拋物線復習題及答案

[例1]給定拋物線，設A（）（），P是拋物線上的一點，且，試求的最小值。解：設（）（）則∴∵，∴（1）當時，，此時當時，（2）當時，，此時當時，[例2]過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，設交拋物線于A、B兩點，求。解：當時，直線AB的方程為由得A（）、B（，）∴當時，直線AB的方程為由得設A（）、B（），則∴[例3]過拋物線的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的傾斜角多大時，以線段MN為直徑的圓通過拋物線的焦點？解：拋物線的準線與對稱軸的交點為（），設直線MN的方程為由得∵直線與拋物線交于M、N兩點∴即，，設M（，），N（），拋物線焦點為F（1，0）∵以線段MN為直徑的圓通過拋物線的焦點∴MF⊥NF∴即又，，且、同號∴解得∴即直線的傾斜角為或時，以線段MN為直徑的圓通過拋物線的焦點。[例4]過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，求的值。解：如圖所示，設A（）、B（），AB的方程為由得∴又∵，∴∴∴又[例5]如圖，已知直線：交拋物線于A、B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使的面積最大，并求這個最大面積。解：由解得A（4，4）、B（1，），知，因此直線AB的方程為設P（）為拋物線AOB這條曲線上一點，為P點到直線AB的距離∵∴∴從而當時，因此，當點P坐標為時，[例6]已知直線與曲線在第一象限有公共點，求的取值范圍。解：如圖，易知拋物線與軸交于A（0，1）、B（0，3）直線恒過C（），由圖象及拋物線的延伸趨勢可知當不小于零且不不小于BC的斜率時滿足題意而，故。[例7]設拋物線的焦點為F，通過點F的直徑交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC//軸，證明：直線AC通過原點O。證法一：由于拋物線的焦點坐標為F（）因此通過點F的直線AB的方程為代入拋物線方程得0設A（）、B（），則∵BC//軸，且點C在準線上∴點C的坐標為故直線OC的斜率為即也是OA的斜率，因此直線AC通過原點O證法二：如圖所示，設軸與拋物線準線的交點為E，過點A作AD⊥，D為垂足則。連結AC，與EF相交于N，則，根據拋物線的幾何性質，得，∴∴點N是線段EF的中點，與拋物線的頂點O重疊∴直線AC通過點O證法三：設A（）、B（），由已知C得直線AC的方程為，把原點的坐標代入，得運用得上面等式恒成立∴直線AC通過點O證法四：設A（）、B（），由已知得C（），∴又∵O是公共點∴A、O、C共線，即AC過點O[例8]假如拋物線上總有有關直線對稱的相異兩點，試求的范圍。措施一：設拋物線上有關對稱的相異兩點坐標為A（）、B（）∵兩點都在拋物線上∴（1）－（2），得∵∴（3）（3）代入（2），得∵，且相異∴∴∴的取值范圍是（）措施二：設拋物線上有關直線對稱的兩點所在直線方程為，代入，得∵，且兩點為相異兩點∴即（1）設兩對稱點為A（）、B（）則，又∵∴，即（2）（2）代入（1），得∴的取值范圍是（）【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一.選擇題：1.等腰直角三角形AOB內接于拋物線，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則的面積是（）A.B.C.D.2.已知點（）在拋物線上，則的最小值是（）A.2B.3C.4D.03.已知A、B是拋物線上兩點，O為坐標原點，若且的垂心恰是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是（）A.B.C.D.4.已知點A（），的焦點是F，P是上的點，為使獲得最小值，P點的坐標是（）A.B.C.D.5.拋物線與直線的一種交點是（1，2），則拋物線的焦點到直線的距離為（）A.B.C.D.6.拋物線的焦點F，點P在拋物線上，若，則P點的坐標為（）A.B.C.或D.7.過拋物線的焦點作直線交拋物線于A（）、B（）兩點，假如，那么（）A.10B.8C.6D.48.過拋物線（）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則的值為（）A.B.C.D.二.填空：1.過拋物線的焦點，傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為。2.拋物線的焦點為F，準線交軸于點R，過拋物線上一點P（4，4）作PQ⊥于點Q，則梯形PQRF的面積是。3.線段AB是拋物線的一條焦點弦，且，則線段AB的中點C到直線的距離是。4.拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，拋物線上點A（）到焦點的距離為5，則拋物線方程為。三.解答題：1.已知拋物線上有三點A（）、B（）、C（）且，若線段AB、BC在軸上射影之長相等，求證：A、B、C三點到焦點的距離順次成等差數列。2.過拋物線的頂點作互相垂直的兩條直線，交拋物線于A、B兩點，求線段AB中點的軌跡方程3.設拋物線的焦點為F，通過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥軸。證明：直線AC通過原點O。

【試題答案】一.1.B2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.C二.1.162.143.4.或或三.1.證明：根據題意，得，即、、成等差數列又由拋物線的定義得，，∵∴、、成等差數列2.解：設線段AB的中點為P（），OA的斜率為，則直線的方程為由得或依題意得A點的坐標為A（，）∵OA⊥OB∴OB的斜率為，直線OB的方程為由得或∴B點的坐標為線段AB的中點P（）滿足即（2）式平方后減去（1）×3，得為所求。3.證明：∵拋物線的焦點為F（）∴通過點F的直線AB的方程可設為代入拋物線方程，得設，則是該方程的兩根∴∵BC//軸，且點C在準線上∴點C的坐標為（）∴直線OC的斜率為即也是直線OA的斜率∴直線AC通過原點O1、通徑是過焦點的弦中最短的弦2、對y^2=2px來說，過焦點的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1*y2=-p^23、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)為定值4、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，過A作AA1垂直于準線于A1，過B作BB1垂直于準線于B1，M為A1B1中點，則AM⊥MB5、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在拋物線的準線上，且BC//x軸，則AC過原