多自由度體系近似計算方法課件

多自由度體系近似計算方法3-1

鄧柯萊(Dunkerly)法鄧柯萊（Dunkerly法）跡法確定系統(tǒng)基頻的估算公式方法特點(diǎn)：簡單實(shí)用定義系統(tǒng)的動力矩陣為n個自由度系統(tǒng)的特征值問題為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題多自由度體系近似計算方法3-1鄧柯萊(Dunkerly)1若將特征值按降序排列系統(tǒng)的基頻為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的特征行列式為動力矩陣的對角線元素由代數(shù)方程理論，多項(xiàng)式根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理若將特征值按降序排列系統(tǒng)的基頻為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的特征行列式為2動力矩陣A的跡若質(zhì)量矩陣M為對角陣，動力矩陣的跡為對角線元素M對角線元素1設(shè)彈性系統(tǒng)只保留第i個質(zhì)量mi

及相應(yīng)的彈簧δii,則系統(tǒng)視為單自由度系統(tǒng)的固有頻率為動力矩陣A的跡若質(zhì)量矩陣M為對角陣，動力矩陣的跡為對角線元素3

鄧柯萊法計算系統(tǒng)的基頻為精確解的下限

只有當(dāng)時，跡法可給出比較準(zhǔn)確的基頻估算值

算例表明，梁結(jié)構(gòu)通常具有以上的特點(diǎn)鄧柯萊法計算系統(tǒng)的基頻為精確解的下限只有當(dāng)時，跡法可4舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與柔度矩陣舉例三自由度梁彎曲的固有頻率與主振型m2mm系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與5舉例均質(zhì)等直梁，試估算梁中央附加集中質(zhì)量M時的基頻MmEJ均質(zhì)簡支梁的基頻記簡支梁的基頻為不計簡支梁質(zhì)量時系統(tǒng)的固有頻率為均質(zhì)梁中央附加集中質(zhì)量M時的基頻M=mDunkerly法Rayleigh法精確解舉例均質(zhì)等直梁，試估算梁中央附加集中質(zhì)量M時的基頻MmEJ均63-2

矩陣迭代法工程中的振動問題的響應(yīng)分析中，系統(tǒng)的低階固有頻率及主振型占有重要地位矩陣迭代法是求解系統(tǒng)低階固有頻率和主振型的一種簡單實(shí)用的方法

第一階固有頻率及主振型向量向量給定一個初始迭代向量x1，由展開定理x1

與Φ(1)不正交3-2矩陣迭代法工程中的振動問題的響應(yīng)分7所占比重增加所占比重減少動力矩陣迭代一次后，擴(kuò)大了第一階主振型在迭代向量中的優(yōu)勢第一階主振型在迭代向量中的優(yōu)勢繼續(xù)擴(kuò)大所占比重增加所占比重減少動力矩陣迭代一次后，擴(kuò)大了第一階主振8隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢越來越大。當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時，可近似地得到迭代后的新向量與原向量個對應(yīng)元素間僅相差一常數(shù)倍λ1

迭代過程中應(yīng)對迭代向量作歸一化處理

迭代過程收斂速度取決于比值趨于零的速度

迭代次數(shù)取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)和試算向量的選取隨著迭代次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢越來越9舉例矩陣迭代法計算系統(tǒng)的基頻及主振型mm2mkk2kx1x2x3系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣系統(tǒng)動力矩陣選取初始迭代向量舉例矩陣迭代法計算系統(tǒng)的基頻及主振型mm2mkk2kx1x210rxr12837.2547.18965557.18465267.18424577.184210系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型rxr12837.2547.18965557.184652611rxr12737.22857247.18972357.18471867.18425377.184214系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型試算向量取系統(tǒng)靜載作用時的靜變形rxr12737.22857247.18972357.18412

較高階固有頻率及主振型采用動力矩陣迭代的過程，總是不斷擴(kuò)大第一階主振型的比重。能否求出第二階以上的系統(tǒng)固有頻率和主振型？對于試算初始向量左乘動力矩陣迭代取不包含有的成分較高階固有頻率及主振型采用動力矩陣迭13由于計算過程中的舍入誤差，x2內(nèi)仍有可能存在的殘余成分

b1盡管很小，但若直接用動力矩陣A繼續(xù)迭代仍然會不斷擴(kuò)大的比重。

必須繼續(xù)剔出它！設(shè)由于計算過程中的舍入誤差，x2內(nèi)仍有可能存在的14于是有只要在迭代計算中用矩陣A1取代A，迭代的結(jié)果會收斂到和且矩陣A1的特征值為λ2，特征向量為而相應(yīng)于的特征值變?yōu)榱阕C明當(dāng)i=1時即于是有只要在迭代計算中用矩陣A1取代A，迭代的結(jié)果會收斂到15從以上的分析，若已知系統(tǒng)的特征值相應(yīng)的特征向量。欲求出第l+1階特征值和特征向量，可構(gòu)造迭代矩陣第l+1階固有頻率和主振型

由于迭代過程中的誤差，因此，矩陣迭代法只適宜求解系統(tǒng)的低階

固有頻率和主振型從以上的分析，若已知系統(tǒng)的特征值相應(yīng)的特征向量。欲求出第l16特征值相等的情形設(shè)初始試算向量經(jīng)r次迭代后取線性組合選取不同的初始迭代向量取線性組合將進(jìn)行正交化處理，即可得到重根的主振型特征值相等的情形設(shè)初始試算向量經(jīng)r次迭代后取線性組合選取17半正定系統(tǒng)的情形K-1不存在，動力矩陣A不存在取一較小的正數(shù)α“動力矩陣”以其為迭代矩陣將得到半正定系統(tǒng)非零特征值所對應(yīng)的主振型以上過程稱為帶移頻的矩陣迭代法半正定系統(tǒng)的情形K-1不存在，動力矩陣A不存在取一較小的正數(shù)18舉例矩陣迭代法計算系統(tǒng)的高階固有頻率及主振型mm2mkk2kx1x2x3求系統(tǒng)第二階固有頻率及主振型舉例矩陣迭代法計算系統(tǒng)的高階固有頻率及主振型mm2mkk2k19設(shè)初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506150.572769160.57277017……系統(tǒng)的第二階固有頻率及主振型設(shè)初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506203-3

瑞利(Rayleigh)法對于運(yùn)動微分方程系統(tǒng)的主振動由機(jī)械能守恒3-3瑞利(Rayleigh)法對于運(yùn)動微分方程系統(tǒng)的主21如果Φ是系統(tǒng)的第j階主振型Φ(j)如果假設(shè)系統(tǒng)的主振動為X是系統(tǒng)的假設(shè)振型稱為瑞利商瑞利商的性質(zhì)

若X就是系統(tǒng)的第j階主振型

若X為任意n維向量如果Φ是系統(tǒng)的第j階主振型Φ(j)如果假設(shè)系統(tǒng)的主振動22

瑞利商對振型選擇不敏感假設(shè)振型X比較接近第r階主振型，由展開定理瑞利商對振型選擇不敏感假設(shè)振型X比較接近第r階23假設(shè)振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利商R(X)與第r階固有頻率的平方相差二階微量瑞利商在系統(tǒng)真實(shí)振型處取駐值（相應(yīng)各階固有頻率的平方）原則上瑞利商可以計算系統(tǒng)的任意階固有頻率實(shí)際上系統(tǒng)的高階主振型很難做出合理假設(shè)工程中，瑞利法用來估算系統(tǒng)的基頻，而不宜計算系統(tǒng)的高階固有頻率；所得結(jié)果為精確解的上限假設(shè)振型X與第r階主振型Ψ(r)相差一階微量瑞利24對于運(yùn)動微分方程系統(tǒng)的主振動由機(jī)械能守恒系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能可表示為外力f所作的功系統(tǒng)作自由振動時，作用于系統(tǒng)的只有慣性力系統(tǒng)位移對于運(yùn)動微分方程系統(tǒng)的主振動由機(jī)械能守恒系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能25瑞利商對應(yīng)于位移方程系統(tǒng)的第r階固有頻率由展開定理，假設(shè)振型瑞利商對應(yīng)于位移方程系統(tǒng)的第r階固有頻率由展開定理，假設(shè)26可以證明記動力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不等式可以證明可以證明記動力矩陣隱含著一次矩陣迭代可以推論由柯西-許瓦茲不27舉例采用瑞利法計算系統(tǒng)的基頻mm2mkk2kx1x2x3設(shè)舉例采用瑞利法計算系統(tǒng)的基頻mm2mkk2kx1x2x3設(shè)28誤差瑞利商設(shè)誤差瑞利商誤差瑞利商設(shè)誤差瑞利商293-4

里茲(Ritz)法對于復(fù)雜工程問題，動力分析需要計算系統(tǒng)的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型Ritz法對Rayleigh法進(jìn)行了修正，以實(shí)現(xiàn)計算低階固有頻率與振型的目的Ritz法是一種減縮系統(tǒng)自由度的近似計算方法Ritz法對系統(tǒng)的近似振型X給出更合理的假設(shè)為選取的k個線性無關(guān)的假設(shè)振型3-4里茲(Ritz)法對于復(fù)雜工程問題30待定常數(shù)向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數(shù)利用瑞利商在真實(shí)主振型處取駐值的性質(zhì)，由極值條件待定常數(shù)向量代入瑞利商瑞利商成為a的函數(shù)利用瑞利商在真實(shí)主振31多自由度體系近似計算方法課件32特征值問題的階數(shù)k<<nRitz法實(shí)際是一種減縮系統(tǒng)自由度數(shù)求解固有振動的近似計算方法Ritz法的基本思想利用k個線性無關(guān)的假設(shè)振型為基底在n維振型空間中構(gòu)成一個k維子空間確定瑞利商在該子空間的k個極值將所得k個極值作為原系統(tǒng)前k階固有頻率平方的近似值特征值問題的階數(shù)k<<nRitz法實(shí)33n自由度系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的前k階主振型證明所得近似主振型關(guān)于M和K具有正交性n自由度系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的前k階主振型證明所得近似主振34Ritz法的一些性質(zhì)

若假設(shè)振型恰好是主振型Ritz法求出的就是系統(tǒng)的前k階固有頻率的精確值Ritz法的一些性質(zhì)若假設(shè)振型恰好是主振型35

若假設(shè)振型線性無關(guān)，且均可表示為系統(tǒng)前k階主振型的線性組合構(gòu)成k維子空間Rk的基底構(gòu)成k維子空間Tk的基底子空間Tk與Rk等同Ritz法仍可求出系統(tǒng)的前k階固有頻率和主振型的精確解若假設(shè)振型線性無關(guān)，且均可表示為系統(tǒng)前k階主振型的線36Ritz法只要選取的假設(shè)振型能夠使子空間Tk接近于子空間Rk，就能求得系統(tǒng)前k階固有頻率和主振型較好的近似解

Ritz法計算的固有頻率與精確解有如下關(guān)系Ritz法一般只能用來估算系統(tǒng)的前幾階固有頻率及主振型難點(diǎn)是k維子空間的任一組基不知道

Ritz法計算的固有頻率中只有前一半的精度較高。實(shí)際計算中若要求系統(tǒng)的前k階固有頻率，假設(shè)的振型數(shù)目應(yīng)取為2k計算精度取決于假設(shè)的近似振型對真實(shí)振型的逼近程度Ritz法只要選取的假設(shè)振型37舉例采用R