數(shù)學(xué)人教A版選修1-2課堂探究2.2直接證明與間接證明（第1課時(shí)）

課堂探究探究一綜合法的應(yīng)用綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用的一種方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題結(jié)論的真實(shí)性．簡(jiǎn)言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法．【典型例題1】已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).思路分析：根據(jù)題意進(jìn)行適當(dāng)配湊，再利用基本不等式進(jìn)行證明即可．證明：∵a2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2a,3)，b2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2b,3)，c2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2c,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c2＋\f(1,9)))≥eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(a＋b＋c)＝eq\f(2,3).∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).規(guī)律小結(jié)綜合法證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個(gè)：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2).③若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特別是eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.【典型例題2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本題可先明確線線、線面垂直的判定及性質(zhì)定理，再用定理進(jìn)行證明．證明：(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，綜上得PD⊥平面ABE.規(guī)律小結(jié)利用一些常見(jiàn)的結(jié)論常?？梢詫⒕€面間的垂直與平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如：兩條平行線中的一條垂直于平面α，則另外一條也垂直于平面α；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行等．探究二分析法的應(yīng)用分析法是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的證明方法，即先假設(shè)所要證明命題的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的判斷，而當(dāng)這個(gè)判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)，命題得證(應(yīng)強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)，它不是由命題的結(jié)論去證明前提)．因此，分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，也是數(shù)學(xué)證明常用的手段．【典型例題3】已知a＞5，求證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).思路分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件．證明：要證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需證eq\r(a－5)＋eq\r(a)＜eq\r(a－3)＋eq\r(a－2)，只需證(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2＜(eq\r(a－3)＋eq\r(a－2))2，即2a－5＋2eq\r(a2－5a)＜2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即證eq\r(a2－5a)＜eq\r(a2－5a＋6)，只需證a2－5a＜a2－5a＋6，即證0＜6.因?yàn)?＜6恒成立，所以原不等式成立．故eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).溫馨提示1．只有不等號(hào)兩端均為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能直接平方．2．用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“”或“要證明”、“只需證明”、“即證明”等詞語(yǔ)．探究三綜合法與分析法的綜合應(yīng)用分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法，分析法是倒溯，綜合法是順推，分析法容易探路，綜合法條理清晰，宜于表述，但思路不太好想．因此對(duì)二者交互使用，相互轉(zhuǎn)換，解題時(shí)聯(lián)合運(yùn)用可增加解題思路．【典型例題4】已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1，求證logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc.思路分析：解答本題的關(guān)鍵是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成證明整式不等式．證明：要證明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))＜logx(abc)，而已知0＜x＜1，故只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc.∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc成立．溫馨提示解題時(shí)，常用分析法思考問(wèn)題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過(guò)程，或者聯(lián)合運(yùn)用綜合法與分析法，找到溝通已知條件與結(jié)論的途徑．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)分析法與綜合法相混淆致錯(cuò)【典型例題5】求證：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6).錯(cuò)解：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，并且eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正數(shù)，所以(eq\r(2)＋eq\r(10))2＜(2eq\r(6))2，即12＋4eq\r(5)＜24，eq\r(5)＜3，所以5＜9.因?yàn)?＜9成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．錯(cuò)因分析：本題步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤，把eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)看成了條件去推，不符合分析法的步驟．正解：因?yàn)閑q\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正數(shù)