2021-2022學年滬教版數(shù)學八年級上學期同步講義 第3講 二次根式的運算 -教師版

第3講二次根式的運算.解析版

教學內(nèi)容

進門測試

二次根式加減法的步驟是什么？

課堂導入

精講精練

模塊一：二次根式的加減法

【知識梳理】

i.二次根式的加法和減法：

先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并(化簡+合并).

【例1】【例題精講】計算：

(1)

而-呼(2)(705-3

【難度】★

【答案】(1)-73;(2)—+473.

34

【解析】(1)原式=56-亞-且=口后；

433

(2)原式傳_3x等生54*6一乎+56=孝+4石.

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

【例2】計算：

(1)-J9〃zH—J16-;(2)J5O(〃—q)+/-----.

34\P-Q

【難度】★

【答案】(1)5y[m；(2)(5+―江卜2(〃一夕).

【解析】(1)—\/9m+—V16m=—x3\/m+—x4\/m=2\[m+2>\[m=5\[m;

3434

(2)，50(p—q)+J-=5J2(7一q)+^-J2(夕一>)=(5+—^―],2(〃一q).

Np-qp-qIP-Q)

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

【例3】計算：

(1)f屈+后7_5'+2屬；(2)1732?+2x^|-x2^.

【難度】★

【答案】(1)^2x2+4x+^V2x；(2)-2xy/2x

【解析】(1)5^=2x2+4xV2x-—?+l^lx=[2x2+4x+—1>/2x；

2xI2)

(2)原式=L4xy/lx+2x-_5x2-2ZIZ-2X41X+X\/2x-5xy/2x=-Ixyflx.

22x

【總結】木題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

【例4】如圖，長方形內(nèi)有兩個正方形，面積分別為4和2,求陰影部分的面積.

(1)4b+yj(a-b)3--a2b(a>0);

【難度】★★

【答案】(1)(2-byla-b；(2)(6+，(3)+\y/a2-b2-

[m-n)-cr

【解析】(1)由題可知：a-h>0,則原式=2&-/?+(〃a=(2-b)Ja-b；

(2)原式=642(m-〃)+—-—d2(m-n)=f6+―-—\J2(ni-n｝；

m-nNIm-n)^

(3)原式=a二工一位d-當N=(二——J——

a+ba-ba~-b\a+ba-ba'-b~J

2/74-1yla2-b2.

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

【例6】先化簡，再求值：［《^+之瓜［-4x#+,36孫］,其中》='|,

y=27.

【難度】★★

【答案】衿

【解析】原式=6A-

=6歷+3而-

4x—I----

y=27時，原式=3----2xJ-x27=—V2.

“I，27V22

【總結】本題主要考查二次根式的化簡求值，注意先化簡再帶值計算.

【例7】設直角三角形的兩條直角邊分別為a,h,斜邊為c,周長為C.

(1)如果a=廊，b=求C;(2)如果〃=3方>=5逐，求C.

【難度】★★

【答案】(1)30后；(2)875+7170.

【解析】(1)因為。=力2+從=,50+288=而i=13夜,

所以。=廊+7^§+13&=5痣+12及+13拒=30日；

(2)gl>9c=Va2+/>2=V45+125=7170,J9fWC=3>/5+575+V170=875+V170.

【總結】本題主要考查二次根式的化簡以及加法運算在幾何圖形中的運用.

【例8】解不等式：2x+&4x-《.

【難度】★★

【答案】x<3后.

12

【解析】由2x+、g>4x-器，得:2X+正>4x-更，E|J-2X>-->/5,所以》<上石.

Y4V923612

【總結】本題主要考查二次根式的運算在解不等式中的運用，注意判斷不等式兩邊所除的數(shù)的

符號.

【例9】己知a+b=—2,ab=\,求由+后的值?

【難度】★★★

【答案】2

【解析】由題意可得：?<o,。<0,則苦+-=-乎+[一乎)=-甯而，

代入a+〃=—2,ab=\9則原式=--V1=2.

1

【總結】本題綜合性較強，主要考查二次根式的化簡以及加法運算，注意判定每一個因式的符

號.

【例10】已知+y2-4x-6y+10=0,求+>(_?^-5尤—]的值.

【難度】★★★

【答案】在+9.

4

【解析】V4x2+y2-4x-6y+10=0,(2A--1)2+(y-3)2=0,即；,x=；,y=3.

*.*原式=2x\[x4-y[xy-x>fx+5^xy=x4x+6y[xy，

?,?代值后，得：=—x+6x/—x3=—+376.

2V2V24

【總結】本題綜合性加強，一方面考查二次根式的化簡求值，另一方面考查幾個非負數(shù)的和為

零的基本模型.

【例11】已知。一匕=2+石，b-c=2-6,求/+從+/的值.

【難度】★★★

【答案】15.

【解析】由題意可得:a-c=(a-b)+(b-c)=4,

2

a2+人2+c-ab—ac—be

g（2+73）2+42+（2-V3）2

=-x30

2

=15

【總結】木題一方面考查二次根式的運算，另一方面考查完全平方公式的變形.

模塊二：二次根式的乘除法

【知識梳理】

1、二次根式的乘法和除法

(1)兩個二次根式相乘，被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變;

(2)兩個二次根式相除，被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

【例題精講】

【例12】計算：

(1)V12x>/32；(2)yfxy-y/4y?

【難度】★

【答案】(1)876；(2)2)，石.

【解析】(1)X^/§^=2行4及=8指；(2)y/xy-x/4y=y[xy-2y[y=2y\/x.

【總結】本題主要考查二次根式的乘法運算，注意法則的準確運用.

【例13】計算.

(1)^1^4-；(2)-/lx-i-yl2y

(3)Jx3y+；(4)+J12"23n.

【難度】★

【答案】(1)3；(2)(3)%回；(4)

2y5v3mn

【解析】(1)鋁;

(2)

(3)

(4)y/Sm2+J12加〃=2m五+21nl31ml=———-.

3mn

【總結】本題主要考查二次根式的除法運算，注意法則的準確運用.

【例14】計算：

(1)；Jxyz。-3-Jxyz;

【難度】★

【答案】(1)xyz4z:(2)；(3)60r2Jl5a；(4)

2x2-2y2

【解析】

3f2_/3_fT_3>/6.76(.2_76

(2)

2V3V2V6232(6j63

【總結】本題主要考查二次根式的乘除運算，注意法則的準確運用.

【例15】計算：

(1)Gxj-a2b3；(2)3&x5而；

(3)Jx(x+y)+——(x>0,y>0);(4)y/a-b+\/a2c-b2c(a>匕>0).

x+y

【難度】★★

【答案】(1)-a2b日;(2)30屈；(3)山；(4)^ca+cb.

yca+cb

【解析】(1)由題意可得：Z?v0,貝lj義J-1>=a--ab\[^b=-crh4-h;

(2)3瘍x5痘=30V^;

(3)屈壽+居=屈壽停=手；

(4)\la-b+42c=>ja-b+Jc(a+b)(a-b)=""+.

丫ca+cb

【例16】計算：

⑴咨展

【難度】★★

【答案】(1)-2a\[a;(2)-6啦.

一、15HOf25__1585_158嚕=一2.；

【解析】⑴一利2為Y奇=-五?法+病=-1?訪

【總結】本題主要考查二次根式的乘除運算，注意法則的準確運用以及符號的準確判定.

【例17]如圖所示，在面積為2a的正方形ABC￡＞中,截得直角三角形ABE的面積為

—a，求BE的長.

3

【難度】★★

【答案】恒.

3

【解析】正方形的邊長為而，則LB?AB=3”，

貝ljBE=

233

【總結】本題主要考查二次根式的運算在幾何圖形中的運用.

其面積為半，求等腰三角形的高.

【例18】已知④和可是等腰三角形的兩條邊,

【難度】★★

嚕；底邊上的高為等.

【答案】腰上的高為:

【解析】由題意可得：等腰三角形的三邊長為屈，M,6,

由上加.〃=叵，解得：h=叵,即腰上的高為畫；

221010

由。血1=絲，解得：〃=華，即底邊上的高為運.

2222

【總結】本題考查的知識點較多，一方面考查二次根式的乘除運算，另外考查了三角形的三邊

關系，另一方面此題沒有說明是哪條邊的高，因此要分類討論.

【例19】解方程：6-2瘋=-2&.

【難度】★★

【解析】由6-2向=-2夜，得：2向=2五+豆，則尸逑建,

2V6

化簡，得：尤=3/+4、.

12

【總結】本題主要考查二次根式的運算在解方程中的運用.

【例20】計算.

【難度】★★★

【答案】（1）y-l：（2）3—27〃；（3）a2--+2+a.

b

【總結】木題主要考查二?:根式的混合運算，注意法則的準確運用.

【例21】計算.

（1）'層￡3《卜得（心°’〃叫；

卮葉尋皿

⑵-.

【難度】★★★

【答案】(1)之曲;(

2)\/m—n.

mn-m

【解析】(1)工叵xpl周一唇

mv2m1tn

n11n/fi312m3

mmV2m3,vnr,

_nIn/2M

=2忙

MVM

nnIn

=肅而比

nnyfnm

m2mm

2

=-^-r\fmn

m

斷-

(?)3~^n.f3np-

2a2jN"2-九

l3m2-3n212a2x/1

~N2a2h

?72—3n2\m-n

3a1------

=---------\Jm-n.

m-n

【總結】本題綜合性較強，主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用以及符號的判

定.

當堂檢測

(2)Jo.5+J32—2^^——J75

【答案】⑴父后⑵?也⑶”.

【解析】（1）3&2舊-舊-g舊事+觸-觸-*布=如;

歷+后一2卜?一行=*+4行一飆一乎一5百=］也一15

(2)

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡再合并.

【難度】★

【答案】（1）-6拉；（2）--V2-1.

4

【解析】（1）^-7115-^7300+J5J-V245=^-|V2-|V3+^-1s/2=-6V2；

（2）（血-2>/6^）-（舊+回+g阮）

QQ1

=2^-1-->/2-5^-4>/2=--V2-1.

44

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡再合并.

【習題3】計算:

+40**；

(1)(2)—xy/9x+6x

3

(3)—\[^a+8〃

2

【難度】★

近+5

【答案】(1)；(2)x4x+7y[xy；(3)2a4a.

2

◎

【解析】(1)-耕沙=?+也一容6瀉+56

|村

(2)冢+6x2xy[x+6yfxy+y[xy-x4x=x4x+l4xy；

a

(3)3\[4a+8ad---a~2=a4a+2a\[a-a\[ci=layfa.

16

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡再合并.

【習題4】計算:

(1)6727x(-273);

【難度】★

【答案】(1)-108；(2)--；(3)VlO；(4)-6V3+—

33

【解析】(1)6A/27X(-273)=18^x(-273)=-108;

+卜舊)=4右+3石)=-g

(2)4亞

(3)(V45->/20)x>/2=(3^-2x/5)x>/2=75xV2=x/i0;

(4)18-s包.

3底3

【總結】主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用以及符號的判定.

【習題5】計算：

(1)(3/?G+a?)-(J4ab+ab>Jb);

(2)3x機+y由一+夜3

弁+26.

(3)a2\/Sa+面

【難度】★★

5)J2a+.

【答案】(1){a+b-ab)4b；(2)(4-x+y\[xy;(3)|2a2+5a—

【解析】(I)=3by[b+a\/h-2h\[ab-ab\[b=(3Z>+a-ab)\fb-2b\[ab；

(2)3x^+y+=3y[xy+y/xy-Xy/xy+yy/xy=(4-x+y)y[xy；

(3)原式=2/\/^+Sa-Jla--2^^+2>fa=(2/+5a-^\/2a+2x/a.

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡再合并，另外只有同類二次根式才能

合并.

【習題6】計算：

(1)QG-3&y；(2)亞)+#；

⑶小信2后+患;(4)(#)xf)一向河

【難度】★★

【答案】(1)30-1276；(2)"2;(3)--V3.

33

【解析】⑴(28-3&『=12+18-12后=30-12#；

(2)(布-血b#=布+指-&+后=1-日；

(3)原式二而x姬一2x3"2.旦會/石，石；

56233333

(4)=—x6\/6x—x3—\[2x3——=12-76--76=11\/6.

8813

【總結】主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用以及符號的判定.

(2)6松學.3

(4)(7五-6)(6+26).

【難度】★★

【答案】(1)工；(2)108x2y；(3)-：(4)7x+13向-2y.

36x3

【解析】(I)5的+=5X^^XL—=；

V666xyJ6x36x

(2)6j3/C.3^1^1=18卜2y3.1Z￡=18?6fy=108x2y；

5

\/3a=—\j3ci—>J3a+2y13cl■i-yfia=-\/3a4-V3a(4)

33

(J\[x-4)(4+A/?)=7x+147^-yfxy-2y=7x+l3y[xy-2y.

【總結】主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用以及符號的判定.

【習題8】計算.

(1)yJabcxl^abc2；(2)yjlxx\]6xy^(y>0);

(3)^\[a;)*■

【難度】★★

【答案】(1)2abcy/c；(2)26xy;(3)-~a4y[a;(4)--Vx.

3x

【解析】(1)\labcx2\labc2=2abc\[c；(2)y[2xxy)6xy2=2y/3xy;

(3)gGx卜2^/^)xg^/^=g&x^-2a>/a^x—a2\/a=--a4\/a;

33

3=_8、H=-雙后.

(4)=2y.匕.

xxyvxx

【總結】本題主要考查二次根式的乘法運算，注意法則的準確運用.

【習題9】計算.

6毋1杼

(1)(2)\ja+b4-Vcrc-b2c(a>b>0)；

2a+2b4a+b

(3)+\/|0H3V(W>0)；(4)

"Vx2"5y12^■

【難度】★★

(1)她;(2)如衛(wèi)(3)叵；

【答案】;(4)-15揚.

15ac-bc5uv

(1)6口+，F(xiàn)=6X-U2a二屈

【解析】

V452V33岳3415'

a

(2)Ja+匕.J/c一加c=Ja+Z?+J(G+力="C:c.

6…面v=、F=叵;

(3)

V5uv5uv

12^^la±b=_6x5=

(4)222

Vx5\2bx-47xa+b"

【總結】本題主要考查二次根式的除法運算，注意法則的準確運用.

【習題10】計算：

（1）3xy/xy-r

I2寸)

(2)2J%?+<0,/?<0).

a

【難度】★★

【答案】(1)0；(2)8向.

【解析】(1)=3xy/xy-+x2^2xy-^-^-yflxy^=x2y-x2y=0；

-xjamr

(2)原式3a---------\-lm-=-2\[ani+3ylmii+Ixfain=S\/am.

-a.a

【總結】本題主要考查二次根式的除法運算，注意法則的準確運用，（2）中要特別注意被開

方數(shù)的符號.

【習題11】先化簡后求值，當x=4,yj時，求正-歷-6-:正的值.

【難度】★★

【答案】（）.

【解析】因為出-工廳=4x-2y[y-^----yy[y=^--3y/y,

V4y2y2

所以當x=4,y=」時，原式=31一3xE=0.

,92V9

【總結】本題主要考查二次根式的化簡求值.

【習題12】化簡：?x3+x2y+—xy2--jcy-vxy2+y3.

V4AV4

【難度】★★★

【總結】本題綜合性較強，主要考查二次根式的化簡，注意符號的判定.

【習題13]解下列方程和關于x的不等式:

(1)3石x+6G=V5x；(2)2瓜+6&<3岳.

【難度】★★★

【答案】(1)X=-1A/F5;(2)x>3-76+6.

【解析】(1)由3底:+66=石犬，得：30-&=-6+，即26r=-6石，所以x岳;

673

(2)由20+6十<3缶，得：@五-2g)x>6G，解得

二3及一26

化簡，得：x>3?+6.

【總結】本題主要考查二次根式的運算在方程和不等式中的運用，注意相關符號的判定.

【習題14]已知X為奇數(shù)，且^^3=、忙6,求川+2》+-/1+7》-8的值.

49-xV9-XVx+1

【難度】★★★

【答案】12^5.

【解析】由題意可得：x-6>0且9-x>0,則6cx<9.,.?尤為奇數(shù)，.?.x=7.

，1+2犬+犬-J：78=(x+1).]/"+晉一"=J(x+8)(x-l)(x+l),

.?.當x=7時，原式=J(7+8)x(7-l)x(7+l)=12后.

【總結】本題綜合性較強，要先根據(jù)二次根式有意義的條件判定出x的取值，然后再對所求二次根式進行化

簡再代入求值.

【習題15】先化簡，再求值：2ay/^-2j27aW+2abp岫,其中“=2，b=3.

6V49

【難度】★★★

【答案】

2

【解析】因為原式=2abJ3ab—:?3ab飛3。1>+2ab?2^^.=(3"-卜3ab,

所以當a=g,〃=3時;原式=(3*〃3-3小32卜小3小3=3.

【總結】本題主要考查二次根式的化簡求值，注意計算時細心一些.

【習題16]已知x=3-2y,求3"石+7■的值?

【難度】★★★

【答案】朱

3

【解析】3jx-2y+54%2-]6y2=3jx-2y+2j(x-2y)(x+2y)=

2dx+2y

3_A/3

??3Jx—2y+-]6)"^=T

【總結】本題一方面考查二次根式的化簡，另一方面考查整體代入思想的運用.

課堂檢測二

【難度】★

【答案】(1)-1373；(2)-176+—V2；(3)3百+2后；(4)—+1172.

3433

【解析】(1)775+2./5--3>/108-8./-=5>/3+->/3-18>/3--73=-13>/3；

V3V333

(2)(2.+去卜⑻河=|二+*冬2+4后=T3卜;

(3)(a-4A卜(34-4疝)=4>5-飆-行+2&=|6+2垃;

⑷哈半+3收黑邛一員12夜邛邛+11收.

【總結】木題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

2.計算.

(1)cry/Sa+3〃>/50〃3——J8/;(2)A/—?+aJo.75c——

2\cc~5

⑶yV18X+X2^|+6JC^|；

(4)(8府-3x用Li而1x>0,y>0).

【難度】★

【答案】(I)\6a2y[2a；(2)—V3c;(3)—V2x;(4)^y^[xy.

c2

【解析】(1)4屈+3口7^7一q7^7=2/伍+15〃伍一幺2〃房=16"缶

22

盾￥3FT-2y1^c5[33/^-\/3c3/r-

(2)原耳二73c+二?c---------J-=-v3c+---------=73c；

cc25eyecccc

2

(3)原式=N?3\/2x+x?+6x?=2xy/2x+x^lx+—y[2x=—5/2x;

3x422

(4)原式=Syy[xy-3x-

=8y向-3y[xy-4H+7y[xy=Syyfxy.

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

3.計算.

【答案】(1)—；(2)8；(3)3痣；(4)—

【解析】(1)LpxOSxH=L?xO.6x叵=亞;

3V4V1232620

(2)腐、半第=4氏率應=8；

(3)同xg后+2忖=同亭：6*；?半=3亞;

【總結】本題主要考查二次根式的乘除混合運算，注意法則的準確運用.

4.計算：

(1)(V5+2A/3)2-(V5-2>/3)2；(2)(26+3亞)(26-3血);

(3)(-6卜[5>/^-23)；

(4)

【難度】★★

【答案】(1)8而：(2)-6:(3)-5a石+2：(4)-3%

【解析】(1)(石+2可-(石-2⑹)=(5+12+4厲)-(5+12-4巫)=8而;

(2)(2>/5+3及)(2>/5-3亞)=12-18=-6;

(3)(-Va)x=-5a\[a+2；(4)原式

a

=^x\fx-2x4x-2x\/xj+G=-3xy/x+G=-3x?

【總結】本題主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用.

中算

2

b-

(2)gm\/9m_(18或不5-Itn1]J—)(/n>0)；

(3)；Jx2yx(-4^—)+*Jx2y(x>0?y>0).

【難度】★★

【答案】(1)9a2by[ab；(2)my[m；(3)--Vx.

x

2222

【解析】(1)^^i=--b\fab-(<--a\/ab-3.[^-)=-9ab-=-9ab4ab；

b2\bb

(2)原式=-m-3\fm-(10加?亞^-2m2?=m\fm-2m\[m+2m\[m=m\fm；

35m

(3)原式=；工后乂(-4丁。).￡.[=-8y?4=一???

【總結】本題主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用.

6.化簡：

⑴f

⑵后,產(chǎn)-4

【難度】★★

【答案】(1)by[ab;(2)y[xy.

【解析】(1)原式二工八產(chǎn)+4帥+埒=上x*界=也

2a+bVb2a+bb

⑵原式=廣、但名三生z而=而.

2x-y'y2x-yy

【總結】本題主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用.

7.若直角三角形的面積是作cm?,一條直角邊長gem,求另一條直角邊長及斜邊上的高線長.

【難度】★★

【答案】2-76;-V6.

3

【解析】另一條直角邊長為：2炳+6=2而；斜邊上的高為：2R忑+冰=乙屈.

3

【總結】本題一方面考查二次根式的化簡，另一方面考查等積法的運用.

8.化簡：電+口)+。方區(qū)〃%>0,〃>0).

Vmmnvm

【難度】★★

a2-ab-i\-\.

【答案】

~a^

【解析】原式=d-叵-畋屈+匕叵)

mmmna~bn

ci~—ab+1

a2b2

【總結】本題主要考查二次根式的混合運算，注意法則的準確運用.

【作業(yè)1】已知4=3+26，b=3-2后,求加的值.

【難度】★★

【答案】-44后.

【解析】由題意有:ab=—\1,a-b=4后,J^lfIUa2b—ab2-ab(a—fe)=-11x4>/5--44-75.

【總結】本題主要考查利用整體代入的思想求代數(shù)式的值.

9.解關于x的不等式：

(1)哭-荒>6+拉+1；(2)2(x+1)-(x-1).

J

:-2V3-3V2;(2)x>2V6-V3-V2+5.

x<

由

x+3x-2>>/3+V2+1，

kF

6旦

-y/2,>5/3++1,

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