北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊 （角平分線）三角形的證明新課件(第2課時(shí))

第一章

三角形的證明角平分線第2課時(shí)

知識回顧角的平分線的性質(zhì)角的平分線的判定

圖形

已知條件

結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB獲取新知思考

分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)例題講解例1

求證：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC，的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PD＝PE＝PF.D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，且PD丄AB，PE丄BC，垂足分別為D，E，∴PD＝PE(角平分線的性質(zhì)).同理，PE＝PF．∴PD＝PE＝PF.∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(角平分線的判定)，

即 ∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.D

E

F

A

B

C

P

N

M

例2

如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線，DE丄AB垂足為E,(1)已知CD＝4cm，求AC的長；(2)求證：AB＝AC＋CD.EDABC解：∵AD是△ABC的角平分線，DC丄AC，DE丄AB垂足為E，∴DE＝CD＝4cm(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，(等邊對等角).∵∠C＝90°，∴∠BDE＝90°－45°＝45°.∴BE＝DE(等角對等邊).在等腰直角三角形BDE中，∴AC＝BC＝CD＋BD＝EDABC(2)證明：由(1)的求解過程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴

AC＝AE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵

BE＝DE＝CD，∴

AB＝AE＋BE＝AC＋CD.隨堂演練1.三角形中,到三邊距離相等的點(diǎn)是 (

)A.三條高線所在直線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C2.已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB.下列確定P點(diǎn)的方法正確的是(

)A．P為∠A與∠B的平分線的交點(diǎn)B．P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn)C．P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)D．P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)B3.如圖，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝______．140°4.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為40，50，60，其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.4:5:65.如圖,BD是∠ABC的平分線,AB=BC,點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別是M,N.求證:PM=PN.證明:∵BD是∠ABC的平分線,∴∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中,∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.∵點(diǎn)P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.6.如圖,直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P1P2P3P4l1l2l3課堂小結(jié)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等應(yīng)用：位置的選擇問題平行四邊形的判定第1課時(shí)

復(fù)習(xí)回顧1．平行四邊形的定義是什么？2．平行四邊形還有哪些性質(zhì)？（看圖用幾何語言表述）

兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.新知探究我們知道了平行四邊形的性質(zhì)，那么，可以用什么方法判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形呢？判定定理1：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(定義判斷法).幾何語言：∵AB∥

，BC∥

，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

AD

CD

新知探究如圖，將兩長兩短的四根小棒，做成一個(gè)四邊形，使等長的小棒成為對邊，拉動這個(gè)四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？你由此得到什么？B新知探究已知：在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：如圖，連接AC，∵AB＝CD，AD＝BC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(

)，

∴∠BAC＝

，∠ACB＝

.

∴AB∥

，AD∥

.

∴四邊形ABCD是平行四邊形(定義).

BC

CD

∠CAD

∠DCA

SSS

判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.幾何語言：∵AB=

，BC=

，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

AD

CD

新知探究新知探究取兩根長度相等的細(xì)木條，你能將她們擺放再一張紙上，使得兩根細(xì)木條的四個(gè)端點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)平行四邊形嗎？由此你得到什么？猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.新知探究已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠DAC＝

.

∵AD＝BC，

，

∴△DAC≌△BCA(SAS).∴AB＝

.∴四邊形ABCD是平行四邊形.

CD

AC＝CA

證明：如圖，連接AC，∵AD∥BC，∠BCA

新知探究判定定理3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

幾何語言：∵AB=

，AB//

，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

CD

CD

小試牛刀1.如圖，E，F(xiàn)分別為?ABCD的邊BC，AD上的點(diǎn)，∠1＝∠2.求證：四邊形AECF是平行四邊形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠EAF，∵∠1＝∠2，∴∠EAF＝∠2，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形.小試牛刀2.如圖，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF.圖中有哪些互相平行的線段?解：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC.∵DE＝CF，DC＝EF，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴DC∥EF，DE∥CF，∴AB∥EF.小試牛刀3.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

小試牛刀4.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

知識運(yùn)用5.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)為對角線AC上兩點(diǎn)，且AE＝CF，DF∥BE.求證：四邊形

ABCD

是平行四邊形.

知識運(yùn)用6.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，將對角線AC向兩端分別延長至點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE＝CF.連接BE，DF，若BE＝DF，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

擴(kuò)展提升7.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動，到D點(diǎn)即停止，點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動，到B點(diǎn)即停止，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為ts.(1)用含t的代數(shù)式表示：AP＝

cm，DP＝

cm，

CQ＝

cm，BQ＝

cm;

(2)t為何值時(shí)，四邊形APQB是平行四邊形?t

(12－t)

2t

(15－2t)

擴(kuò)展