2021-2022學(xué)年廣東省深圳第二高級(jí)中學(xué)、第七高級(jí)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年廣東省深圳第二高級(jí)中學(xué)、第七高級(jí)中學(xué)高二

（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)M（-3,6,2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(3,-6,2)B.(-3,-6,-2)C.(3,6,-2)D.(3,-6,-2)

22

2.（5分）若橢圓“工=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,7）,則p的值為（）

P4

A.5B.4C.3D.2

22

3.（5分）雙曲線」一-二—=1的焦距是（）

m2+124-m2

A.4B.2V2C.8D.與機(jī)有關(guān)

4.(5分)在數(shù)列｛z｝中，m=-L,a=1——（M>1）,則“2020的值為（）

4na.

A.B.5C.1D.以上都不對(duì)

45

5.（5分）若拋物線/=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2“，則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距

離為（）

A.4B.5C.6D.7

6.（5分）中國明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算

法統(tǒng)宗》，這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：“今有白米一百八十石,

令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文就

是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道

甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”請(qǐng)你計(jì)算中應(yīng)該分得（）

A.78石B.76石C.75石D.74石

7.（5分）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線

上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉

線.已知△A3C的頂點(diǎn)A（2,0）,B（1,2）,且AC=BC,則△ABC的歐拉線的方程為

()

A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+l=0D.2x-4y+l=0

22

8.（5分）已知橢圓（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1、尸2,點(diǎn)A是橢圓短軸

的一個(gè)頂點(diǎn)，且85/乃4尸2=3,則橢圓的離心率6=（）

4

A.AB.返C.AD.返

2244

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）已知遞減的等差數(shù)列伍”｝的前〃項(xiàng)和為S”若S7=Su,則（）

A.?io>OB.當(dāng)〃=9時(shí)，的最大

C.517>0D.Si9>0

（多選）10.（5分）已知雙曲線C過點(diǎn)（3,&）且漸近線方程為丫=士返X，則下列結(jié)論

3

正確的是（）

2八

A.C的方程為之__y2=l

3y

B.C的離心率為?

C.曲線y=，2-1經(jīng)過c的一個(gè)焦點(diǎn)

D.直線x-V^y-i=o與C有兩個(gè)公共點(diǎn)

（多選）11.（5分）已知直線/：（a+1）x+ay+a=0（aeR）與圓C：/+/-4x-5=0,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.存在a,使得/的傾斜角為90°

B.存在〃，使得/的傾斜角為135°

C.存在。，使直線/與圓C相離

D.對(duì)任意的a直線/與圓C相交，且。=1時(shí)相交弦最短

（多選）12.（5分）如圖，點(diǎn)E是正方體A8C0-A1BC1D1的棱。Di的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線

段BDi上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線A。與直線GM始終是異面直線

B.存在點(diǎn)M,使得BiM_LAE

C.四面體EMAC的體積為定值

D.當(dāng)DiM=2MB時(shí)，平面EACJ_平面MAC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)等軸雙曲線的離心率為.

14.(5分)若(-1)n*(2n-1),則數(shù)列｛劭｝的前21項(xiàng)和S21=.

15.(5分)將數(shù)列｛〃｝按“第〃組有〃個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：(1),(2,3),(4,5,6),

則第22組中的第一個(gè)數(shù)是.

n2nx

16.(5分)數(shù)列｛“”｝中，m=l,an+an+\=(―),Sn=ai+4a2+4a3+"-+4an,類比課本

n

中推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得5Sn-4an=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛“"｝中，41+42+43=15,且41+2,42+5,<73+13

構(gòu)成等比數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛〃”｝,｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛仍+加｝的前〃項(xiàng)和心.

18.(12分)如圖所示，在三棱柱ABC-Ai8i。中，CCi_L平面ABC,ACLBC,AC=BC

=2,CC1=3,點(diǎn)。，E分別在棱44和棱CC1上，且40=1,CE=2,點(diǎn)M為棱4向

的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面OB1E；

(2)求直線AB與平面D81E所成角的正弦值.

19.(12分)已知點(diǎn)P(1,m)是拋物線C：y2=2px上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|尸網(wǎng)

—2,直線/：y—k(x-1)與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|A8|=8,求人的值.

20.(12分)已知數(shù)列｛“"｝的前〃項(xiàng)和為S”已知破=3歷=3,且當(dāng)心2,"CN*時(shí)，劭+1+2即

-1+3S/Z-1=3S〃.

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

a+1

(2)設(shè)b=--——,求數(shù)列｛加｝的前"項(xiàng)和7k

na1tHan

21.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAmABCD,AD//BC,AO_LCD,且A。

=CD=\,BC=2,PA=\.

(1)求證：ABA.PC；

(2)點(diǎn)M在線段P。上，二面角M-AC-。的余弦值為返，求三棱錐M-ACP體積.

22.(12分)已知橢圓C：9/+/=加2(相＞0),直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與

C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B,線段AB的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(2)若/過點(diǎn)(皿，川)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAP8能否為平行四邊形？

3

若能，求此時(shí)/的斜率；若不能，說明理由.

2021-2022學(xué)年廣東省深圳第二高級(jí)中學(xué)、第七高級(jí)中學(xué)高二

(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)在空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)M(-3,6,2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(3,-6,2)B.(-3,-6,-2)C.(3,6,-2)D.(3,-6,-2)

【分析】直接利用點(diǎn)的對(duì)稱的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：點(diǎn)M(-3,6,2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為N(3,6,-2)；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：點(diǎn)的對(duì)稱，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

22

2.(5分)若橢圓—2-=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,7),則p的值為()

P4

A.5B.4C.3D.2

【分析】由題意得到關(guān)于〃的方程，解方程即可確定p的值.

【解答】解：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

則d=4,h2=p,c2=l,

從而4=p+l,p=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

3.(5分)雙曲線g_的焦距是()

m+124-m

A.4B.2V2C.8D.與機(jī)有關(guān)

【分析】由雙曲線的方程可先根據(jù)公式。2=“2+廿求出c的值，進(jìn)而可求焦距2c

【解答】解：由題意可得，c2=a2+b2=ni2+\2+4-nr=\6

，c=4焦距2c=8

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本結(jié)論:。2=/+/,

屬于基礎(chǔ)試題

4.（5分）在數(shù)列中，a\—-a=1-------<?>1）>則“2020的值為（）

411a^i

A.3B.5C.AD.以上都不對(duì)

45

【分析】求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，然后求解即可.

【解答】解：數(shù)列僅〃｝中，0=-工，a=1一L（〃>1），

411a.

42=1+4=5,?3=1-A=A,a4=1-—=-A,?

5544

所以數(shù)列的周期為3,

4202（）=0673x3+1=41=-A.

4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）若拋物線）?=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2?,則點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距

離為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】求得拋物線的準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義，可得點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)廠的距

離.

【解答】解：拋物線尸=船的準(zhǔn)線方程為x=-1

?.?拋物線f=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2b，則P（3,±273）>

.??P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：4,

點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）中國明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)也頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算

法統(tǒng)宗》，這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書第五卷有問題云：''今有白米一百八十石,

令三人從上及和減率分之，只云甲多丙米三十六石，問：各該若干？”翻譯成現(xiàn)代文就

是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，只知道

甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”請(qǐng)你計(jì)算甲應(yīng)該分得（）

A.78石B.76石C.75石D.74石

【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=^3=二匹=-18,再由

3-12

s_3a+32￡2_x(-18)=180,能求出甲應(yīng)該分得78石.

312

【解答】解：今有百米一百八十石，甲乙丙三個(gè)人來分，他們分得的米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,

只知道甲比丙多分三十六石,

1—~36—-18,

~2~

S3=3al+^4^X（-18）=180,

01N

解得“1=78（石）.

二甲應(yīng)該分得78石.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

7.(5分)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線

上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉

線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(1,2),且AC=8C,則△ABC的歐拉線的方程為

（）

A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+l=0D.2x-4y+l=0

【分析】由三角形的重心、垂心和外心的定義與性質(zhì)，推出△4BC的歐拉線就是線段AB

的中垂線，再求得中垂線的斜率和線段AB的中點(diǎn)，即可得解.

【解答】解：因?yàn)锳C=2C,所以點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，

設(shè)該中垂線為直線I,

取BC的中點(diǎn)。，連接AD,則4。與直線/的交點(diǎn)在直線/上，該交點(diǎn)即為△ABC的重

心，

過點(diǎn)4作AEJ_BC于E,則AE與直線/的交點(diǎn)在直線/上，該交點(diǎn)即為AABC的垂心，

因?yàn)橥庑牡健鰽BC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以外心也在直線/上，

故AABC的歐拉線就是直線I,

由4(2,0),B(1,2),知AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),直線A8的斜率為2二&=-2,

21-2

所以直線/的斜率為工，其方程為y-l=2（x-旦），即2x-4y+l=0.

222

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，兩條直線的垂直關(guān)系，理解三角形的重心、垂心和

外心的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

22

8.（5分）已知橢圓乙J—=l的左、右焦點(diǎn)分別為R、尸2,點(diǎn)A是橢圓短軸

2,2

ab

的一個(gè)頂點(diǎn)，且cosNbiA尸2=3,則橢圓的離心率6=（）

_4_

A.AB.返C.AD.返

2244

【分析】由題意可得|AFi|=|AF2|=a,|FIF2|=2C,在三角形中由余弦定理可得a,c之間

的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.

【解答】解：由題意可得|FIF2|=2C,

人IPF,|2+|PF|2-|F,FJ2

在△尸F(xiàn)lF2中，由余弦定理可得：cosZF\AF2=--------：----J9----7—=

2|PF7FIPF71

a2+a2-4c23

2a24

可得/=8°2,即離心率e=￡>=Y2（0<e<1）,

a4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）已知遞減的等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為品，若S7=Su,則（）

A.4Zio>OB.當(dāng)〃=9時(shí)，S〃最大

C.S17>OD.Si9>0

【分析】由遞減的等差數(shù)列｛加｝的前"項(xiàng)和為S”57=511,列出方程，求出a,=」1d>

12

0,再逐一判斷各選項(xiàng).

【解答】解：???遞減的等差數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，57=5II,

（d<0

?d=iw*%'解得力=多>°，

7X6

7a?+■

2

：.a\o=ai+9d=--lLd+gd=_Ld<0,故A錯(cuò)誤；

22

22

sn=naid=-.IZA+A-旦產(chǎn)&-9)-

222222

...當(dāng)〃=9時(shí)，S”最大，故8正確;

S17=17G+]''；曲d=17X(-號(hào)4)+136d=-8.5d>0,故C正確:

Si9=19m+^H^/=19X(-lLd)+171d=9.5d<0,故。錯(cuò)誤.

22

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.（5分）已知雙曲線C過點(diǎn)（3,'歷）且漸近線方程為丫=土魚"X，則下列結(jié)論

3

正確的是（）

2°

A.C的方程為L(zhǎng)_y2=i

3

B.C的離心率為退

C.曲線y=，2-1經(jīng)過c的一個(gè)焦點(diǎn)

D.直線Xf6y-l=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)

【分析】由雙曲線的漸近線為y=土返X，設(shè)出雙曲線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

3

雙曲線方程判斷A；再求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷8,C；直線與雙曲線的漸近線的關(guān)系

判斷D.

【解答】解：由雙曲線的漸近線方程為y=土亭X，可設(shè)雙曲線方程為看-y2=人，

把點(diǎn)（3,正）代入，得且-2=入，即入=1.

3

2°

雙曲線C的方程為&__丫2=故4正確；

3丫

由。2=3,廿=1,得c=｛a2+b2=2,

...雙曲線C的離心率為3=2返，故B錯(cuò)誤；

V33

Mxx-2=0,得x=2,y=0,曲線y=，2-］過定點(diǎn)⑵。)，故C正確；

雙曲線的漸近線X±J§y=o,直線xrQy-l=0與雙曲線的漸近線平行，直線

x《yT=0與C有1個(gè)公共點(diǎn)故。不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查雙曲線方程的求法，考查雙曲線的簡(jiǎn)單

性質(zhì)，是中檔題

(多選)11.(5分)已知直線/：(a+1)x+ay+a—Q(dz￡R)與圓C：-4x-5=0,則

下列結(jié)論正確的是()

A.存在“，使得/的傾斜角為90°

B.存在“，使得/的傾斜角為135°

C.存在。，使直線/與圓C相離

D.對(duì)任意的a直線/與圓C相交，且”=1時(shí)相交弦最短

【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，根據(jù)傾斜角可判斷直線的位置以及斜率，進(jìn)而可以求出a的值，

而C選項(xiàng)根據(jù)直線與圓相離滿足的條件可求出〃的值是否存在，而。選項(xiàng)，先求出直線

過的定點(diǎn)，可判斷直線與圓的位置，且定點(diǎn)與圓心連線與直線垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短可求出a

的值.

【解答】解：選項(xiàng)A：當(dāng)a=0時(shí)，直線方程為x=0,此時(shí)傾斜角為90°,A正確，

選項(xiàng)5：當(dāng)傾斜角為135。時(shí)，直線斜率為-1,即-空1=-1,解得a為空集，3錯(cuò)誤,

a

選項(xiàng)C：圓。的圓心為C(2,0),半徑r=3,若直線與圓相離，則圓心到直線的距離為

I(a+1)X2+aI>3,

7(a+l)2+a2

整理得：9/+6a+5V0,不等式無解，C錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D：經(jīng)分析直線過定點(diǎn)M(0,-1),此點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒相交，當(dāng)直線

CM與直線/垂直時(shí)，直線CM和直線/的斜率之積等于-1,即：上=-

a2~0

1解得4=1,此時(shí)弦長(zhǎng)最短，。正確，

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及直線傾斜角和直線過定點(diǎn)的問題，考查了

學(xué)生的運(yùn)算能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)12.(5分)如圖，點(diǎn)E是正方體ABCZ)-A出lCI。l的棱。。l的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線

段BDi上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線與直線GM始終是異面直線

B.存在點(diǎn)M,使得BiM_LAE

C.四面體EM4c的體積為定值

D.當(dāng)D\M=2MB時(shí)，平面EACJ_平面MAC

【分析】當(dāng)M為B￡>i的中點(diǎn)時(shí)可知A錯(cuò)誤，證明8￡>1〃平面EAC可知C正確；建立空

間坐標(biāo)系，利用向量判斷8。即可.

【解答】解：(1)當(dāng)M為8功的中點(diǎn)時(shí)，直線A。與直線CM是相交直線，交點(diǎn)為A,

故A錯(cuò)誤；

(2)以。為原點(diǎn)，以D4,DC,為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(l,0,0),E(0,0,A),8(1,1,0),Di(0,0,1),B\

2

(L1,I),

.??瓦=(-1.0,*),(0,0,-1),(-1,-1,1).

(0W入Wl),則Bji=B[0+BM=(-入，-)，入-1),

若8iM_LAE,則方-jj?標(biāo)=0,即入+2?(入-1)=0,解得人=工，

23

.?.當(dāng)M為線段的靠近8的三等分點(diǎn)時(shí)，BiMlAE,故B正確；

(3)連接BO,取B。的中點(diǎn)O,連接E0,則。也是AC的中點(diǎn)，

由中位線定理可知BD\//EO,

〃平面ACE,故VE.A/4C=VMACE=VBACE,故C正確；

(4)VAC±B￡>,AC±DD\fBDCDDi=D,

???4C_L平面BDD\,

J.AC1.0E,ACLOM,故/EOM為二面角E-AC-M的平面角,

當(dāng)￡>1M=2BM時(shí)，M(2,2,A),又。(_1,A,0),

33322

.,?0E-0M=----A_+A=0,：.OE±MO,

12126

故平面EAC_L平面MAC,故￡>正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷與性質(zhì)，可適當(dāng)選用平面向量法解決幾何

問題，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)等軸雙曲線的離心率為

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的定義，可得。=4從而可得離心率.

【解答】解：?.?等軸雙曲線中

,,Va2+b2=

，e=￡=血

a

故答案為：A/5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)若如=(-1)1),則數(shù)列｛〃”｝的前21項(xiàng)和S21=-21.

【分析】直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和組合法的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：由于an—(-1)”?(2〃-1),

則S21=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+—+(-41)=2X10-4=-21.

故答案為：-21.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，組合法的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)將數(shù)列｛〃｝按“第〃組有〃個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：(1),(2,3),(4,5,6),

則第22組中的第一個(gè)數(shù)是232.

【分析】根據(jù)已知可得，第〃組中最后一個(gè)數(shù)即為前”組數(shù)的個(gè)數(shù)和，由此可求得第21

組的最后一個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得第22組中的第3個(gè)數(shù)

【解答】解：由條件，可得第21組的最后一個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5+6+…+21=21(1+21)=

2

231,

所以第22組的第1個(gè)數(shù)為232.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理，等差數(shù)列前"項(xiàng)和公式的應(yīng)用，找到數(shù)字的規(guī)律是解題

的關(guān)鍵，屬于中檔題.

ninx

16.(5分)數(shù)列｛〃"｝中，ai=l,an+an+\=(A),Sn=ai+4a2+4a3+'''+4an,類比課本

4

中推導(dǎo)等比數(shù)列前H項(xiàng)和公式的方法，可求得5sL4%〃=".

【分析】先對(duì)S〃=m+〃2,4+〃3?42+…兩邊同乘以先再相加，求出其和的表達(dá)

式，整理即可求出5sL4%〃的表達(dá)式.

【解答】解：由S〃=a1+a2?4+〃3?42+???+〃〃?4"r①

得4?即=4?a1+。2?42+〃3?4,+…+即一1?4〃-1+an?4〃②

①+②得：5s〃=m+4(m+〃2)+42*(a2+a3)+…+4"

=ai+4X_14-42*(A)2+…+4〃一1?(工)〃一［+4〃?如

444

—1+1+1+…+1+4”,〃"

=n+4"*an.

n,

所以5sn-4an=n,

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，用到了類比法，關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)課本中推導(dǎo)等比數(shù)列

前〃項(xiàng)和公式的方法的理解和掌握.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛?"｝中，41+42+43=15,且ai+2,42+5,43+13

構(gòu)成等比數(shù)列出"｝的前三項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛而+數(shù)｝的前"項(xiàng)和7k.

【分析】(1)通過等數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)求出及=5,等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)求出d=2,然后分

別求出數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)分組求和即可.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為"，

貝!1由已知得，“1+42+43=302=15,

即02=5,

又(5-J+2)(5+4+13)=(4/2+5)2=100,

解得d=2或d=-13(舍去)，

所以41=42-<7=3,

J.an=a\+(〃-1)Xd=2”+1,

又bi=m+2=5,仍=。2+5=10,

'.q=2,二bn=5，2n"L

(2)由(1)知，-"+1+5X2””,

所以乙=n(3+2n+l)+§-5><22.=5><2"+〃2+2”-5.

21-2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合，分組求和，屬于基礎(chǔ)題.

18.(12分)如圖所示，在三棱柱ABC-4181。中，CCi_L平面ABC,ACVBC,AC=BC

=2,CCi=3,點(diǎn)。，E分別在棱A41和棱CC1上，且AO=1,CE=2,點(diǎn)〃為棱

的中點(diǎn).

(1)求證：CiM〃平面。8歸；

(2)求直線A8與平面O81E所成角的正弦值.

A

【分析】(1)只要證明CiM與平面。8小的法向量數(shù)量積為零即可；(2)用向量數(shù)量積

計(jì)算直線與平面成角正弦值.

【解答】(1)證明：建系如圖，C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),Ci(0,0,

3),

Ai(2,0,3),Bi(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3),

彳=(1,1,0),B]D=(2,-2,-2>ED=(2,0，-1)，

令W=(l,-1,2)，

因?yàn)?n=0,EDwn=0>

所以]=(1,-i,2)為平面。BIE的法向量，

因?yàn)?7=°，CiM<t平面DB\E,

所以GM〃平面DBiE.

(2)解:由(1)知族=(-2,2,0),n=(l,-1,2)為平面。BiE的一個(gè)法向量，

設(shè)AS與平面DB\E所成角為0,

所以sin8=|cos<Ig,一場(chǎng)可斗,

|AB|-|n|3

所以直線AB與平面D81E所成角的正弦值為返.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了直線與平面成角問題，屬于中檔題.

19.(12分)已知點(diǎn)P(1,/?)是拋物線C：f=2px上的點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|

=2,直線/：y=k(x-1)與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|A8|=8,求左的值.

【分析】(1)利用已知條件求出p,即可得到拋物線方程.

(2)設(shè)出A8坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可.

【解答】解：(1)拋物線C丁=2*的準(zhǔn)線為上，

2

由|產(chǎn)網(wǎng)=2得：1當(dāng)二2，得〃=2.

所以拋物線的方程為尸=4尤

、nIfy=k(x-l)

(2)設(shè)A(xi,y\),B(A?,”)，由《,

.y=4x

可得F/一(2F+4)R+F=O,△=16Ar+16>0,

.2k2+4

??Xi+X2=T>

k

???直線/經(jīng)過拋物線。的焦點(diǎn)F,

2

k+

|ABI=xt+x2+p=^2^~^~,

k

解得：k=±l,

所以女的值為1或-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基本

知識(shí)的考查，中檔題.

20.(12分)已知數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)和為S,“已知。2=3。1=3,且當(dāng)"N2,"6N*時(shí)，an+\+2an

-]+3S〃-1=3S〃.

(1)證明：數(shù)列｛的+1-0〃｝是等比數(shù)列；

a+1

(2)設(shè)b=——，求數(shù)列｛阮｝的前〃項(xiàng)和7k

nard-lan

【分析】(1)將條件中的遞推式整理為曲+1-加=2?”-2曲一1=2Can-an-i),從而可證

數(shù)列｛“”+1-珈｝是等比數(shù)列；

(2)化簡(jiǎn)數(shù)列｛歷｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和.

【解答】(1)證明：因?yàn)楫?dāng)〃》2,“6N*時(shí),an+\+2ar..i+3Sn-\=3Sn,

所以。"+1+2〃"I=3Sn3S"I=3a?,

所以〃"+1-a”=2a”-2“"-1=2(a”--1),

即Mlan=2,(“22,nSN*),

an-an-l

又。2-m=3-1=2,

所以數(shù)列｛斯+1-板｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;

解：(2)由(1)知，a-=9.9n-1=9n.

an+lanZZN

n-1,

則ajl,a2-ai=2、a3-a2=2M……an-an_1=2

各項(xiàng)相加，可得

12n1：=2，!L

an=l+2+2+-+2-=^^-

所以b=a『l_----__22------=_l-------1——，

11ain-lan(2n+1-l)(2n-l)2n-l2m1-1

故T〃=bi+b2+…+b〃

-_--1-----1----11_1------1-???+---1------1---_----1-------1---

21-122-122-123-12n-l2.1-121-12nH-1

12n+1-l

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的證明以及數(shù)列的求和問題，屬于中檔題.

21.(12分)如圖，在四棱錐P-A8CD中，平面A8C￡>,AD//BC,AD1CD,且

=CO=1,BC=2,PA=\.

(1)求證：AB_LPC；

(2)點(diǎn)M在線段尸。上，二面角AC-。的余弦值為返，求三棱錐M-ACP體積.

【分析】(1)可證△ABC是等腰直角三角形，即AB_LAC,可得以，AB,進(jìn)而48_1_平

面PAC,可證結(jié)論；

(2)過點(diǎn)M作MN_LA￡＞于N,則MN〃m，過點(diǎn)“作MG_LAC于G,連接NG,貝UAC

_LNG,cosNMGN=?,財(cái)/亦G=MN,又AN=J^G=MN,設(shè)MN=x,△MN。是

3

等腰直角三角形，可解得X,從而可求體積.

【解答】(1)證明：；四邊形ABCO是直角梯形，AD=CD=\,BC=2,

:.AC=?ABf(BC-AD)2YD2=如，

...△ABC是等腰直角三角形，BPAB1AC,

平面ABCQ,A8u平面ABC。，J.PALAB,

又抬ClAC=A,PAC,

又PCu平面E4C,：.ABA.PC,

(2)解：過點(diǎn)M作MMLA