k02.15設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為：(,)npm(1p)nmm!(nm!)m0,1,,nn0,1,2,e(0,0p1)P(n,m)求邊際分布列。nnen!解P(n)P(n,m)nm!(nm)!pm(1p)nmn!m0m0nen0,1,2,n!pmen!P(m)P(n,m)m!(nm)!pm(1p)nmm!n0nm(p)mepm0,1,2,。m!2.17在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、、，求(,,)的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。4!解P(m,n,k)，m,n,k0,1,2,3,4mnk4.0.5m0.3n0.2km!n!k!4，；4mm0,1,2,3,4P(m)0.5m0.5m4P(n)0.3n0.7，n0,1,2,3,4；4nn4P(k)0.2k0.8，k0,1,2,3,4。4kk2.18拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求的聯(lián)合分布列(,)及邊際分布列。2.21設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且P(1)P(1)p0，1又P(0)P(0)1p0，定義若為偶數(shù)p，問取什么值0若為奇數(shù)時與獨(dú)立？解P(1)P(0)P(0)P(1)P(1)=(1p)2p2P(0)P(0)P(1)P(0)P(1)2p(1p)而，由1)1,P(1)P(1)得p11,1)p2P(1,1)P(P(21)1P(1)P(，定義，2.22設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且2證明兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。,,(1)PPPP1)P(1)1(1)(1)(證明2P(1)P(1)P(1)P(1)P(1)12(1,P1)P1P(1)P1)(1,1)4因?yàn)?P(1,1)P(1,1)P(1)P1)41P(1,1)P(1,1)P(1)P(1)41P(1,1)P(1,1)P(1)P(1)4所以相互獨(dú)立。同理與相互獨(dú)立。,,,但是P(1,1,1)P(1)P(1)P(1)，因而不相互獨(dú)立。2.23設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，，且只取值1、2、3、4、5、6，證明不1,k2,3,,12。）Pk)服從均勻分（即不可能有(11P(k)p,P(k)q,k1,2,,6證明設(shè)。kk1,k2,3,,12，則(Pk)若111P(2)pq(1)1111P(7)pqpqpq1(2)11162561P(12)pq1(3)1166(pp)q0，于是pp。同理qq。將（2）式減去（1）式，得：6116161因此pqpq1，與（3）式矛盾。1166112.24已知隨機(jī)變量的分布列為0，求2與cos的分223111424布列。23111，P(2)；解分布列為P(2)，P(2)4324111的分布列為P(1)，P(0)，P(1)。42421013，求2的2.25已知離散型隨機(jī)變量的分布列為1111116515305分布列。1P(1)7P(4)111P(9)P解(0),,,53053001013122.26設(shè)離散型隨機(jī)變量與的分布列為：，：，13133288且與相互獨(dú)立，求的分布列。01234解111111624424122.27設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量與分別服從二項(xiàng)分布：b(k;n,p)與b(k;n,p)，求12的分布列。解設(shè)為n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中P(A)p），1為n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗(yàn)中P(A)p），而2與相互獨(dú)立，所以為nn重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，因而12nnP(k)pqnn2k1nn,k0,1,,,。1212kk2.28設(shè)為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為與P(n)P(n)1,n1,2,2n求的分布列。11n1n1n1解P(n)P(k)P(nk)2k2nk2nk1k112.29設(shè)隨機(jī)變量具有分布：P(k),k1,2,3,4,5，求、及2EE5E(2)2。E(12345)3，E215(1222324252)111解，5EE(2)22+4E+4=271,k1,2,，求及。ED2.30設(shè)隨機(jī)變量具有分布：P(k)2kk11k11k1k12解Ek2，E22k2622222kkk1k1k1k1DE2(E)22P[(1)kk]21k,k1,2,，問2k2.31設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：是否有數(shù)學(xué)期望？，因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散，所以沒有數(shù)學(xué)期望。2k11解|(1)k|1k2kkkk1k1k12.32用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中），物品的重1克、2克、…、10克，量以相同的概率為現(xiàn)有三組砝碼：（甲組）1，2，2，5，10（克）（乙組）1，2，3，4，10（克）（丙組）1，1，2，5，10（克）問哪一組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少？3解設(shè)、、分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，12則有物品重量度12345678910111221223311111222331112312234123于是E110(1122122331)1.81E110(1111222331)1.72E1(1123122341)210所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。32.33某個邊長為500米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為：0米的概率是0.49,0.08，10米的概率各是0.16，米的概率各是2030米的概率各是0.05，求場地面積的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)場地面積為，邊長的誤差為米，則S米S(500)2且E02E22(1020.162020.083020.05)186所以ESE(500)2E21000E250000250186(米)22.34對三架儀器進(jìn)行檢驗(yàn)，各儀器發(fā)生故障是獨(dú)立的，且概率分別為、p1p、。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)pp+p+p。12323證令1第i架儀器發(fā)生故障i1,2,30第i架儀器未發(fā)生故障i為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則EP(1)p,i1,2,3，iiiEEEEp+p+p。12123所以32.37如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進(jìn)行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)，101114E。設(shè)為查得的不合格品數(shù)，則的分布列為，因而15ii1515則150150i，所以EE10。ii1i12.38從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望。P(k)nk1,k1,2,,n，解設(shè)為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則n12nk122[(n1)kk2]n。nnEkn1n(n1)于是3k1k122.39把數(shù)字1,2,,n任意在排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。101數(shù)字k出現(xiàn)在第k個位置上則的分布列為：111解設(shè)n0數(shù)字k不在第k個位置上kknn1EkP(n1)，設(shè)匹配數(shù)為，則，因而EE1。于是nkkkk1k12.40設(shè)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，證明：(1)EP(n);n1(2)D2nP(n)E(E1).n1EnP(n)存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而證明(1)由于n0nP(n)EnP(n)P(n)P(i)。n1n1i1i1nii1En2P(n)也絕對收斂，從而(2)D存在，所以級數(shù)2n0DE2EE(E1)n(n1)P(n)E(E1)n1n2iP(n)E(E1)iP(n)E(E1)2n1i1i1ni2nP(n)E(E1).n12.41在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到成功與失敗p均出現(xiàn)時停止，求平均試驗(yàn)次數(shù)。解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗(yàn)次數(shù)為，則P(1)1Pn)pn1qn2,3,(q1p)，(,n1+P(n)=1+(pn1q)P(1)n1利用上題的結(jié)論，En2n2pqp2p111p1qp(1p)2.42從一個裝有個白球、n個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。m如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解略。2.43對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果檢查到第n件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這0批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認(rèn)第n件時0為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次檢查到不合格品的概率都是p，問平均每批要檢查多少件？解略。2.44流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率，p當(dāng)生產(chǎn)出個k不合格品時即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解設(shè)第i1個不合格出現(xiàn)后到第i個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為，iki1,2,,k.又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，則.ii1因獨(dú)立同分布，P(j)qj1p,j1,2,(q1p)，由此得：iijqj1p1pE2p，E2jqp，2j1ip2ij1j11piDE2(E)2。p2iiik(1p)。EEk，DDkkppi2i1i12.46設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且方差存在，則有D()DD(E)2DD(E)2（由此并可得D()DD）D()E2(E)2EE(E)2(E)2證明222EE2E(E)2E(E)2(E)2(E)2222DD(E)2DD(E)2ED(E)D222.47在整數(shù)0到9中先后按下列兩種情況任取兩個數(shù)，記為和：(1)第一個數(shù)取后放回，再取第二個數(shù)；(2)第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù)，求在k(0k9)的條件下的分布列。Pik1解(1)(|)i0,1,,9.101(2)P(i|k)(i0,1,,9,ik),2.49在n次貝努里試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率為，在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)P(k|k)09事件p令1i1,2,,n0在第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)i求在r(0rn)的條件下，(0in)的分布列。2ni1P(0,r)解i1nP(0|r)i1i1P()i2n112nn1qprqn1rqnrnnprqnrrnrr。P(1|r)1i2nnn12.50設(shè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，分12別服從參數(shù)為與的普哇松分12布，試證：nk1nkn)2P(k|1112k1112P(k,n)P(k|n)證明112P(n)12112P(1k)P(nk)2P(n)12由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以1212knk1e1e22nknkP(k|n)k!(nk)!1111()nk21e(12)121212n!i2.51設(shè)，，…，為r個相互獨(dú)立隨機(jī)變量，且(1ir)服從同12r一幾何分布，即有P(k)qpk1,k1,2,,(1ir),其中q1p。試證明在i(,,,)的分布是均勻分布，即2n的條件下，2rr111n1r1rP(n,,n|n，其中nnnn.2r11rr211n)rP(n,,n,n)r證明P(n,,n|11P(1rr111rr21rrP(n,,n)11rrP(n)1r由于，，…，相互獨(dú)立且服從同一幾何分布，所以12n1rP(n)(qpki1)qrpnr。r12r1kkrni11k1,2,ii1,,rqrpnr1n1r1從而P(rn)。n,,n|n111rr21qrpnrr1第三章連續(xù)型隨機(jī)變量F(x)F(x)3.1設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為，試以表示下列概率：；（P(a)P(a)P(a)P(a)（1）；（2）；（3）4）P(a)F(a0)F(a)；解：（1）P(a)F(a0)；（2）P(a)F(a)；（3）=1-P(a)1F(a0)。（4）1F(x)3.2函數(shù)1x是否可以作為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果2（1）x（2）0x，在其它場合適當(dāng)定義；（3）-x0，在其它場合適當(dāng)定義。F(x),解：（1）在（-）內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機(jī)變量的分布函數(shù)；F(x)0，）內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（2）在（F(x),0)F(,0)，若定義、連續(xù)且（3）在（-內(nèi)單調(diào)上升F(x)x0F~(x)1x0~F(x)則可以是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。個隨機(jī)變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為sinx3.3函數(shù)是不是某3[0,][0,][0,]（1）；（2）；（3）。22x[0,]時，sinx0且sinxdx=1，所以sinx可以是某個隨機(jī)變量的解：（1）當(dāng)220分布密度；sinxdx1=2，所以不是隨機(jī)變量的分布密度；sinxx（2）因?yàn)?3（3）當(dāng)x[,]時，sinx0，所以sinx不是隨機(jī)變量的分布密度。2設(shè)隨機(jī)變數(shù)具有對稱的分布密度函數(shù)，即p(x)p(x),證明：對任意的p(x)3.4a0,F(a)1F(a)1ap(x)dx；有（1）20（2）P（a)2F(a)1；P(a)21F(a)（3）。證：（1）F(a)ap(x)dx1p(x)dxa=1p(x)dx1ap(x)dxa=1F(a)10p(x)dxap(x)dx1ap(x)dx；200P(aap(x)dx2ap(x)dx，由（1）知（2）a01-F(a)1ap(x)dx20故上式右端=2F(a)1；P(a)1P(a)1[2F(a)1]2[1F(a)]。（3）3.5設(shè)F(x)與F(x)都是分布函數(shù)，又a0,b0是兩個常數(shù)，且ab1。證明12F(x)aF(x)bF(x)12也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？證：因?yàn)镕(x)與F(x)都是分布函數(shù)，當(dāng)xx時，F(xiàn)(x)F(x)，12121112F(x)F(x)，于是2122F(x)aF(x)bF(x)aF(x)bF(x)F(x)1112112222又limF(x)lim[aF(x)bF(x)]012xxlimF(x)lim[aF(x)bF(x)]ab112xxF(x0)aF(x0)bF(x0)aF(x)bF(x)F(x)1212F(x)所以，也是分布函數(shù)。取ab12，又令0x00x01x0F(x)1F(x)x0x121x1這時0x00x1x1F(x)1x21F(x)F(x)不是顯然，與對應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個或可列個值，故離散型的，而F(x)不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.6設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為1(1x)exx0F(x)0x0求相應(yīng)的密度函數(shù)，并求P(1)。d[1(1x)ex]xex，所以解：相應(yīng)的密度函數(shù)為dxxexx0p(x)0x02e。P(1)F(1)13.7設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為0x0F(x)Ax0x121x1A求常數(shù)及密度函數(shù)。A1解：因?yàn)镕(10)F(1)，所以，密度函數(shù)為2x0x1p(x)0其它F(x)ABarctgxAB，求常數(shù)與及相應(yīng)的密度函3.8隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為數(shù)。解：因?yàn)閘imF(x)AB()02xlimF(x)AB12x所以因而A12,B111F(x)1(1x2)。arctgx,p(x)F(x)23.9已知隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為x0x1p(x)2x1x20其它F(x)（1）求相應(yīng)的分布函數(shù)；P(0.5),P(1.3),P(0.21.2)。（2）求0x00x1ydy1x2x2解：F(x)0(2y)dy2x1x211x21ydyx201x2118P(1.3)1P(1.3)1F(1.3)0.245P(0.5)F(0.5)P(0.21.2)F(1.2)F(0.2)0.66A3.10確定下列函數(shù)中的常數(shù)，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。p(x)Aex；（1）Acosxxp(x)（2）22其它01x2Ax2（3）p(x)Ax2x30其它Aedx2Aexdx2A11A；所以x解：（1）201Acosxdx2A2cosxdx2A1（2），所以A=;2202(3)28296AxdxAxdxA1A2,所以。629123.12在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P,求oP的分布函數(shù)。解：當(dāng)0xR時4x3x34F(x)P(x)()3RR33所以0x0xF(x)()0xRxR3R13.13某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為12x(1x)20x1p(x)0其它若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？P(0.8)112x(1x)2dx0.0272解：0.8P(0.9)112x(1x)2dx0.00370.9因此，若該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從（0，5）上的均勻分布，求方程3.144x24x20有實(shí)根的概率。解：當(dāng)且僅當(dāng)(4)216(2)0（1）或成立時，方程4x24x20有實(shí)根21。不等式（1）的解為：。因此，該方程有實(shí)根的概率pP(2)P(1)P(2)5dx13。552（小時），35（小時）3.17某種電池的壽命服從正態(tài)N(a,2)分布，其中a300(1)求電池壽命在250小時以上的概率；x（2）求，使壽命在ax與ax之間的概率不小于0.9。解：（1）P(250)P(3001.43)35=P(3001.43)(1.43)0.9236；35x300x35=()(x)2()10.9（2）P(axax)P(3535xx353535即x()0.9535所以即x1.6535x57.753.18設(shè)(x)為N(0,1)x0分布的分布函數(shù)，證明當(dāng)時，有1211211x22x2e.1(x)e()xx32x12xe2dy1e2dy2y2y21(x)1證：x12111e2dyxy22x2y2e.=2x1211123x2y2e2dye2()=xx3y4x所以1211211x2x2e.1(x)e2()。2xxx33.21證明：二元函數(shù)1xy0F(x,y)0xy0對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且F(,y)F(x,)0，F(xiàn)(,)0，但是F(x,y)并不是一個分布函數(shù)。x0證：（1）設(shè)，若xy0，由于若xy0，則F(x,y)0。當(dāng)xxy0時，F(xiàn)(xx,y)0；當(dāng)xxy0時，F(xiàn)(xx,y)1。所以F(x,y)F(xx,y)。xxy0，所以F(x,y)F(xx,y)1，F(xiàn)(x,y)xF(x,y)y可見，對非降。同理，對非降。