湖南省衡陽市耒陽集賢中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽市耒陽集賢中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線（t為參數(shù)）被曲線所截的弦長為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】Q8：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；J9：直線與圓的位置關(guān)系；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】先把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，并求出圓心到直線的距離d，再利用關(guān)系：l=2即可求出弦長l．【解答】解：直線（t為參數(shù)）化為普通方程：直線3x+4y+1=0．∵曲線，展開為ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，化為普通方程為x2+y2=x﹣y，即，∴圓心C，．圓心C到直線距離d==，∴直線被圓所截的弦長=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】正確運(yùn)用弦長l、圓心到直線的距離、半徑r三者的關(guān)系：l=2是解題的關(guān)鍵．2.已知拋物線在點(diǎn)(2,－1)處與直線相切，則的值為（）A.20 B.9 C.－2 D.2參考答案：C【分析】根據(jù)在處的導(dǎo)數(shù)值為1和點(diǎn)(2,－1)在拋物線上可構(gòu)造方程解得，從而作和得到結(jié)果.【詳解】由題意得：

，解得：又，解得：本題正確選項(xiàng)：C

3.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則p等于（）A. B. C.1 D.0參考答案：B因?yàn)?所以,解得.即等于.故選B.二、填空題4.命題p：“a=﹣2”是命題q：“直線ax+3y﹣1=0與直線6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若“直線ax+3y﹣1=0與直線6x+4y﹣3=0垂直”，則6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要條件，故選：A5.一個(gè)正方體紙盒展開后如右圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：

①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；

③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．其中正確的個(gè)數(shù)為（▲）個(gè)

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B6.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是

（）.

A.

B.

C.

D.

參考答案：C略7.已知直線，直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為（

）A．

B．－

C．2

D．－2參考答案：A略8.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝()A．－

B.C．－

D.參考答案：D略9.已知，且，則的值為（A）

（B）或

（C）

（D）或參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的性質(zhì)【答案解析】C解析：解：因?yàn)?＜＜1，而，得，所以，則選C【思路點(diǎn)撥】熟悉的值與其角θ所在象限的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵.10.在封閉的直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）A．4π B． C．6π D．參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，代入球的體積公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，此時(shí)V的最大值=，故選：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則______。參考答案：

解析：得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不合題意當(dāng)時(shí)，12.的導(dǎo)數(shù)是

參考答案：0略13.《張丘建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作．現(xiàn)傳本有92問,比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算,各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等．某數(shù)學(xué)愛好者根據(jù)書中記載的一個(gè)女子善織的數(shù)學(xué)問題,改編為如下數(shù)學(xué)問題：某女子織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她第一天織了3尺布．若要使所織的布的總尺數(shù)不少于300尺,那么該女子至少需要織多少天？并將該問題用以下的程序框圖來解決,若輸入的T=300,則輸出n的值是___________．參考答案：法1：設(shè)表示該女子第天所織的布的尺數(shù),則數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,所以,,故滿足的最小正整數(shù),即輸出的的值是7．法2：設(shè)表示該女子第天所織的布的尺數(shù),則數(shù)列是以3為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．結(jié)合程序框圖可得,,,,故輸出的的值是7．14.點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，到軸的距離．參考答案：，15.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17項(xiàng)順次成等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是__________．參考答案：316.若⊙與⊙相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是

參考答案：解析：由題知，且，又，所以有，∴。17.如圖，由編號(hào)，，…，，…（且）的圓柱自下而上組成．其中每一個(gè)圓柱的高與其底面圓的直徑相等，且對(duì)于任意兩個(gè)相鄰圓柱，上面圓柱的高是下面圓柱的高的一半．若編號(hào)1的圓柱的高為，則所有圓柱的體積的和為_______________（結(jié)果保留）．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）橢圓C的中心在原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)的焦點(diǎn)的準(zhǔn)線了l與x軸相交于A，|OF1|=2|F1A|.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在軸上，且使MF2為的一條角平分線，則稱點(diǎn)M為橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓C的左特征點(diǎn)；(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，猜測(cè)橢圓的“左特征點(diǎn)”的位置．參考答案：解：（1）由條件知，可設(shè)橢圓方程為

又橢圓方程為

…………4分(2)設(shè)左特征點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線的方程為

由與，消去得

又設(shè)，則

①

②

…………6分

因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，即

③

將與代入③化簡，得

④

再將①②代入④得

即左特征點(diǎn)為

…………10分（3）因?yàn)闄E圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，故猜測(cè)橢圓的左特征點(diǎn)為左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)．…………12分19.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故拋物線C的方程為：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四邊形MPNQ的面積：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)等號(hào)成立）∴四邊形MPNQ的面積的最小值為2．…20.（本小題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）定理：若函數(shù)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且存在，則當(dāng)時(shí)，總有．請(qǐng)根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)是上的凹函數(shù)，判斷與的大?。唬á螅┣笞C：參考答案：解析：（Ⅰ）時(shí)，或．由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以．當(dāng)時(shí)，，

整理，得．由于是正項(xiàng)數(shù)列，∴．∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

從而，當(dāng)時(shí)也滿足．∴（）．

……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．對(duì)于上的凹函數(shù)，有．根據(jù)定理，得．……6分整理，得．令，得． ……8分∴，即．∴．

……10分（Ⅲ）∵，∴

……12分又由（Ⅱ），得．（或）

∴．

……14分21.已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點(diǎn)E．求證：(1)△ABC≌△DCB

(2)DE·DC＝AE·BD．參考答案：證明：(1)∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC。。。。。。。。。。。。。8分∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB∴△ADE∽△CBD

∴DE:BD＝AE:CD，

∴DE·DC＝AE·BD.。。。。。。。10分22.（12分）如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是棱長為2的正方形，側(cè)棱SD=2，SA=2，∠SDC=120°．（Ⅰ）求證：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB與面SDC所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由線面垂直的判定得AD⊥側(cè)面SDC；（Ⅱ）證明∠BSC棱SB與面SDC所成角，即可求棱SB與面SDC所成角的大