連續(xù)函數(shù)的算數(shù)運算課件

一、連續(xù)函數(shù)的算數(shù)運算第十節(jié)三、初等函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)第一章四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)*五、一致連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的算數(shù)運算第十節(jié)三、初等函數(shù)的連續(xù)性機動定理2.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算定理1.

在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)定理3.

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,機動目定理4.若函數(shù)則有在點處連續(xù)，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.若函數(shù)則有在點處連續(xù)，機動目錄上頁例1解例2解(P71例1)(P71例2)例1解例2解(P71例1)(P71例2)例3解:(P71例3)法一例3解:(P71例3)法一法二原式說明:若則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束法二原式說明:若則有機動目錄上頁下頁三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)2.連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)(舉例見P72)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)2.連續(xù)函機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.冪指函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.例5解:(P72例5)例5解:(P72例5)例6例6注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理5.（最值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間即:設(shè)則使上一定有最大值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷

(證明略)點,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

(P73定理7)注意:若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.四、閉區(qū)間例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,機動定理6.

由定理5可知有證:設(shè)上有界.定理7.

(零點定理)至少有一點且使機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(證明略)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.(P73定理8)

(P73定理9)

零點.定理6.由定理5可知有證:設(shè)上有界.定理7.(定理8.(介值定理)設(shè)且則對A與B之間的任一數(shù)C,一點證:作輔助函數(shù)則且故由零點定理知,至少有一點使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P73定理10)

定理8.(介值定理)設(shè)且則對A與B之間的任一例7.證明方程一個根.證:顯然又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即在區(qū)間內(nèi)至少有小結(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束(P74例6)例8.

且證明:證:

且故由零點定理知,至少有一點使即使存在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P74例7)

設(shè)作輔助函數(shù)例7.證明方程一個根.證:顯然又故據(jù)零點定理,至內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)1.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明:分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算的結(jié)果連2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4).當(dāng)時,使必存在上有界;在在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最思考與練習(xí)續(xù)?反例

x為有理數(shù)

x為無理數(shù)處處間斷,處處連續(xù).反之是否成立?提示:“反之”不成立.第十節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)續(xù)?反例x為有理數(shù)x為無理數(shù)處處間斷,處則證明至少存在使提示:令則易證2.

設(shè)一點習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P751,2(3),(5),(6);3;8

(P76題9)則證明至少存在使提示:令則