留數(shù)定理及應(yīng)用

留數(shù)及其應(yīng)用摘要數(shù)定理得知，計(jì)算函數(shù)沿的積分，可歸結(jié)為計(jì)算圍線內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和．而留數(shù)又是該奇點(diǎn)處的羅朗級數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點(diǎn)處羅朗留數(shù)理論是復(fù)積分和復(fù)級數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，利用留數(shù)定理可以把沿閉路的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算孤立點(diǎn)處的留數(shù)．此外，在數(shù)學(xué)分析及實(shí)際問題中，往往一些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時即便可以，計(jì)算也非常復(fù)雜．我們利用留數(shù)定理可以把要求的積分轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分，從而把待求積分轉(zhuǎn)化為留數(shù)計(jì)算．本文首先介紹留數(shù)定義及留數(shù)定理，然后針對具體不同的積分類型有不同的計(jì)算方法以及留數(shù)理論在定積分中的一些應(yīng)用．關(guān)鍵詞留數(shù)定理；留數(shù)計(jì)算；應(yīng)用引言對留數(shù)理論的學(xué)習(xí)不僅是前面知識的延伸，更為對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分的求法提供了一個較為方便的方法．預(yù)備知識孤立奇點(diǎn)1．設(shè)在點(diǎn)的把計(jì)算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算各個孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)的問題，即計(jì)算在每一個孤立奇點(diǎn)處的羅朗展式中負(fù)冪一次項(xiàng)的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同類型，分別建立留數(shù)計(jì)算的一些簡便方法是十分必要的.1.1若為的可去奇點(diǎn)則在某去心鄰域內(nèi)解析，但在點(diǎn)不解析，則稱為的孤立奇點(diǎn).例如，以為孤立奇點(diǎn).以為奇點(diǎn)，但不是孤立奇點(diǎn)，是支點(diǎn).以為奇點(diǎn)（又由，得故不是孤立奇點(diǎn)）2．設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，則在的某去心鄰域內(nèi)，有稱為在點(diǎn)的主要部分，稱為在點(diǎn)的正則部分，當(dāng)主要部分為時，稱為的可去奇點(diǎn)；當(dāng)主要部分為有限項(xiàng)時，設(shè)為稱為的級極點(diǎn)；當(dāng)主要部分為無限項(xiàng)時，稱為本性奇點(diǎn).留數(shù)的概念及留數(shù)定理1.留數(shù)的定義設(shè)函數(shù)以有限點(diǎn)為孤立點(diǎn)，即在點(diǎn)的某個去心鄰域內(nèi)解析，則積分為在點(diǎn)的留數(shù)，記為：．2.留數(shù)定理介紹留數(shù)定理之前，我們先來介紹復(fù)周線的柯西積分定理：設(shè)是由復(fù)周線…所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則．定理1（留數(shù)定理）設(shè)在周線或復(fù)周線所范圍的區(qū)域內(nèi)，除…外解析，在閉域上除…外連續(xù)，則（“大范圍”積分）．（1）證明以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周（…）使這些圓周及內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離，應(yīng)用復(fù)周線的柯西定理得，法則4：.例1求函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)．解有兩個一階極點(diǎn)，于是根據(jù)（6.5）得例2求函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)．解有一個三階極點(diǎn)，故由（6.7）得留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用利用留數(shù)計(jì)算定積分活反常積分沒有普遍的實(shí)用通法，我們只考慮幾種特殊類型的積分．1.形如型的積分這里表示的有理函數(shù)，并且在上連續(xù)，把握此類積分要注意，第一：積分上下限之差為，這樣當(dāng)作定積分時從經(jīng)歷變到，對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)積分正好沿閉曲線繞行一周．第二：被積函數(shù)是以正弦和余弦函數(shù)為自變量。當(dāng)滿足這兩個特點(diǎn)之后，我們可設(shè)，則，，得．例1計(jì)算．解令，則．例2計(jì)算．解，由于分母有兩個根，其中，因此．2.形如型的積分把握此類積分要注意，首先分析其函數(shù)特點(diǎn)，函數(shù)必須滿足一下兩條才能適用。第一：，其中，均為關(guān)于的多項(xiàng)式，且分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高兩次；第二：在半平面上的極點(diǎn)為（＝1，2，3，…，），在實(shí)軸上的極點(diǎn)為（＝1，2，3，…，）則有．例3計(jì)算．解取，孤立點(diǎn)為，其中落在上半平面的為，，故。例4計(jì)算．解由于，且上半平面只有一個極點(diǎn)，因此．3.形如型的積分1)留數(shù)公式定理2（若爾當(dāng)引理）設(shè)函數(shù)沿半徑圓周（）上連續(xù)，且在上一致成立，則．證明，使當(dāng)時，有于是（2）這里利用了以及于是由若爾當(dāng)不等式（）將（2）化為即．2)舉例例5計(jì)算．解不難驗(yàn)證，函數(shù)滿足若爾當(dāng)引理?xiàng)l件．這里，，函數(shù)有兩個一階極點(diǎn)及，于是．4.形如和型積分定理3設(shè)，其中和是互質(zhì)多項(xiàng)式，并且符合條件：（1）的次數(shù)比的次數(shù)高；（2）在實(shí)軸上；（3）．則有（3）特別地，將（3）式分開實(shí)虛部，就可用得到形如及的積分．例6計(jì)算．解利用以及若爾當(dāng)引理，且分母在上半圓只有兩個孤立奇點(diǎn)和，得到．例7計(jì)算（）．解被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，它共有四個一階極點(diǎn)，即（）得（），因?yàn)椋栽谏习朊嬷挥袃蓚€一階極點(diǎn)及，于是，故．小結(jié):正確的運(yùn)用留數(shù)可以有效的解決一些復(fù)雜的定積分問題，留數(shù)定理是學(xué)習(xí)輻角原理的基礎(chǔ)，在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)中有著重要的作用，是復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)理論之一.上面舉例說明了常見的幾種可以用留數(shù)定理計(jì)算的定積分類型，計(jì)算比較簡捷，通過上面幾例，可以看出實(shí)積分中是定積分計(jì)算與利用留數(shù)定理計(jì)算之間既有區(qū)別，也有聯(lián)系．解題時應(yīng)視具體情況而定，有使用實(shí)積分理論計(jì)算很困難甚至無法計(jì)算時，利用留數(shù)定理能收到很好的效果.參考文獻(xiàn)［1］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］高等教育出版社，2004.［2］蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換指導(dǎo)［M］科學(xué)出版社，2004.［3］王玉玉.復(fù)變函數(shù)論全程導(dǎo)