2021-2022學(xué)年實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模

§2實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模

課后篇穩(wěn)固提升

L在固定電壓差（電壓為常數(shù)）的前提下,當(dāng)電流通過(guò)圓柱形的電線時(shí)，其電流強(qiáng)度/（單位:安）與電線半

徑可單位:毫米）的三次方成正比.假設(shè)電流通過(guò)半徑為4毫米的電線時(shí)，電流強(qiáng)度為320安，那么電流

通過(guò)半徑為3毫米的電線時(shí)，電流強(qiáng)度為0

A.60安B.240安

C.75安D.135安

解析:設(shè)比例系數(shù)為&,那么電流強(qiáng)度/=4，由可得當(dāng)r=4時(shí),/=320,故有320=43%,解得A:==5,所以

/=5戶(hù),那么當(dāng)r=3時(shí),1=5x33=135（安）.

答案:D

2.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y（單位:只）與繁殖時(shí)間x（單位:年）的關(guān)系為y=alog2（x+l）,設(shè)這種動(dòng)物第一年有

100只，那么第七年它們開(kāi)展到0

A.300只B.400只

C.500只D.600只

解析：：'由題意知，當(dāng)x=l時(shí),y=100,即100="log22,a=100..：y=l（X）log2（x+l）.

當(dāng)x=7時(shí),y=1001og28=300（只）.

答案:A

3.某中學(xué)的研究性學(xué)習(xí)小組為考察珠江口某小島的濕地開(kāi)發(fā)情況,從某碼頭乘汽艇出發(fā)，沿直線方向

勻速開(kāi)往該島，靠近島時(shí)，繞小島環(huán)行兩周后，把汽艇?？堪哆吷习犊疾?，然后又乘汽艇沿原航線提速

返回.設(shè)，為出發(fā)后的某一時(shí)刻,s為汽艇與碼頭在時(shí)刻f時(shí)的距離，以下圖像中能大致表示的函

數(shù)關(guān)系的為（）

解析:由題中所述，只有C符合題意.

答案:C

4.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y=其中x代表擬錄用人數(shù),y代外表

試人數(shù)，假設(shè)應(yīng)聘的面試人數(shù)為60,那么該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40C.25D.130

解析:令）=60,假設(shè)4x=60,那么x=15>10,不合題意；

假設(shè)2x+10=60,那么x=25,滿(mǎn)足題意；

假設(shè)L5x=60,那么x=40<100,不合題意.

故擬錄用人數(shù)為25.

答案:C

5.某產(chǎn)品的總本錢(qián)y(單位:萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y=3000+20J:-0.1X2(0<X<240,X￡

N),假設(shè)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,那么生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷(xiāo)售收入不小于總本錢(qián))的最低產(chǎn)量是()

A.100臺(tái)B.120臺(tái)C.150臺(tái)D.180臺(tái)

解析:由題意知

即解之，得150Wx<240且xCN..：不虧本時(shí)的最低產(chǎn)量為150臺(tái).

答案:C

6.某種商品投放市場(chǎng)以來(lái)，曾經(jīng)過(guò)三次降價(jià)，其價(jià)格由a元降至匕元，那么該商品每次平均降價(jià)的百分

數(shù)是.

解析:此題是一個(gè)平均增長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型，要用到M=N(1土P%)”這一關(guān)系?設(shè)每次平均降價(jià)為x,那么

由題意，得“(l-x)3=4解得x=l-.故該產(chǎn)品每次平均降價(jià)的百分?jǐn)?shù)為X100%.

答案:?100%

7.用清水洗衣服，假設(shè)每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過(guò)1%,那么至少要清洗的次數(shù)是(1g

2^0.3010).

解析:設(shè)至少要清洗x次,那么，

?：x2=3.322,所以需4次.

答案：4

8.

有一長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻(墻最大長(zhǎng)度是10m)圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)該花圃的一邊AB為x

m,面積是yn?.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；

(2)當(dāng)花圃一邊AB為多少米時(shí)，花圃面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

解：(1)：'0<24-2x^l0,.：7^x<12,

.^y=x(24-2x)=-2x2+24x(7Wx<12).

(2)由(1)得y=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,

.：當(dāng)AB-lm時(shí),y最大為70m2.

9.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%,假設(shè)初時(shí)含雜質(zhì)2%,每過(guò)濾一次可使

雜質(zhì)含量減少，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品到達(dá)市場(chǎng)要求?(:1g2=0.3010,1g3=0.4771)

解:依題意，得2%W0.1%,即.

那么n(lg2-lg3)^-(l+lg2),

故〃2之7.4,考慮到“WN*,

即至少要過(guò)濾8次才能使產(chǎn)品到達(dá)市場(chǎng)要求.

10.某地有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和效勞都很好，但收費(fèi)方式不同,甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5

元;乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以?xún)?nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的局部每張球臺(tái)每

小時(shí)2元.某公司準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也

不超過(guò)40小時(shí).

(1)設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為.大外元(15WxW40),在乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小

時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15WxW40),試求式x)和g(x);

(2)問(wèn):選擇哪家比擬合算?為什么？

解:(1)J(x)=5x,\540;

g(x)=

(2)當(dāng)5x=90時(shí)x=18,

即當(dāng)15Wx<18時(shí)<x)<g(x);

當(dāng)x=18時(shí)次x)=g(x);

當(dāng)18cxW40時(shí),/(x)>g(x);

.:當(dāng)15Wx<18時(shí)，選甲家比擬合算;當(dāng)x=18時(shí)，兩家一樣合算;當(dāng)18cxW40時(shí)，選乙家比擬合算.

11.

為減輕手術(shù)給病人帶來(lái)的痛苦，麻醉師要給病人注射一定量的麻醉劑，某醫(yī)院決定在某小型手術(shù)中為

病人采用一種新型的麻醉齊IJ,這種麻醉劑釋放過(guò)程中血液中的含量y(毫克)與時(shí)間f(小時(shí))成正比，麻

醉劑釋放完畢后,y與t的函數(shù)解析式為y=(a為常數(shù))，如下圖.

(1)試求從麻醉劑釋放開(kāi)始,血液中的麻醉劑含量y(毫克)與時(shí)間K小時(shí))之間的解析式；

(2)根據(jù)麻醉師的統(tǒng)計(jì),當(dāng)人體內(nèi)血液中每升的麻醉劑含量降低到0.125毫克以下時(shí)，病人才能清醒過(guò)

來(lái)，那么實(shí)施麻醉開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,病人才能清醒過(guò)來(lái)？

解:(1)根據(jù)題中所述，由題圖可知，血液中麻醉劑的含量y(毫克)是關(guān)于時(shí)間/(小時(shí))的一個(gè)分段函數(shù)：

當(dāng)0〈忘0.1時(shí)，函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過(guò)0(0,0)的線段，設(shè)其方程為y=kt(k為待定系數(shù))，

又因?yàn)?0.1,1)是這條線段的一個(gè)端點(diǎn),代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得％=10,所以當(dāng)OWfWO.l時(shí),y=10f.

當(dāng)f>0.1B寸,函數(shù)解析式為y=,

而A(0.1,1)在這段函數(shù)圖像上,代入得:1=，所以有0.1-4=0,解得a=0.1.

故當(dāng)t>0.1時(shí),y=.

綜上,血液中麻醉劑的含量M毫克)