正、余弦定理的應(yīng)用與綜合（第24講）導(dǎo)學(xué)案-教師版

導(dǎo)學(xué)案（內(nèi)部資料，注意保存）高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科（A）導(dǎo)學(xué)案主備班級小組學(xué)生姓名第24講：正、余弦定理的應(yīng)用與綜合2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1.進一步熟悉余弦定理、正弦定理；再次去對于測量距離、高度、角度的問題的鞏固。3.能運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決有關(guān)角度的實際問題。【重點難點】：重點：用正、余弦定理測量距離、高度、角度問題難點：用正、余弦定理測量距離、高度、角度問題【學(xué)習(xí)流程】◎知識點回顧：◎考點探究[2022西南大學(xué)附屬中學(xué)高二上開學(xué)考試]如圖,A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點,在山頂P處測得這三點的俯角分別為α=30°,β=45°,γ=30°.現(xiàn)計劃沿直線AC開通一條穿山隧道DE,經(jīng)測量AD=100m,BE=33m,BC=100m,則PB=m,DE=m.(精確到1m,附:2≈1.414,3≈1.732.)

答案：193240解析由題意,得∠BCP=30°,∠BPC=15°,BC=100,sin15°=sin(45°-30°)=6-24.由BCsin∠BPC=PBsin∠BCP,即100sin

15°=PBsin

30°,得PB=506-24=50(6+2)≈193(m).在△PAB中,因為α=30°,所以A=30°,∠APB=105°.又sin105°=sin(60°+45°)=6+24距離問題的類型及解法(1)類型：①兩點間既不可達也不可視；②兩點間可視但不可達；③兩點都不可達．(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．1.(2023·河北廊坊模擬)如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)()A．39米 B．43米C．49米 D．53米答案D解析在△ACB中，AB＝60米，BC＝60米，∠ABC＝60°，所以AC＝60米，在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos60°＝602＋402－2×60×40×eq\f(1,2)＝2800，所以AD＝20eq\r(7)≈53(米)．如圖所示,為測一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點測得建筑物頂端的仰角分別為30°,45°,且A,B兩點間的距離為60m,則該建筑物的高度為()A.(30+303)m B.(30+153)mC.(15+303)m D.(15+153)m答案：A在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°-30°)=6-24,由正弦定理,得PB=ABsin

30°sin

15°=30(6+2)(m),所以建筑物的高度為PB(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角．(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖．(3)運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用．[2022河北保定高一期末]一艘船航行到點A處時,測得燈塔C與其相距30海里,如圖所示.隨后該船以20海里/時的速度,沿直線向東南方向航行1小時后到達點B,測得燈塔C在其北偏東25°方向,則sin∠ACB=()A.23sin70° B.23sin75° C.3答案：A由題意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20海里,由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,代入數(shù)據(jù)得◎展示提升：1.[2022江西南昌高一下期中]如圖,在離地面hm的熱氣球M上,觀察到山頂C處的仰角為θ,在山腳A處觀察到山頂C處的仰角為60°,且熱氣球M在地面上的射影D在A左側(cè).若A到熱氣球的距離AM=4002m,山的高度BC=600m,∠ACM=45°,則θ=()A.30° B.25° C.20° D.15°答案：D在Rt△ABC中,BC=600m,∠CAB=60°,所以AC=BCsin60°=4003(m).在△MAC中,由正弦定理知ACsin∠AMC=AMsin∠ACM,解得sin∠AMC=32,所以∠AMC=60°或120°.若∠AMC=60°,則∠MAC=75°,∠MAD=45°,所以θ=60°-45°=15°;若∠AMC=120°,則∠MAC=15°,∠MAB=75°,此時D在A右側(cè),不符合題意2.(多選)如圖,某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°,該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后,到達B處,此時測得俯角為45°.已知小車的速度是20km/h,且cos∠AOB=-338,則(A.此山的高PO=3kmB.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最小仰角為30°C.PA=2kmD.小車從A到B的行駛過程中觀測P點的最大仰角的正切值為20答案：BCD由題意可得∠OAP=30°,∠OBP=45°,設(shè)OP=xkm.又OP⊥OA,OP⊥OB,則OA=3xkm,OB=xkm.因為AB=7.5×160×20=52(km),所以cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB=4x2-25423x2=-338,解得x=1,從而PA=2km,故A錯誤,C正確;易知sin∠AOB=378,所以由等面積法可得O到AB的距離h=11120km,所以小車從A到B的行駛過程中,距離O點的距離范圍是[11120,3]3.[2022江蘇揚州高郵高一下期中]如圖,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機的高度為海拔19km,速度為300km/h,飛行員先在A處看到山頂C處的俯角為45°,經(jīng)過2min后,又在B處看到山頂C處的俯角為75°,則山的海拔約為(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù):3≈1.732)()A.4.3km B.5.3km C.6.3km D.13.7km答案：B如圖,過C點作直線AB的垂線,垂足為D.由題意得AB=300×260=10(km),∠ACB=30°,因為ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,所以BC=AB·sin∠BACsin∠ACB=102(km).又sin75°=sin(45°+30°)=6+24,所以CD=BC·sin∠CBD=102◎達標(biāo)檢測1.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距4(3+3)nmile的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距163nmile的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為24nmile/h,則BD=nmile,該救援船到達D點所需的時間為h.答案：831解析由題意可知,在△ADB中,∠DAB=45°,∠DBA=30°,則∠ADB=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得ABsin∠ADB=DBsin∠DAB,即4(3+3)sin105°=DBsin45°.由sin105°=sin(45°+60°)=6+24,代入上式得DB=83nmile.在△BCD中,BC=163,DB=83,∠CBD=60°.由余弦定理得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos60°=(163)22.如圖,某人在塔AB的正東方向上的C處,在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時6km的速度步行1min后到達D處,在點D處望見塔的底端B在東北方向上.已知沿途某人看塔的仰角∠AEB=α,α的最大值為60°.(1)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時,走了幾分鐘?(2)求塔高.解析(1)依題意,知在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=100m,D=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得BC=CDsinDsin∠DBC在Rt△ABE中,tanα=ABBE因為AB為定長,所以當(dāng)BE的長最小時,α取最大值60°,此時BE⊥CD.當(dāng)BE⊥CD時,在Rt△BEC中,EC=BCcos∠BCE=50(3-1)×32=25(3-3)(m)設(shè)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時,走了tmin,則t=EC100(2)由(1),知當(dāng)α取得最大值60°時,BE⊥CD.在Rt△BEC中,BE=BCsin∠B